2.1 函数的概念及其表示-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

2．1　函数的概念及其表示 课标要求 考情分析 1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． ◎考点考法：高考命题常以基本初等函数为载体，考查函数的表示法、定义域、值域．分段函数是高考热点，常以选择题或填空题的形式出现． ◎核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P18] 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，而函数的值域为B的子集． 3．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 1．下列所给图象是函数图象的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　①中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，是函数图象．故选B. 答案　B 2．下列四组函数中，表示同一个函数的是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝()3与y＝x 解析　A中，y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；B中，y＝的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不是同一个函数；C中，y＝4lg x与y＝2lg x2＝4lg |x|的对应关系不同，两函数不是同一个函数；D中，y＝()3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域和对应关系都相同，两函数是同一个函数．故选D. 答案　D 3．设集合A＝{2，3，a2－2a－3}，B＝{0，3}，C＝{2，a}．若B⊆A，A∩C＝{2}，则a＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析　因为B⊆A，所以a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.若a＝－1，则A＝{2，3，0}，C＝{2，－1}，此时A∩C＝{2}，符合题意；若a＝3，则A＝{2，3，0}，C＝{2，3}，此时A∩C＝{2，3}，不符合题意．故选B. 答案　B 4．函数f(x)＝＋－1的定义域为________． 解析　由解得－3≤x≤1， 所以f(x)的定义域为[－3，1]. 答案　[－3，1] 5．已知函数f(x)＝则f(f(－3))＝________． 解析　因为f(－3)＝＝0， 所以f(f(－3))＝f(0)＝. 答案　 [对应学生用书P19] 考点一　函数的定义域　重难考点　师生共研 (1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2] C．[－2，2] D．(－1，2] (2)已知函数y＝f(x)的定义域为[－8，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．(－∞，－2)∪(－2，3] B．(－8，－2)∪(－2，1] C．∪(－2，0] D． [解析]　(1)要使函数有意义，则需 解得－1＜x≤2且x≠0， 所以f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，2]. (2)∵f(x)的定义域为[－8，1]， ∴解得－≤x≤0，且x≠－2. ∴g(x)的定义域为∪(－2，0]. [答案]　(1)B　(2)C 1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 1．函数f(x)＝ln (－x2＋3x＋4)＋的定义域是(　　) A．[1，4] B．(－∞，4) C．(－1，4) D．(1，4) 解析　要使函数f(x)有意义，则需得 得1＜x＜4，即函数f(x)的定义域为(1，4). 答案　D 2．已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则y＝的定义域是(　　) A．[－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．(－2，5] 解析　因为函数y＝f(2x－1)的定义域是[－2，3]，则－2≤x≤3， 所以－5≤2x－1≤5，所以函数y＝f(x)的定义域为[－5，5]. 要使y＝有意义，则需要解得－2<x≤5， 所以y＝的定义域是(－2，5].故选D. 答案　D 考点二　函数的解析式　重难考点　师生共研 (1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝(　　) A．x2－1(x≥0) B．＋1(x≥1) C．x2－1(x≥1) D．－1(x≥0) (2)设函数f(x)是单调递增的一次函数，且满足f(f(x))＝16x＋5，则f(x)＝(　　) A．－4x－ B．4x－ C．4x－1 D．4x＋1 (3)若函数f(x)满足f(x)－2f＝x＋2，则f(x)＝________． [解析]　(1)已知f(＋1)＝x＋2，则f(＋1)＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1.令t＝＋1(t≥1)，则f(t)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1). (2)因为f(x)是单调递增的一次函数，所以设f(x)＝ax＋b，a＞0，故f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以解得或(不合题意，舍去).因此，f(x)＝4x＋1. (3)由f(x)－2f＝x＋2，可得 f－2f(x)＝＋2， 联立两式可得f(x)＝－－2. [答案]　(1)C　(2)D　(3)－－2 求函数解析式的常用方法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式． (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 1．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式为________． 解析　方法一(换元法)　令x＋1＝t，则x＝t－1，所以f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1， 所以f(x)＝3x－1. 方法二(配凑法)　f(x＋1)＝3x＋2＝3(x＋1)－1，所以f(x)＝3x－1. 答案　f(x)＝3x－1 2．已知f＝x2＋，则f(x)的解析式为________． 解析　因为f＝x2＋＝＋2，所以f(x)＝x2＋2. 答案　f(x)＝x2＋2 3．已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x)的解析式为________． 解析　由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，用－x代替x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立两式消去f(－x)可得 f(x)＝x－1. 答案　f(x)＝x－1 考点三　分段函数　多维探究　发散思维 角度1　分段函数求值 (1)已知函数f(x)＝则f＝________； (2)若f(x)＝则f(f(1))＝________． [解析]　(1)因为sin ＝，所以＞sin ， 所以f＝sin ＝. (2)因为f(x)＝所以f(1)＝－1，f(－1)＝f(－1＋3)＝f(2)＝0，所以f(f(1))＝f(－1)＝0. [答案]　(1)　(2)0 求分段函数函数值的方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 角度2　分段函数与方程、不等式问题 已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的取值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________． [解析]　若f(a)＝4， 则或 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2，则或 解得－3≤a＜－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). [答案]　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 分段函数与方程、不等式问题的求解思路 解分段函数的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 1．已知f(x)＝则f＋f的值为(　　) A． B．－ C．－1 D．1 解析　f＝f＋1＝f＋1＝cos ＋1＝， f＝cos ＝cos ＝－， ∴f＋f＝－＝1. 答案　D 2．(多选)已知函数f(x)＝则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ D．f(x)<1的解集为(－1，1) 解析　函数f(x)＝的定义域是[－2，＋∞)，故A错误；当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． 答案　BC 学科网（北京）股份有限公司 $$