专题14.1 全等三角形及其性质（知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共30题）同步培优讲练-2025-2026学年人教版数学八年级上册（新教材）

专题14.1 全等三角形及其性质 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：全等图形 1 知识点梳理02：全等三角形 2 知识点梳理03：全等三角形的性质 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：图形的全等 3 考点1：图形的全等 4 中考真题 实战演练 7 难度分层 拔尖冲刺 9 基础夯实 9 培优拔高 11 知识点梳理01：全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【知识要点】全等图形具有以下两个性质特征 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 知识点梳理02：全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【知识要点】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2）如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点梳理03：全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【知识要点】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 考点1：图形的全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 【变式训练1】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）把图中的等边三角形分成2个、3个、4个全等图形． 【变式训练2】（2021·浙江宁波·二模）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点1：图形的全等 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 25．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)如果要使以点A、B、D（不与点C重合）为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标． 26．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． (3)若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有______个． (4)若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系：______． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 28．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 2．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：． 3．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 4．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，则根据图中提供的信息，可得的值为（   ） A．30 B．27 C．32 D．40 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 4．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，若，且，，则 ． 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 6．如图所示，将沿所在的直线平移到的位置，则 ，图中与 ，与 ，与 是对应角． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，交于点F，则的度数是 °． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 9．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 10．（24-25八年级上·江西赣州·期中）（1）如图，已知，求的度数． （2）已知正多边形的每一个内角比它的外角多，求该正多边形的边数． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，速度为，N点从B点向D运动，速度为，M，N同时从点B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 13．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知等腰的周长为，，若，则的腰长等于 ． 15．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 17．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 18．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0<t<4） (1)运动　 　秒时，AE=DC； (2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由； (3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=α，则∠ADE=　 　（用含α的式子表示）． 19．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 20．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中；，点从点出发，以的速度沿线段向终点运动，同时点从点出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为（秒）．    (1)连接，当时，求的值； (2)当点运动到点的右侧时，连接交于点，当是等腰三角形时，求的值； (3)直接写出当为何值时，是直角三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14.1 全等三角形及其性质 （知识梳理+3个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共30题） 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：全等图形 1 知识点梳理02：全等三角形 2 知识点梳理03：全等三角形的性质 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：图形的全等 3 考点1：图形的全等 5 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 23 知识点梳理01：全等图形 全等图形的定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形. 【知识要点】全等图形具有以下两个性质特征 （1）形状相同：两个图形的对应的角度、边数等几何结构完全一致，没有任何形状上的差异。 （2）大小相等：两个图形的所有对应线段长度相等，对应角的度数相等，面积、周长等度量值也完全相同。 如图1，两幅图形形状、大小完全相同，这两幅图形就是全等图形。 图1 知识点梳理02：全等三角形 1. 全等图形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.如图2的两个三角形形状、大小完全相同，这两个三角形就是全等三角形。 图2 2. 全等三角形对应顶点、对应角、对应边 （1） 对应顶点：当两个全等三角形完全重合时，互相重合的顶点称为对应顶点; （2） 对应角：两个全等三角形中，由对应顶点出发的角，或重合时互相重叠的角，称为对应角; （3） 对应边：两个全等三角形中，由对应顶点所连接的边，或重合时互相重叠的边，称为对应边. 图3 3. 全等三角形表示方法 （1）表示方法：如果△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，“≌”读作“全等于”； 【知识要点】（1）写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角. （2）如图3，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 知识点梳理03：全等三角形的性质 性质：1.全等三角形对应角相等；2. 全等三角形对应边相等. 数学语言： （已知） （全等三角形对应边相等） （全等三角形对应角相等） 【知识要点】全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 考点1：图形的全等 【典例精讲】（22-23八年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，在中，，为上一点，，，垂足分别为、，且．请选择一对你认为全等的三角形并加以证明．    (1)你选择的是：____________________； (2)证明： 【答案】(1)， (2)证明见解析． 【思路引导】（1）根据图形和已知条件进行选择即可； （2）由题意可知，和是直角三角形，再利用“”，即可证明全等． 【规范解答】（1）解：根据图形和已知条件，选择证明的全等三角形为， 故答案为：，； （2）证明：，， 和是直角三角形， 在和中， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【变式训练1】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）把图中的等边三角形分成2个、3个、4个全等图形． 【答案】图见解析 【思路引导】根据等边三角形的性质和全等图形的判定进行分解即可． 【规范解答】作图如下： 解：①根据等边三角形三线合一作底边的中线即可将等边三角形分成2个全等三角形如图1； ②根据等边三角形的性质，找到三角形的外心或内心即可将等边三角形分成三个全等图形，如图2，图3； ③找到三边中点，连线即可得到四个全等三角形，如图4． 【考点剖析】本题考查等边三角形的性质，以及全等三角形的判定和全等图形的判定．熟练掌握等边三角形的性质和全等图形的判定方法是解题的关键． 【变式训练2】（2021·浙江宁波·二模）百变魔尺，魅力无穷，如图是用24段魔尺（24个等腰直角三角形，把等腰直角三角形最长边看做1）围成的长为4宽为3的长方形．用该魔尺能围出不全等的长方形个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【思路引导】根据14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2，可知能围出不全等的长方形有3个． 【规范解答】解：∵长为4、宽为3的长方形， ∴周长为2×（3+4）＝14 14＝（1+6）×2＝（2+5）×2＝（3+4）×2， ∴能围出不全等的长方形有3个， 故选：A． 【考点剖析】此题考查了平面图形的规律变化，通过观察图形,分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 考点1：图形的全等 【典例精讲】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点在小正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)三角形的面积为______； (3)以为边作与全等的三角形，则可作出______个三角形与全等； 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)3 【思路引导】本题考查了画轴对称图形，构造全等三角形，分割法计算三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质，三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据轴对称的定义去构图即可． （2）运用分割法计算． （3）利用对称法、构造平行四边形法和同侧共边全等法构造即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，得 ． 故答案为：3． （3）解：利用轴对称法、构造平行四边形法，确定全等三角形如下： 共有3个， 故答案为：3． 25．（20-21八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，，，．    (1)在图中作出关于y轴的对称图形； (2)如果要使以点A、B、D（不与点C重合）为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点D坐标为、、 【思路引导】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据网格特点和全等三角形的判定画出图形，即可得到点D的坐标． 【规范解答】（1）解：如图所示；    （2）如图，满足条件的点D有三个，点D坐标为、、．    【考点剖析】本题考查了作图—轴对称变换、坐标与图形、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解答的关键． 26．（22-23八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)画出关于成轴对称的； (2)在直线上找一点，使的周长最小，请用画图的方法确定点的位置，并直接写出周长的最小值为______． (3)若在直线上存在一点，使是等腰三角形，则这样的点有______个． (4)若点也在格点上（不与点重合），且与全等，在图上画出符合条件的点，并分别写出每个与的位置关系：______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， (3)2个 (4)图见解析，与关于所在直线成轴对称，与关于的中垂线成轴对称，与关于的中点成中心对称． 【思路引导】（1）根据轴对称的性质求解即可； （2）作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P，然后根据两点之间线段最短得到周长的最小值为，最后根据勾股定理求解即可； （3）根据等腰三角形的概念求解即可； （4）根据全等三角形的判定方法求解即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求； （2）如图，作点A关于的对称点，连接与的交点即为所求点P． ∵周长， ∴周长的最小值为； （3）如图所示， ∴使是等腰三角形的点有2个； （4）如图所示， 与关于所在直线成轴对称， 与关于的中垂线成轴对称， 与关于的中点成中心对称． 【考点剖析】此题考查坐标系中关于轴对称的坐标点的变化，最小值，作对称图形，等腰三角形的概念，全等三角形的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 27．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【思路引导】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 28．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则与全等时，的值为 ． 【答案】2或或6 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时． 当点未到达终点时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点时，继续运动，如图③， 此时点与点重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故答案为：2或或6 29．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，． (1)求的度数与的长； (2)求证：． 【答案】(1)，6 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中． （1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案； （2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴． 1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，中，D是上一点，，D、E、F三点共线，请添加一个条件 ，使得．（只添一种情况即可） 【答案】或（答案不唯一） 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定解答．根据题目中的条件和全等三角形的判定，可以写出添加的条件，注意本题答案不唯一． 【规范解答】解：∵ ∴，， ∴添加条件，可以使得， 添加条件，也可以使得， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 2．（2024·四川乐山·中考真题）知：如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】利用证明，即可证明． 【规范解答】解：平分， ， 在和中， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形中，，，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等． 【答案】2或 【思路引导】可分两种情况：①得到，，②得到，，然后分别计算出的值，进而得到的值． 【规范解答】解：①当，时，， ， ， ， ，解得：， ， ， 解得：； ②当，时，， ， ， ，解得：， ， ， 解得：， 综上所述，当或时，与全等， 故答案为：2或． 【考点剖析】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 4．（2021·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由题意易得，，然后问题可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 【考点剖析】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键． 基础夯实 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是全等形的识别、利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案． 【规范解答】解：解：A、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形大小不相等，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，则根据图中提供的信息，可得的值为（   ） A．30 B．27 C．32 D．40 【答案】A 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质，解答的关键是熟记全等三角形的性质．根据全等三角形的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 则． 故选：A． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】C 【思路引导】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【规范解答】解：A．不是全等图形，故此选项不合题意； B．不是全等图形，故此选项不符合题意； C．是全等图形，故此选项符合题意； D．不是全等图形，故此选项不合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）如图，若，且，，则 ． 【答案】/35度 【思路引导】此题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理．根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理即可求出答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图：、是的边、上的点，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 (填序号) 【答案】①②③④ 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质及中点的性质，找到相应等量关系是解题的关键．判断各个选项的正误，要由已知条件：的出相等的角，相等的边，即可求解． 【规范解答】解：， ，，，， ， ，， ，， 是的中点， ， 又， ；所以①②③④均正确， 故答案为：①②③④． 6．如图所示，将沿所在的直线平移到的位置，则 ，图中与 ，与 ，与 是对应角． 【答案】 / 【思路引导】此题考查平移的性质，全等三角形的性质，根据平移的性质及全等三角形的性质解答即可，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【规范解答】解：将沿所在的直线平移到的位置，则 ，与，与，与是对应角． 故答案为：≌，． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等，三角形的外角等于两个不相邻的内角和是解题关键．设与交于点O，根据全等三角形的性质可知，结合题意即得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【规范解答】解：如图，设与交于点O， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：50． 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【规范解答】证明：， ，， ， ． 9．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，，理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【规范解答】（1）证明： ， ，， ， 即； （2）解：满足时，， 理由是： ， ， ， ． 10．（24-25八年级上·江西赣州·期中）（1）如图，已知，求的度数． （2）已知正多边形的每一个内角比它的外角多，求该正多边形的边数． 【答案】（1）；（2）该正多边形为正十边形 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，多边形的内角和与外角和，二元一次方程组的应用； （1）根据全等三角形的性质可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）设该正多边形的内角为，外角为，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解． 【规范解答】（1）解：， ， ． （2）解：设该正多边形的内角为，外角为， 依题意得：， 解得 答：该正多边形为正十边形． 培优拔高 11．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，B是上的点，，则下列结论：①，②，③．④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质． 延长交于点F，延长交于点G，由，可证，，，证明，即可判断①；证明，即可判断②；由，，即可判断③；由，，即可判断④． 【规范解答】解：如图，延长交于点F，延长交于点G．   ， ，，． ∵点B在上， ， ， ． 在中，， ， ，即，故①正确； ， ， ， ， ，即，故②正确； ，， ，故③错误； ，， 且， ，故④正确． 故选B． 12．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，已知线段，射线于点A，射线于点B，M点从B点向A运动，速度为，N点从B点向D运动，速度为，M，N同时从点B出发，若射线上有一点P，使得和全等，则线段的长度为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查全等三角形的性质，设运动时间为，则，，，再根据全等三角形得到对应边相等列方程求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴， 设运动时间为，则，，， 当时，，，解得，此时； 当时，，，解得，此时； 故选：D． 13．（24-25八年级上·云南大理·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【规范解答】解：如图， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：B． 14．（24-25九年级上·四川成都·期末）已知等腰的周长为，，若，则的腰长等于 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．分为腰、为底两种情况，求出等腰三角形的另两边，根据全等三角形的性质解答． 【规范解答】解：当为腰时， ∵， ∴， ∴的腰长等于； 当为底时， ∵等腰的周长为， ∴等腰的腰， ∵， ∴， ∴的腰长等于； 综上，的腰长等于或． 故答案为：或． 15．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿若点到的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 【答案】30 【思路引导】本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【规范解答】解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：30． 16．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是 ．（填序号） 【答案】① 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 【规范解答】解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 17．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【思路引导】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角等知识点，灵活运用相关判定与性质成为解题的关键． （1）先说明，再根据即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再根据等边对等角的性质可得，然后根据角的和差即可证明结论． 【规范解答】（1）证明：， ． ． 在与中， ． （2）解：， ． ， ． ， ． 18．如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0<t<4） (1)运动　 　秒时，AE=DC； (2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由； (3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=α，则∠ADE=　 　（用含α的式子表示）． 【答案】(1)3 (2)2秒，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）依据BD=CE=2t，可得CD=12-2t，AE=8-2t．再根据当时，，解出t的值即可； （2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，即得出12-2t=8，解出t的值即可； （3）由三角形全等的性质可知∠CDE=∠BAD．由∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，即可得到∠ADE=∠B，再根据∠BAC=α，AB=AC，即可得出∠ADE的大小． 【规范解答】（1）由题可得，BD=CE=2t， ∴CD=12-2t，AE=8-2t， ∴当时，即， 解得t=3， 故答案为：3； （2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8， ∴12-2t=8， 解得t=2， ∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立； （3）当△ABD≌△DCE时， ∴∠CDE=∠BAD， 又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB， ∴∠ADE=∠B， 又∵∠BAC=α，AB=AC， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键． 19．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上． (1)求的长． (2)求证：． (3)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)直线与直线垂直，理由见解析． 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解； （）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证； （）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点在线段上， ∴ ∴， ∴； （3）解：直线与直线垂直，理由： 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，在中；，点从点出发，以的速度沿线段向终点运动，同时点从点出发，以的速度，沿射线方向运动．设运动时间为（秒）．    (1)连接，当时，求的值； (2)当点运动到点的右侧时，连接交于点，当是等腰三角形时，求的值； (3)直接写出当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查全等三角形的性质，直角三角形，等腰三角形等知识； （1）利用全等三角形的性质得到，再根据计算即可； （2）分情况讨论，若时，若，若时，根据等边三角形的角度关系得到，再结合直角三角形性质得到，表示出，将计算即可； （3）分情况讨论，当，当， 结合直角三角形性质得到计算即可． 【规范解答】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：∵ ∴为等边三角形 ∴ ∴ ∵是等腰三角形 若 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 若，，不成立 若，，不成立 ∴ （3）解：由（2）知， 当， 当，如下图    ∵ ∴不可能为直角， 综上：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$