专题十三 带电粒子在磁场中运动的多解及临界和极值问题(Word教参)-【精讲精练】2026年高考物理一轮复习（人教版）

专题十三　带电粒子在磁场中运动的多解及临界和极值问题 [对应学生用书第218页] 考点一　带电粒子在磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向 不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态 不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出 考向1　带电粒子电性不确定 　如图所示，P点距坐标原点的距离为L，坐标平面内的第一象限内有方向垂直坐标平面向外的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B。有一质量为m、电荷量为q的带电粒子从P点以与y轴正方向夹角为θ ＝45°的速度垂直磁场方向射入磁场区域，在磁场中运动，不计粒子重力。求： (1)若粒子垂直于x轴离开磁场，则粒子进入磁场时的初速度大小； (2)若粒子从y轴离开磁场，求粒子在磁场中运动的时间。 [解析]　(1)若粒子垂直于x轴离开磁场，粒子的运动轨迹如图(a)所示 由几何关系可得R1＝＝L。 由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m 联立解得v＝。 图(a) (2)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝， 若粒子从y轴离开磁场，如果粒子带正电，粒子的运动轨迹如图(b)所示 由几何关系粒子在磁场中的偏转角为α1＝270° 所以运动时间为t1＝T 联立解得t1＝ 如果粒子带负电，粒子在磁场中运动的轨迹如图(c)所示 根据几何关系可知，粒子在磁场中的偏转角为α2＝90° 所以粒子在磁场中运动的时间为t2＝T＝·＝。 　 图(b)　　　　　　　　　图(c) [答案]　(1)　(2)或 考向2　磁场方向不确定 　(多选)如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　) A．B>，垂直纸面向里 B．B>，垂直纸面向里 C．B>，垂直纸面向外 D．B>，垂直纸面向外 [解析]　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则知负离子向右偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图所示(大圆弧)，由几何知识知R2＝sin 30°＝，而＝s＋R2，R2＝s，所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出qvB＝m，B>，故A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则知：负离子向左偏转。约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切。如图所示(小圆弧)，由几何知识知道相切圆的半径为，所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件。由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出qvB＝m，B>，故C错误，D正确。 [答案]　BD 考向3　临界状态不唯一 　长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从距水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足(　　) A．v0>　　　　　 B．v0< C．<v0< D．v0>或v0< [解析]　电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B＝m，解得R＝，根据上述分析当半径很小或者半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界点轨迹分别与水平板相切、轨迹恰好经过水平板两端点，如图所示，根据几何关系可知Rmin＝，Rmax＝，解得v0min＝，v0max＝，则有<v0<，故选C。 [答案]　C 处理多解模型的解题技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能)。 (3)若为周期性的多解问题，注意寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。 1．如图所示，正方形abcd区域(包含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电量为q的正电粒子从a点沿着ab方向射入磁场中，边长为l，不计粒子的重力，为使粒子从cd边射出磁场区域，粒子的速度可能为(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析　根据洛伦兹力充当向心力有Bqv＝m，解得R＝，可知对于同一粒子或比荷相同的粒子，在同一磁场中做圆周运动的轨迹半径由速度决定，速度越大轨迹半径越大。因此，粒子若要从cd边射出磁场区域，则恰好从d点出射时，粒子有最小速度，且此时ad为粒子轨迹的直径，有＝，解得vmin＝。若粒子恰好从c点射出，粒子有最大速度，根据几何关系可知，此时粒子的轨迹半径为l，则有l＝，解得vmax＝，综上可知，若粒子从cd边射出磁场区域，则粒子速度的取值范围为≤v≤，故选C。 答案　C 2．(多选)(2024·河北唐山二模)如图所示，PQ、MN是相互平行、间距为L的长直边界，在两边界外侧都存在匀强磁场，方向均垂直于纸面向内，MN右侧磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子从MN边界的O点以大小为v的初速度垂直于边界沿纸面射入右侧磁场区，一段时间后粒子从右向左再次经过O点，不计粒子的重力。左侧磁场的磁感应强度可能值为(　　) A． B． C． D． 解析　设带电粒子在右侧匀强磁场中运动的轨道半径为r，根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得B＝。设粒子在PQ左侧匀强磁场中运动的轨道半径为R，若粒子进入左侧磁场区运动一次后，从右向左经过O点，其轨迹如图(a)所示，则R1＝2r，qvB1＝m，解得B1＝＝。若粒子两次进入左侧磁场区运动后，才从右向左经过O点，粒子运动轨迹如图(b)所示，由几何关系可知2R2＝3r，qvB2＝m，解得B2＝＝，故选CD。 　 图(a)　　　　　　图(b) 答案　CD 考点二　利用“动态圆”解带电粒子在磁场中运动的临界和极值问题 1．临界条件的挖掘 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大(前提条件是劣弧)，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，轨迹圆心角越大，运动时间越长。 (4)当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，则以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的偏转角最大。 2．“动态圆”模型在求解临界、极值问题中的应用 考向1　“放缩圆”模型的应用 适用条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 　(2024·广西贵港模拟)真空中直角三角形ABC 区域内(含边界)存在垂直纸面向里的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B，AB边长度为d，∠B的大小θ＝60°。在BC的中点有一粒子源，能持续地沿平行BA方向发射比荷为k、速率不同的正粒子，如图所示，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求： (1)粒子在磁场中运动的最长时间； (2)从AB边射出的粒子的速率范围。 [解析]　(1)当粒子能从BC边离开磁场时，其在磁场中运动时间最长，运动轨迹如图所示， 设粒子在磁场中运动的速度为v1、轨迹半径为r1，对应圆心角为α，由题意得＝k 根据洛伦兹力提供向心力可得qv1B＝ 粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝ 由几何关系可得α＝π 粒子在磁场中运动的最长时间tm＝T 联立解得tm＝。 (2)如图所示，当粒子运动轨迹与AC边相切时，设其运动轨迹半径为r2，粒子运动到AB边有最大速度，当粒子运动轨迹恰好与AB边相切时，设其运动轨迹半径为r3，对应有最小速度，由几何关系得r2＝，r3＝ qv2B＝，qv3B＝ 粒子能从AB边上射出的速度v3<v≤v2 解得从AB 边射出的粒子速率范围为<v≤。 [答案]　(1)　(2)<v≤ 考向2　“旋转圆”模型的应用 适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝。如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上 界定方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 　(多选)如图所示，直角三角形ABC区域内存在垂直于纸面向里且磁感应强度为B的匀强磁场，BC边上O点处有一粒子源，可沿各个方向向三角形区域内发射质量为m、带电量为＋q、初速度大小为v0＝的粒子(不计重力)，OB＝L，OC＝L，∠A＝90°，∠B＝30°。下列说法正确的是(　　) A．粒子在磁场中运动的最短时间为 B．粒子在磁场中运动的最长时间为 C．AB边上有粒子射出的长度为L D．从OB边射出的粒子占粒子总数的 [解析]　粒子运动的动态圆在各个边上的临界点如图所示，粒子运动的半径为。动态圆对应的弦为OE和OF时，粒子对应的时间最短T＝，故选项A错误；粒子刚好从OB边射出时对应的圆心角最大为120°，故而最长时间为T＝，故选项B错误；AB边上有粒子射出的部分为AD，长度为L，故选项C正确；沿OF和OB方向发射的粒子均从OB边上射出，角度为60°，故而占粒子总数的，故选项D正确。 [答案]　CD 　(多选)如图所示，若三角形为正三角形，在正三角形区域有方向垂直纸面向里的匀强磁场，速度大小均为v的带电粒子从BC边的中点O处沿各个方向射入磁场，若已知粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)，正三角形边长为L，粒子运动的轨道半径为，不计粒子的重力及带电粒子之间的相互作用，则(　　) A．该磁场的磁感应强度为 B．该磁场的磁感应强度为 C．在磁场中运动的最长时间的粒子将从OB之间离开磁场 D．粒子在磁场中运动的最长时间小于 解析　根据洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，B＝，故选项A错误，B正确；粒子轨迹如图所示，由图可知，粒子在磁场中运动时间最长时，轨迹与AC边相切，在磁场中运动的最长时间的粒子将从AD之间离开磁场，选项C错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期为T＝＝，若粒子能过A点，设轨迹对应的圆心角为θ，则有sin ＝＝＝，即θ＝120°。此时在磁场中运动时间为t＝＝＝，但是由粒子轨迹图可知，粒子不能过A点，当轨迹与AC相切时，圆心角小于120°，故粒子在磁场中运动的最长时间小于，选项D正确。 答案　BD 1．临界问题的分析重点是临界状态 临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。 2．极值问题 所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。 1．(多选)如图所示为半径为R的半圆形有界匀强磁场(含圆形边界)，磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外，位于圆心O点处的质子源可在纸面内沿各个方向以相等速率向磁场区域内连续发射质量m、电荷量为q的质子(重力不计)，则下列说法正确的是(　　) A．为使所有质子均不会从磁场圆弧边界ACD射出磁场，则质子的速度v≤ B．从圆心O处以斜向右与AD夹角为60°的方向发射的质子恰从D点射出，则质子的轨道半径为R C．若质子的速率v＝，则质子在磁场中运动的最长时间为tmax＝ D．若质子的速率v＝，则所有质子在磁场中通过的区域的面积为R2 解析　质子在磁场中做圆周运动，根据题意分析知，要使质子均不从圆弧边界ACD射出磁场，则质子的半径应满足r1≤，由qvB＝m，解得v≤，故选项A正确；图甲中，根据几何关系可知r2cos 30°＝，解得r2＝R，故选项B正确；若质子的速率v＝，则如图乙所示，当质子在磁场中运动的轨迹圆弧对应的弦为磁场区域圆的半径时，质子在磁场中有最长运动时间，由几何关系可知tmax＝×，故tmax＝，选项C错误；若质子的速率v＝，由图乙可知待求磁场区域面积为图中阴影部分面积，则S＝π×－R·R sin 30°＋πR2＝R2，故选项D正确。 答案　ABD 2．(2024·河北邯郸校联考)如图所示，在y>0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面并指向纸外，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q(q<0)的带电粒子以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xOy平面内，与x轴正向的夹角为θ＝30°，粒子重力不计。求： (1)该粒子在磁场中离x轴的最远距离； (2)该粒子在磁场中运动的时间。 解析　(1)粒子的运动轨迹如图所示 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝，解得r＝由几何关系知该粒子在磁场中离x轴最远距离为d＝(r＋r cos 30°)＝。 (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T＝＝，粒子在磁场中运动轨迹对应的圆心角为300°，则有t＝·＝。 答案　(1)　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $$