1.3 等式性质与不等式性质-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

1．3　等式性质与不等式性质 课标要求 考情分析 1．梳理等式的性质，理解不等式的概念． 2．会比较两个数(式)的大小． 3．理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． ◎考点考法：以考查不等式的性质为重点，同时考查不等关系，常与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行考查． ◎核心素养：数学抽象、逻辑推理． [对应学生用书P8] 1．倒数性质 若ab＞0，则a＞b⇒＜； 若ab＜0，则a＞b⇒＞. 2．分数性质 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)真分数性质：＜；＞(a－m＞0)； (2)假分数性质：＞；＜(b－m＞0). 1．(2025·湖南师大附中质检)若a<b<0，则下列不等式不能成立的是(　　) A．> B．a2>b2 C．|a|>|b| D．> 解析　方法一　对于A，由a<b<0得ab >0，则<，即>，故A成立；对于B，由a<b<0得－a>－b>0，则根据不等式的性质有(－a)2>(－b)2>0，即a2>b2，故B成立；对于C，由a<b<0得|a|＝－a，|b|＝－b，又－a>－b>0，进而|a|>|b|，故C成立；对于D，由a2>b2可得<，故D不成立．故选D. 方法二　取a＝－2，b＝－1，则＝，＝1，故>不能成立．故选D. 答案　D 2．已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是(　　) A．ac＞bc B．＜ C．a2＞b2 D．a＋c＞b＋c 解析　当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确；当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确；当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确；由不等式的性质知，选项D正确，故选D. 答案　D 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b＞0，则a2＞b2 C.若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 解析　C中，若a＝－2，b＝－1，则a2＞ab＞b2，故C错误． 答案　ABD 4．设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________． 解析　M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，故M＞N. 答案　M＞N 5．已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是________． 解析　∵－3＜b＜5，∴－6＜2b＜10， 又－1＜a＜2，∴－7＜a＋2b＜12. 答案　(－7，12) [对应学生用书P9] 考点一　比较两个数(式)的大小 重难考点　师生共研 (1)(多选)下列不等式正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2>－ (2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则(　　) A．aa<ab<ba B．aa<ba<ab C．ab<aa<ba D．ab<ba<aa [解析]　(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0， ∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)·(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b). ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定， ∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， ∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； ∵当a>b>0时，a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－＝(a－b)>0，∴a2－b2>－，故D正确． (2)∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1， 由c<cb<ca<1，得0<a<b<1， ∵＝aa－b>1，∴ab<aa， ∵＝，0<<1，a>0，∴<1， 即aa<ba， 综上可知，ab<aa<ba. [答案]　(1)AD　(2)C 判断两数(式)大小的方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④下结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④下结论． 已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定 解析　∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A． 答案　A 考点二　不等式的性质 重难考点　师生共研 (多选)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是(　　) A．ad＞bc B．＋＜0 C．a－c＞b－d D．a(d－c)＞b(d－c) [解析]　因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误； 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0， 所以－c＞－d＞0，所以a(－c)＞(－b)(－d)，所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正确； 因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故C正确； 因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故D正确． [答案]　BCD 判断不等式是否成立常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件． (2)利用特殊值排除法． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断． 1．若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是(　　) A．a＋c<b＋c B．< C．ac>bc D．b－a>c 解析　对于A，由不等式的性质知，a<b⇒a＋c<b＋c，正确；对于B，若a＝－2，b＝－1，则>，错误；对于C，由不等式的性质知，c>0，a<b⇒ac<bc，错误；对于D，a<b⇒b－a>0，又c>0， 所以无法判断b－a与c的大小，错误． 答案　A 2．(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　) A．< B．|a|＋b>0 C．a－>b－ D．ln a2>ln b2 解析　由<<0，可知b<a<0. A中，因为a＋b<0，ab>0， 所以<0，>0，则<，故A正确； B中，因为b<a<0，所以－b>－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误； C中，因为b<a<0，又<<0，则－>－>0，所以a－>b－，故C正确； D中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上单调递减，可得b2>a2>0， 而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增， 所以ln b2>ln a2，故D错误． 答案　AC 考点三　不等式性质的综合应用　一题多变　母题探究 已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．(2，3) B．(－2，3) C．(2，7) D．(－2，7) [解析]　因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7.故选D. [答案]　D (变条件)若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的取值范围． 解析　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. 故x－2y的取值范围为[－4，2]. 利用不等式的性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1．(多选)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4，7] B．b－a的取值范围为[2，3] C．ab的取值范围为[3，10] D．的取值范围为 解析　因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4，7]，b－a的取值范围为[1，4]，故A正确，B错误； 因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3，10]，的取值范围为，故C正确，D错误． 答案　AC 2．已知2<x<4，－3<y<－1，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　原式分子和分母同时除以x，得＝， 由条件得2<－2y<6，<<，所以<－<，即<－<3， 所以<1－<4，所以<<，即<<. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $$