专题14.2 三角形全等的判定（知识梳理+8个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共50题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题14.2 三角形全等的判定 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共50题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 2 知识点梳理02：判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 2 知识点梳理03：判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 2 知识点梳理04：判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 2 知识点梳理05：直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：用SSS证明三角形全等(SSS) 3 考点2：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 4 考点3：全等的性质和SSS综合(SSS) 5 考点4：用SAS证明三角形全等(SAS) 5 考点5：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 6 考点6：全等的性质和SAS综合(SAS) 6 考点7：用ASA (AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 7 考点8：全等的性质和ASA (AAS)综合(ASA或者AAS) 8 考点9：用HL证全等(HL) 8 考点10：全等的性质和HL综合(HL) 9 考点11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 10 考点12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 10 考点13：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 11 中考真题 实战演练 12 难度分层 拔尖冲刺 13 基础夯实 13 培优拔高 17 知识点梳理01：判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理02：判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理03：判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理04：判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理05：直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 考点1：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得 ． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴ ___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南通·期末）雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 考点2：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 【典例精讲】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    考点3：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 考点4：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 考点5：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【变式训练】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 考点6：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 【变式训练】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，，，和相等吗？请说明理由． 考点7：用ASA (AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】．（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【变式训练】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 考点8：全等的性质和ASA (AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知．求证：． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点9：用HL证全等(HL) 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【变式训练】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）按要求完成下列各小题： (1)在中，，，求的度数； (2)如图，，，．求证：． 考点10：全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【变式训练】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 考点11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 【变式训练】．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是 ． 考点12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 考点13：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式训练】（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 基础夯实 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 3．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 5．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 6．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 7．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则的度数为 ． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 9．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 12．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 13．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． B． C． D． 14．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 15．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 16．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 19．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 20．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.2 三角形全等的判定 （知识梳理+13个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共50题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 2 知识点梳理02：判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 2 知识点梳理03：判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 2 知识点梳理04：判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 2 知识点梳理05：直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：用SSS证明三角形全等(SSS) 3 考点2：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 5 考点3：全等的性质和SSS综合(SSS) 6 考点4：用SAS证明三角形全等(SAS) 8 考点5：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 10 考点6：全等的性质和SAS综合(SAS) 12 考点7：用ASA (AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 13 考点8：全等的性质和ASA (AAS)综合(ASA或者AAS) 14 考点9：用HL证全等(HL) 16 考点10：全等的性质和HL综合(HL) 17 考点11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 18 考点12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 20 考点13：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 21 中考真题 实战演练 22 难度分层 拔尖冲刺 25 基础夯实 25 培优拔高 33 知识点梳理01：判定两个三角形全等的基本事实（边边边） 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理02：判定两个三角形全等的基本事实（边角边） 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理03：判定两个三角形全等的基本事实（角边角） 1.两边和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理04：判定两个三角形全等的基本事实（角角边） 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 知识点梳理05：直角三角形全等的判定（斜边、直角边） 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 考点1：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得 ． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴ ___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】(1)； (2)④． 【思路引导】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1 ）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2 ）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【规范解答】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【变式训练】（24-25八年级上·江苏南通·期末）雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定．证明，又由，，即可证明． 【规范解答】解：∵，点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 考点2：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 【典例精讲】（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【规范解答】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点在直线上，分别以线段的端点为圆心，以（小于线段）长为半径画弧，分别交直线、线段于点，再以点为圆心，以长为半径画弧交前面的弧于点，画射线．若的平分线交直线于点，，则的度数为 ．    【答案】/35度 【思路引导】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、平行线的判定及性质、角平分线的性质等知识，能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定和平行线的性质及判定是解题的关键．连接，，结合尺规作图，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，可知，然后根据角平分线的定义，即可获得答案． 【规范解答】解：连接，，    由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 考点3：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例精讲】（23-24八年级上·四川乐山·期末）如图．已知点C，F在直线上，且有，，．求证： 【答案】见解析 【思路引导】此题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，证明，则，根据平行线的判定即可得到结论． 【规范解答】证明：∵， ∴，即 ∵，， ∴， ∴ ∴ 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，，，于，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是能根据性质求出的度数． 证明，可得，由和三角形的内角和定理求出，即可求解． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ， ． 考点4：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行线的性质，全等三角形的判定．由得到，由得到，从而根据“”证明． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 考点5：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 【典例精讲】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【规范解答】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 【变式训练】如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BE＝CF，ABDE．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】见解析 【思路引导】根据全等三角形的判定定理和平行线的性质即可得到结论． 【规范解答】证明：∵BE＝CF，            ∴BE＋EC＝CF＋EC．             即 ∴BC＝EF． 又∵ABDE，            ∴∠B＝∠1.    在△ABC和△DEF中， ∴△ABC ≌△DEF（SAS）． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 考点6：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．，为中点，求证： 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是他的关键． 证明，得到． 【规范解答】解：， ， ∵为中点， ∴， ， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，，，和相等吗？请说明理由． 【答案】相等，见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 直接根据证明，再根据全等三角形对应边相等即可求证． 【规范解答】解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 考点7：用ASA (AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例精讲】．（24-25九年级下·云南·期中）如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，且，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．由平行线的性质得，进而证明． 【规范解答】证明：在四边形中，，点为对角线上一点， ， 在和中， ， ． 【变式训练】（24-25七年级下·上海松江·阶段练习）如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【规范解答】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点8：全等的性质和ASA (AAS)综合(ASA或者AAS) 【典例精讲】．（22-23八年级上·福建泉州·期末）如图，已知．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得成为解题的关键． 由角的和差可得，再运用证得，然后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【规范解答】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为8． 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【规范解答】（1）证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， 的长为8． 考点9：用HL证全等(HL) 【典例精讲】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可解答． 【规范解答】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 【变式训练】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）按要求完成下列各小题： (1)在中，，，求的度数； (2)如图，，，．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理求解即可； （2）先证明，根据证明三角形全等即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 在中，∵， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 考点10：全等的性质和HL综合(HL) 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【规范解答】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式训练】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【规范解答】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 考点11：添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【规范解答】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 【变式训练】．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在四边形中，，若用“”证明，需添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，，则只需要即可用“”证明，据此求解即可． 【规范解答】解：添加条件，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 考点12：灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，已知，则甲、乙、丙三个三角形中与全等的是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：甲：不能判断两个三角形全等，故不符合题意； 乙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 丙：由能判断两个三角形全等，故符合题意； 综上分析可知：和全等的图形是乙和丙． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃天水·期末）根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是（   ）． A．如图1，线段与相交于点O，，与 B．如图2，，与 C．如图3，线段相交于点E，已知，与 D．如图4，已知，与 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【规范解答】解：A．在图1中，由，根据“”证明，可判断A不符合题意； B．在图2中，由，根据“”证明，可判断B不符合题意； C．在图3中，不符合全等三角形判定定理的条件，因此不能判断与全等，可判断C符合题意； D．在图4中，由，根据“”证明，可判断D不符合题意． 故选：C． 考点13：结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合） 【典例精讲】（23-24七年级上·山东淄博·期中）利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【思路引导】本题考查结合尺规作图的全等问题，根据全等三角形的判定方法逐个分析即可． 【规范解答】解：A，，，，根据，可以作出唯一三角形； B， ，，，根据，可以作出唯一三角形； C，，，，形式，作出的不唯一； D，，，，根据，可以作出唯一三角形． 故选C． 【变式训练】（23-24八年级上·河北邢台·期中）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（    ）    A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的判定进行判断即可． 【规范解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定， 所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等， 故选：C． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键． 1．（2025·青海·中考真题）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即，过角尺顶点的射线便是的平分线，这种做法的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【规范解答】解：在和中 ， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【规范解答】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 3．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【规范解答】证明；在和中， ， ∴． 4．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【规范解答】证明：， ． 在和中， ， ， ． 基础夯实 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，和相交于点O，，若用“”证明，则还需添加（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：．根据两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，由此即可得到答案． 【规范解答】证明：在和中， ， ， 用“”证明，则还需添加 故选： 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，，如果点P在线段上以2/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（   ） A．或 B．1或 C．1或 D．1或 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可． 【规范解答】解：由题意知，，， ∵与全等， ∴分，两种情况求解； 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，t的值是1或1.5， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南许昌·阶段练习）如图，沛沛沿一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由C走到D的过程中，通过隔离带的空隙P，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，相交于P，垂足为D．已知米．沛沛根据上述信息借助三角形的全等求出标语的长度为16米，全等的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键．由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果，可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在与中， ∴， ∴（米）， 故选：A． 4．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在四边形中，与相交于点，则图中的全等三角形一共有 对． 【答案】3/三 【思路引导】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， 故图中的全等三角形一共有3对， 故答案为：3． 5．（24-25八年级下·重庆巫山·期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，若，米，水平距离米，则点C与点B的高度差为 米． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质. 作于F，于G，根据可证，根据全等三角形的性质可得米，根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差． 【规范解答】解：作于F，于G， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴（）， ∴米， 则（米）． 故答案为：． 6．（22-23八年级上·全国·期中）如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， 当时， 在 和中， ， ， 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，有两个长度相同的滑梯（即），左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解； 【规范解答】解：在和中， ， ， ， 故答案为： 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选，见解析 【思路引导】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 当选择①时，与的夹角为，不是， 故无法判定； 不选择①； 当选择②时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：②． 9．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图，在中，，D为边上一点． (1)请使用尺规作图的方法作，使，且，点E在外． (2)在（1）所作图形的基础上，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，尺规作图—作三角形，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）以C为圆心，以的长为半径画弧，以B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点E，连接，则，再由即可证明； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由三角形外角的性质即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）小华和爸妈在五一假期期间去方特游乐园乘坐了海盗船，如图，已知海盗船的转轴B到地面的距离，小华在乘坐的过程中，当海盗船的船头摆动到最高点A处时，于点C，此时点C到地面的距离，当船头从A处摆动到处时，，求点到的距离． 【答案】 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定与性质，实际问题中，构造需要的全等三角形是解本题的关键．先过点作于点，再证明，可得从而可得答案． 【规范解答】解：如图，过点作于点， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，甲、乙两位同学都以点 B，C 为圆心画出了两段弧，作出 的角平分线，那么下列结论正确的是（   ）    A．甲、乙都对 B．甲对、乙错 C．甲错、乙对 D．甲、乙都错 【答案】A 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明即可求解． 【规范解答】解：如图，连接    甲：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故甲的作法正确； 乙：由作图可知，， ∵， ∴， ∴， ∴是平分线，故乙的作法正确． 故选A． 12．（24-25七年级下·上海·阶段练习）据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键． 根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【规范解答】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴， ∴，即， ∵、， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D 13．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知点为边上一点，点为外一点，如果，且，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查全等三角形的判定，先证明，根据可证明． 【规范解答】解：∵， ∴，即， ∵ ∴， 又， ∴ ∴选项D正确； 而选项A、B、C都无法证明三角形全等， 故选：D． 14．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，Rt中，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【思路引导】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断④；由全等三角形的性质可得，，进而可判断③． 【规范解答】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴，故④正确； 连接，，如图所示： ，， ，，， ， ， ， ， ，故③错误， 综上，正确的有①②④， 故选：B． 【考点剖析】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理，平行线的判定与性质．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 15．（24-25八年级上·云南昭通·期末）如图，，能保证成立条件有（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【思路引导】本题考查直角三角形全等的判定条件，掌握直角三角形全等的判定条件是解答本题的关键． 根据直角三角形全等的判定条件逐个判断即可解答． 【规范解答】解： 根据直角三角形全等的判定条件“”，即斜边和一条直角边对应相等， 和 满足定理“”， ①满足AAS定理可证明 故选：C． 16．（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）如图，相交于点，且，添加下列条件，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：A、∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴不能判定，故选项符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 17．（23-24七年级下·河南郑州·期末）某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，，并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____，这时只要测出的长即为A，B的距离． (1)请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2)请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【规范解答】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 18．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在上各取一点E，D，使，连接，相交于点O，连接，．求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）利用公共边，结合证明即可． （2）利用证明即可得到结论． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·重庆南川·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且，连接，为的中点．连接并延长，交于点，在上截取点，使，连接，若． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据为的中点得，进而可依据判定和全等； （2）根据和全等得，则，再根据平行线的性质得，然后依据判定和全等，则，进而得，由此即可得出结论， 【规范解答】（1）证明：点是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 20．（24-25八年级上·湖北随州·期中）（1）问题背景：如图1，在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．    小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸：如图2，若在四边形中，，．E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由；    （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心O北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，当时，两舰艇之间的距离是多少海里，写出推理过程．    【答案】（1），证明见详解；（2）结论仍然成立，证明见详解；（3）280海里 【思路引导】本题考查的是三角形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． （1）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得 ，即可解题； （2）延长到点．使．连接，即可证明，可得，再证明，可得 ，即可解题； （3）连接，延长相交于点，然后与（2）同理可证． 【规范解答】解：（1），证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：延长到点．使．连接，如图2，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，延长相交于点，   ， ， 又， 符合探索延伸中的条件， 结论成立， 即海里， 答：此时两舰艇之间的距离是280海里． 学科网（北京）股份有限公司 $$