1.2 常用逻辑用语-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

1．2　常用逻辑用语 课标要求 考情分析 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系． 2．理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． ◎考点考法：本部分内容常与集合、函数、不等式等知识交汇考查，属于低频考点．多以选择题、填空题或解答题中某一部分的形式呈现，属于低档题． ◎核心素养：数学运算、逻辑推理． [对应学生用书P5] 1．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的真假． 1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　) A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0<0 C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0 解析　由全称量词命题的否定是存在量词命题知选项B正确． 答案　B 2．设命题p：∃x0＞0，sin x0＞1＋cos x0，则¬p为(　　) A．∀x≤0，sin x＞1＋cos x B．∀x＞0，sin x＜1＋cos x C．∀x＞0，sin x≤1＋cos x D．∀x≤0，sin x≤1＋cos x 答案　C 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＞0 B．∀x∈R，－1≤sin x≤1 C．∃x∈R，2x＜0 D．∃x∈R，tan x＝2 解析　当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sin x≤1，所以B选项正确；因为2x＞0，所以C选项错误；因为函数y＝tan x∈R，所以D选项正确． 答案　BD 4．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立； 由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立； 所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件． 故选B. 答案　B 5．若“∀x∈R，x2－ax－2a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意得∃x∈R，x2－ax－2a≤0为真命题，所以Δ＝a2＋8a≥0，解得实数a的取值范围为(－∞，－8]∪[0，＋∞). 答案　(－∞，－8]∪[0，＋∞) [对应学生用书P6] 考点一　充分、必要条件的判定 重难考点　师生共研 (1)(2024·枣庄二模)已知a>0，b>0，则“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2024·连云港调研)设m，n为非零向量，则“m·n<0”是“存在负数λ，使得m＝λn”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　(1)若a>0，b>0，a＋b>2，则a2＋b2≥(a＋b)2>2，充分性成立； 若a2＋b2>2，可能a＝，b＝0.1，此时a＋b<2，所以必要性不成立． 综上所述，“a＋b>2”是“a2＋b2>2”的充分不必要条件．故选A． (2)由m·n<0，可得m，n的夹角为钝角或180°，不能推出m＝λn； 由存在负数λ，使得m＝λn，可得m，n共线且反向，夹角为180°，则m·n＝－<0， 所以“m·n<0”是“存在负数λ，使得m＝λn”的必要不充分条件，故选B. [答案]　(1)A　(2)B 充分、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 1．(2024·怀化二模)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面面积恒相等，则体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在等高处的截面面积恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由q⇒p，反之不成立．∴p是q的必要不充分条件．故选B. 答案　B 2．(2024·南昌一模)已知p：ln (a－1)>0，q：∃x>0，≤a，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由ln (a－1)>0，得⇒a>2. 设p：A＝{a|ln (a－1)>0}＝. 由∃x>0，≤a的否定为∀x>0，>a， 令f(x)＝＝x＋≥2，当且仅当x＝时，又x>0，即x＝1时等号成立， 若∀x>0，>a，则a<2， 若∃x>0，≤a，则a≥2， 设q：B＝，因为， 所以p⇒q且q p， 所以p是q的充分不必要条件，故选A． 答案　A 考点二　充分、必要条件的应用 一题多变　母题探究 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求实数m的取值范围． [解析]　由题意知A＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A． 则解得0≤m≤3. 即实数m的取值范围是[0，3]. (变条件)本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围． 解析　∵x∈A是x∈B的充分不必要条件， ∴AB， 则或解得m≥9， 故m的取值范围是[9，＋∞). 充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易漏解或增解． 1．(多选)使≥1成立的一个充分不必要条件是(　　) A．0＜x＜1 B．0＜x＜2 C．x＜2 D．0＜x≤2 解析　由≥1得0＜x≤2，依题意知，由选项组成的集合应是(0，2]的真子集，故选AB. 答案　AB 2．(2024·德州二模)已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则(　　) A．a≥ B．0<a≤ C．a>2 D．0<a≤2 解析　命题p：1<2x<4，即p：0<x<2， 因为p是q的充分不必要条件，显然当x＝0时满足q：x2－ax－1<0， 所以当0<x<2时x2－ax－1<0恒成立， 则a>x－当0<x<2时恒成立， 又函数f(x)＝x－在(0，2)上单调递增，且f(2)＝，所以a≥.故选A． 答案　A 考点三　全称量词与存在量词　多维探究　发散思维 角度1　含量词的命题的否定 (1)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个有理数，它的平方是有理数 B．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C．存在一个有理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定为(　　) A．∃x∈Z，|x|∉N B．∀x∈Z，|x|∉N C．∃x∉Z，|x|∉N D．∀x∉Z，|x|∉N [解析]　(1)根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”． (2)∵全称量词命题的否定是存在量词命题， ∴命题“∀x∈Z，|x|∈N”的否定为“∃x∈Z，|x|∉N”．故选A． [答案]　(1)B　(2)A 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词． (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 角度2　含量词的命题的真假判断 (多选)下列命题为假命题的是(　　) A．∃x∈R，ln (x2＋1)＜0 B．∀x＞2，2x＞x2 C．∃α，β∈R，sin (α－β)＝sin α－sin β D．∀x∈(0，π)，sin x＞cos x [解析]　因为x2＋1≥1，所以ln (x2＋1)≥0，故A是假命题；当x＝3时，23＜32，故B是假命题；当α＝β＝0时，sin (α－β)＝sin α－sin β，故C是真命题；当x＝∈(0，π)时，sin x＝，cos x＝，sin x＜cos x，故D是假命题，故选ABD. [答案]　ABD 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)全称量词命题：①要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；②要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可． (2)存在量词命题：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题． 角度3　含量词的命题的应用 若命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________． [解析]　命题“∃x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，即“∀x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤. [答案]　[－，] 根据命题的真假求参数的值(范围)的思路 与全称量词命题或存在量词命题真假有关的参数的取值范围问题，本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，可以直接求解，也可以利用等价命题将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． 1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 解析　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2”． 答案　D 2．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，－x2－1＜0 B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝m C．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径 D．存在实数x，使得＝ 解析　∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1＜0，故A项是真命题； 当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题； 任何一个圆的圆心到其切线的距离都等于半径，故C项是真命题； 因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2， 所以≤＜，故D项是假命题． 答案　ABC 3．“m＞2”是“∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1＞0为真命题”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1＞0，则Δ＝4(m－1)2－4(m2－1)＜0，解得m＞1，因为(2，＋∞)(1，＋∞)，所以“m＞2”是“∀x∈R，x2＋2(m－1)x＋m2－1＞0为真命题”的充分不必要条件．故选A． 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $$