1.1 集合-（配套教参）【精讲精练】2026年高考数学一轮复习（人教A版）

1．1　集合 课标要求 考情分析 1．了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3．理解并会求并集、交集、补集；能用Venn图表达集合的基本关系与基本运算． ◎考点考法：集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和Venn图，题型以选择题为主． ◎核心素养：数学抽象、数学运算、直观想象． [对应学生用书P1] 1．并集的性质 A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A． 2．交集的性质 A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B. 3．补集的性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)； ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB). 1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则 A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 解析　方法一(直接法)　因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A． 方法二(验证法)　因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}，故选A． 答案　A 2．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析　B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. 答案　D 3．已知全集U＝R，集合A＝，B＝{x||x|≤1}，则图中阴影部分表示的集合是(　　) A．[－1，0) B．[－1，0)∪[1，2) C．(1，2) D．(0，1) 解析　由图可知所求集合为A∩(∁UB)，∵A＝(0，2)，∁UB＝(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴阴影部分表示的集合是(1，2).故选C. 答案　C 4．已知集合A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为(　　) A．3 B．4 C．8 D．7 解析　A＝{x|x2－4x<0，x∈N*}＝{1，2，3}，所以集合A的真子集的个数为23－1＝7.故选D. 答案　D 5．若集合A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________． 解析　因为A＝{x|－1＜x＜5}，B＝{x|x≤1，或x≥4}，所以A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5}． 答案　R　{x|－1＜x≤1，或4≤x＜5} [对应学生用书P2] 考点一　集合的含义与表示 基础考点　自练自悟 1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．4 B．5 C．8 D．9 解析　因为x2＋y2≤，x∈Z，所以x可取－1，0，1. 当x＝－1时，得y＝0； 当x＝0时，得y＝－1，0或1； 当x＝1时，得y＝0. 所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素． 答案　B 2．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B＝(　　) A．{0，1} B．{0，1，2} C．{1，2，3} D．{1，2，3，4} 解析　因为A＝{x|x2≤4}＝[－2，2]，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1，2，3}． 答案　C 3．已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或0 C．0 D．－1或0 解析　∵－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，符合题意，故a＝0. 答案　C 4．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2024＋b2025＝________． 解析　由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，又b＝1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b2025＝1＋1＝2. 答案　2 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义． (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 考点二　集合间的基本关系　一题多变　母题探究 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若A⊆B，则实数m的取值范围是________． [解析]　(1)由题意可得，A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，又因为A⊆C⊆B，所以C＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，故满足条件的集合C的个数为4. (2)由题得A＝{x|－1＜x＜3}，若A⊆B(如图)，可得所以m≥3. 故实数m的取值范围是[3，＋∞). [答案]　(1)D　(2)[3，＋∞) (变条件)本例(2)中，若“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________． 解析　当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A． 当m＞0时，因为A＝{x|－1＜x＜3}． 当B⊆A时，在数轴上表示出两个集合，如图， 所以 解得0＜m≤1. 综上所述，实数m的取值范围为(－∞，1]. 答案　(－∞，1] 根据两集合的关系求参数的方法 (1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论．求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解． 考点三　集合的基本运算　维探究　发散思维 角度1　集合的基本运算 (1)(2024·武汉四调)已知集合A＝，B＝，则A∩B＝(　　) A． B． C． D． (2)(2024·郑州检测)已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{y|y＝ln (x2＋1)}，则A∪B＝(　　) A．[－1，＋∞) B．[0，1] C．(0，4] D．(－∞，4] [解析]　(1)A＝{x|x2－2x－3<0}＝{ x|－1<x<3}，B＝{x|x2－4x<0，x∈Z}＝{1，2，3}， 所以A∩B＝{1，2}，故选B. (2)因为A＝{ x|x2－3x－4≤0}， 所以A＝{x|－1≤x≤4}， 因为x2＋1∈[1，＋∞)，所以B＝{y|y≥0}， 所以A∪B＝[－1，＋∞).故选A． [答案]　(1)B　(2)A 角度2　利用集合的运算求参数 (1)(2024·保定二模)设集合A＝{x|－3≤x≤3}，B＝，且A∩B＝{x|－2≤x≤3}，则a＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (2)(2024·菏泽三模)已知集合A＝，B＝{x|log2x≥a }，若B∪(∁RA)＝∁RA，则实数a的取值范围是________． [解析]　(1)因为A∩B＝{x|－2≤x≤3}， 所以－2是方程2x2＋(a－8)x－4a＝0的根， 即8－2(a－8)－4a＝0，得a＝4， 当a＝4时，2x2－4x－16≤0，解得－2≤x≤4， 此时B＝{x|－2≤x≤4}，满足A∩B＝{x|－2≤x≤3}，所以a＝4.故选C. (2)由≤0，得－2≤x<2，所以A＝{ x|－2≤x<2}，则∁RA＝{x|x<－2，或x≥2}．由log2x≥a，得x≥2a，所以B＝{x|x≥2a}， 又B∪(∁RA)＝∁RA，所以B⊆(∁RA)，所以2a≥2，解得a≥1，即实数a的取值范围为[1，＋∞). 答案　(1)C　(2) [1，＋∞) 集合运算的求解策略 (1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． (2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 1．(2025·韶关模拟)若集合A＝{x|1<x≤6}，B＝，则(∁RA)∩B＝(　　) A．{x|x≤1，或6≤x≤7} B．{x|x≤1，或6<x<7} C．{x|x<1，或6≤x<7} D．{x|x<1，或6<x≤7} 解析　A＝{x|1<x≤6}，则∁RA＝{x|x≤1，或x>6}，又B＝＝{x|x<7}， 则∩B＝{x|x≤1，或x>6}∩{x|x<7}＝{x|x≤1，或6<x<7}．故选B. 答案　B 2．已知集合M＝{x|x2－2x－3<0}，N＝{x|x2－ax<0，x∈Z }，若集合M∩N恰有两个元素，则实数a的取值范围是________． 解析　因为M＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，N＝{x|x2－ax<0，x∈Z }＝{x|x(x－a)<0，x∈Z}， 又集合M∩N恰有两个元素，所以M∩N恰有两个元素1和2，所以a>2，即实数a的取值范围为(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$