第08讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式（知识清单+易错+9必考题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第08讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略对二次项系数的讨论或分类讨论不全致错 题型方法 题型一 函数的零点问题 题型二 解不含参数的一元二次不等式 题型三 解含参数的一元二次不等式 题型四 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 题型五 解高次不等式 题型六 解分式不等式 题型七 二次函数的零点的分布问题 题型八 不等式恒成立 题型九 一元二次不等式的实际应用 知识清单 知识点01二次函数的零点 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. 知识点02一元二次不等式 1. 一元二次不等式的概念 　　只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式. 2. 一元二次不等式的一般形式 　    ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a，b，c均为常数，且a≠0). 知识点03三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异的实数根 x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=- 没有实数根 一元二次 不等式的 解集 ax2+bx+c>0(a>0) (-∞，x1)∪(x2，+∞) ∪ R ax2+bx+c<0(a>0) (x1，x2) ⌀ ⌀ 注意：当一元二次不等式的二次项系数为负时，可化为正数再求解 知识点04一元二次不等式的解法 1. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式的变形，使不等号右侧为0，左侧的二次项系数为正. (2)判别式：对不等号左侧因式分解，若不易分解，则计算其对应方程的判别式. (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出其对应的二次函数图象的草图. (5)写解集：根据图象写出不等式的解集. 2. 解含参数的一元二次不等式 (1)不改变解题步骤. (2)根据运算的需要进行分类讨论： ①讨论二次项系数：当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数与0的大小关系，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式； ②讨论不等式对应方程根的个数：当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系； ③讨论两根的大小：确定方程有两根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 知识点05三个“二次”之间的关系　  1. 三个“二次”之间的关系 (1)在三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来解决. (2)研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决相关问题 2. 应用三个“二次”之间的关系解题的思路 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0(a≠0))的解集求解其他不等式的解集时，一般遵循： ①根据解集判断二次项系数的符号和一元二次方程的根； ②根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； ③约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 知识点06一元二次不等式的恒(能)成立问题 1. 解决与一元二次不等式恒(能)成立的有关问题的方法 (1)将与一元二次不等式有关的问题转化为其所对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑二次项系数和对应方程的判别式的符号这两方面. (2)将与一元二次不等式有关的问题转化为其对应的二次函数的最值问题，分离参数后，求相应二次函数的最值，建立参数与这个最值的关系. 知识点07一元二次不等式的实际应用问题 1. 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选择合适的字母表示题目中起关键作用的未知量； (2)根据题中信息构造不等关系或函数模型； (3)解一元二次不等式； (4)结合题目的实际意义确定答案. 知识点08通过三个“二次”问题发展直观想象的素养 　　三个“二次”中综合问题解题思路的探究，是以二次函数的图象为几何直观，通过其开口方向、对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等，对相关一元二次方程(不等式)进行定量计算，进而解决相关问题. 易错分析 【易错点一】忽略对二次项系数的讨论或分类讨论不全致错 【例1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有3个整数，写出符合题意的的两个值 ， . 【变式3】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于的不等式． 题型方法 【题型一】函数的零点问题 【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（   ） A． B． C． D． 解题技巧 求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根 由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 【变式2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 【变式3】（2023高一上·江苏·专题练习）函数的零点为 ． 【题型二】解不含参数的一元二次不等式 【例2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 解题技巧 一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将已给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解，当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 【举一反三】【变式1】（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）解不等式 (1) (2) 【题型三】解含参数的一元二次不等式 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 解题技巧 解含参数的一元二次不等式的步骤 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知． (1)若的解集为，求实数a，t的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 【题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【例4】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【变式2】（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1）解不等式 （2） 已知不等式的解集为或，求不等式的解集． 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求的解集． 【题型五】解高次不等式 【例5】（20-21高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【举一反三】【变式1】（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若在上恒成立，则0 （用“”､“”､“关系不能确定”填空）；的最大值为 . 【变式2】（20-21高一·江苏）解下列不等式： （1）＜0； （2）(x＋2)2(x－1)3(x＋1)(x－2)＜0. 【变式3】（20-21高一·江苏）解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【题型六】解分式不等式 【例6】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【举一反三】【变式1】（21-22高一上·江苏南通·阶段练习）不等式的解集是 . 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）解不等式； （2）求证：. 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）解关于x的不等式： (1)； (2). 【题型七】二次函数的零点的分布问题 【例7】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 解题技巧 由二次函数的零点分布求参数范围的问题， 一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象，得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数) ，列出不等式组进行求解．函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是 ． 【变式2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数.若函数的两个零点都在区间内，求实数的取值范围 【变式3】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习） (1)若二次函数有两个大于0的零点，求实数a的取值范围. (2)若二次函数在上有两个零点，求实数m的取值范围. 【题型八】不等式恒成立 【例8】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【变式3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式（其中）． 【题型九】一元二次不等式的实际应用 【例9】（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 解题技巧 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数． (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)求解所列出的不等式(组)． (4)结合题目的实际意义确定答案． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【变式3】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2021高一·江苏·专题练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集为 ． 7．（24-25高一上·江苏南京·自主招生）有四个解，若，则 . 8．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 三、解答题 9．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集： (1) (2) (3)． 10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知全集，集合，. (1)若，求及； (2)若，求的取值范围. 11．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求a的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求k的取值范围． 12．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设是实数，函数． (1)若，函数的两个零点都在区间内，求的取值范围； (2)若函数的图象与轴交于两点，求关于的不等式的解集． 13．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 题型梳理 易错分析 易错点一 忽略对二次项系数的讨论或分类讨论不全致错 题型方法 题型一 函数的零点问题 题型二 解不含参数的一元二次不等式 题型三 解含参数的一元二次不等式 题型四 一元二次不等式与对应函数、方程的关系 题型五 解高次不等式 题型六 解分式不等式 题型七 二次函数的零点的分布问题 题型八 不等式恒成立 题型九 一元二次不等式的实际应用 知识清单 知识点01二次函数的零点 1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. 知识点02一元二次不等式 1. 一元二次不等式的概念 　　只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式. 2. 一元二次不等式的一般形式 　    ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(a，b，c均为常数，且a≠0). 知识点03三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两个相异的实数根 x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根 x1=x2=- 没有实数根 一元二次 不等式的 解集 ax2+bx+c>0(a>0) (-∞，x1)∪(x2，+∞) ∪ R ax2+bx+c<0(a>0) (x1，x2) ⌀ ⌀ 注意：当一元二次不等式的二次项系数为负时，可化为正数再求解 知识点04一元二次不等式的解法 1. 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准：通过对不等式的变形，使不等号右侧为0，左侧的二次项系数为正. (2)判别式：对不等号左侧因式分解，若不易分解，则计算其对应方程的判别式. (3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出其对应的二次函数图象的草图. (5)写解集：根据图象写出不等式的解集. 2. 解含参数的一元二次不等式 (1)不改变解题步骤. (2)根据运算的需要进行分类讨论： ①讨论二次项系数：当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数与0的大小关系，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式； ②讨论不等式对应方程根的个数：当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系； ③讨论两根的大小：确定方程有两根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 知识点05三个“二次”之间的关系　  1. 三个“二次”之间的关系 (1)在三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来解决. (2)研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决相关问题 2. 应用三个“二次”之间的关系解题的思路 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0(a≠0))的解集求解其他不等式的解集时，一般遵循： ①根据解集判断二次项系数的符号和一元二次方程的根； ②根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； ③约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 知识点06一元二次不等式的恒(能)成立问题 1. 解决与一元二次不等式恒(能)成立的有关问题的方法 (1)将与一元二次不等式有关的问题转化为其所对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑二次项系数和对应方程的判别式的符号这两方面. (2)将与一元二次不等式有关的问题转化为其对应的二次函数的最值问题，分离参数后，求相应二次函数的最值，建立参数与这个最值的关系. 知识点07一元二次不等式的实际应用问题 1. 利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选择合适的字母表示题目中起关键作用的未知量； (2)根据题中信息构造不等关系或函数模型； (3)解一元二次不等式； (4)结合题目的实际意义确定答案. 知识点08通过三个“二次”问题发展直观想象的素养 　　三个“二次”中综合问题解题思路的探究，是以二次函数的图象为几何直观，通过其开口方向、对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等，对相关一元二次方程(不等式)进行定量计算，进而解决相关问题. 易错分析 【易错点一】忽略对二次项系数的讨论或分类讨论不全致错 【例1】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【解答】由， 当时，不等式即为，解得， 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下， 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）关于的不等式的解集中恰有3个整数，写出符合题意的的两个值 ， . 【答案】 /-0.5 【分析】讨论a的取值范围，判断出，确定不等式的解集，根据题意确定可能的三个整数，由此列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】当时，不等式即，则解集中有无数个整数，不符合题意； 故，则的解集中恰有3个整数， 即的解集中恰有3个整数， 当时，不等式的解集为或， 解集中有无数个整数，不合题意； 则，原不等式即为， 而，故不等式解集为， 不等式的解集中恰有3个整数，又， 故另外1个整数为或， 则或，解得或， 故答案为：， 【变式3】（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知函数，． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分类讨论和，当时直接分析即可，当时根据解集列出对应韦达定理形式，由此可求的值； （2）分类讨论和，当时直接求出解集，当时先将不等式因式分解，然后根据与的大小关系进行讨论即可. 【详解】（1）当时，，解集为，不符合； 当时，的解集为， 所以，解得. （2）当时，，解得； 当时，， 若，，且，解得或， 若，， （ⅰ）若，则，无解， （ⅱ）若，则，解得， （ⅲ）若，则，解得； 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 题型方法 【题型一】函数的零点问题 【例1】（24-25高一下·江苏扬州·期中）函数的零点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出零点即可. 【详解】由，得， 所以函数的零点是. 故选：C 解题技巧 求解二次函数的零点，即转化为求二次函数所对应一元二次方程的根 由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确地运用判别式及根与系数的关系． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）函数的零点为（    ）. A． B． C．和5 D．和 【答案】C 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得或， 所以函数的零点为和5. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）函数的零点为 . 【答案】2 【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点. 【详解】解方程得， 所以函数的零点为2. 故答案为：2. 【变式3】（2023高一上·江苏·专题练习）函数的零点为 ． 【答案】 【分析】令，解出方程即可. 【详解】令， 解得或者， 所以的零点为或 故答案为： 【题型二】解不含参数的一元二次不等式 【例2】（24-25高一下·江苏连云港·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由题可得不等式解集. 【详解】或，则得或. 则解集为或. 故选：B 解题技巧 一元二次不等式的解法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将已给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解，当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 【举一反三】【变式1】（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）不等的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式解法确定不等式的解集. 【详解】原不等式就转化为. 解得，即不等式的解集为. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求得的最小值，再解关于的一元二次不等式即可. 【详解】由，故可得，则， 当且仅当，且，时，也即时取得等号，故的最小值为； 根据题意可得，即，，解得. 故实数的取值范围为：. 故答案为：. 【变式3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）解不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用解关于的一元一次不等式的方法即可求解； （2）利用解关于的一元二次不等式的方法即可求解； 【详解】（1）由，则，解得，， 故不等式的解集为. （2）由的根为， 则结合一元二次方程，二次函数的图象，一元二次不等式的关系知， 不等式解集为. 【题型三】解含参数的一元二次不等式 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据的范围判断对应方程两根的大小，利用一元二次不等式的解法得到结果即可． 【详解】， ， 原不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 解题技巧 解含参数的一元二次不等式的步骤 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】解不等式可得，或.根据已知列出不等式组，即可得出答案. 【详解】解，可得，或. 由题意，，解得，检验符合题意. 故选：D． 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据开口方向的不同分为三种情况讨论，运用基本不等式对集合进行分析. 【详解】当时，原不等式为，解得，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为或， 此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为，而， 则集合至少含有共个元素. 综上所述：集合中元素最少为个，此时且，解得. 故答案为： 【变式3】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知． (1)若的解集为，求实数a，t的值； (2)当时，求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用根与系数的关系即可求解. （2）对分和讨论，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）的解集为， 所以，解得. （2）当，，即，即， 当时，得，解得， 当时，方程只有一根，所以不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为. 【题型四】一元二次不等式与对应函数、方程的关系 【例4】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可得的关系及的正负，将不等式转化为，运算得解. 【详解】由不等式的解集为， 则是方程的根，且， 则，所以，， 所以不等式等价于， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B. 解题技巧 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循： (1)根据解集来判断二次项系数的符号； (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】； 【分析】根据题意得到，，，从而得到，再解不等式即可. 【详解】由题意可得，，，则，， 则不等式可化为，， 解得：或， 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·江苏·阶段练习）（1）解不等式 （2）已知不等式的解集为或，求不等式的解集． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【分析】（1）根据两根的大小关系分类讨论即可得解； （2）利用韦达定理求出，代入目标不等式即可求解. 【详解】（1）原不等式化为， 若，即，则或 若，即，则或 若，即时，原不等式解集为． 综上，当时，原不等式解集为或； 当时，原不等式解集为或 当时，原不等式解集为． （2）不等式的解集为或， 所以与之对应的二次方程的两个根为，， 由根与系数关系的 不等式即为， 所以，解得， 不等式的解集为． 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，求的解集． 【答案】 【分析】由于不等式的解集为，可得，是的一元二次方程的两个实数根，利用根与系数关系可得a，b，即可得出. 【详解】因为的解集为， 可知，是的一元二次方程的两个实数根，且， 由根与系数的关系得，解得 则可化为， 即，解得， 所以的解集为． 【题型五】解高次不等式 【例5】（20-21高一上·江苏盐城·阶段练习）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】化为后，根据穿根法可得结果. 【详解】等价于， 根据穿根法可得或. 故选：B. 【点睛】本题考查了高次不等式的解法，属于基础题. 【举一反三】【变式1】（21-22高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若在上恒成立，则0 （用“”､“”､“关系不能确定”填空）；的最大值为 . 【答案】 【分析】如果，则时不等式成立，代入可得，分析整理，可得进行判断； 法一：先求得不等式的解集，根据a，b的正负，结合题意，可得，即可求得a的范围，即可得答案； 法二：根据题意，时，不等式成立，代入求解，化简整理，即可得答案. 【详解】如果，则时不等式成立，即， 因为，可得， 与矛盾，故； 法一： 因为，所以， 所以不等式的解集为或， 因为，， 所以要使得在上恒成立， 只需， 解得，所以. 法二： 因为在上恒成立， 所以时可得， 因为，所以， 解得，所以， 经检验，，时符合条件. 【变式2】（20-21高一·江苏）解下列不等式： （1）＜0； （2）(x＋2)2(x－1)3(x＋1)(x－2)＜0. 【答案】（1）(－∞， －2)∪(1, 2)；（2）{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}． 【分析】（1） 解法1：由原不等式等价于 或 求解；解法2：利用穿根法求解； （2）由 原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2, x≠1，利用穿根法求解. 【详解】（1） 解法1：原不等式等价于或 ， 解得1＜x＜2或x＜－2， 综上，所以原不等式的解集是{x|1＜x＜2或x＜－2}． 解法2：原不等式等价于(x＋2)(x－1)(x－2)＜0， 所以由穿根法可得原不等式的解集为(－∞， －2)∪(1, 2)． （2） 原不等式等价于(x＋1)(x－1)(x－2)＜0且x≠－2, x≠1， 所以由数轴标根法可得原不等式的解集为{x|1＜x＜2或－2＜x＜－1或x＜－2}． 【变式3】（20-21高一·江苏）解下列不等式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）或，（2）或，（3）或，（4） 【分析】利用一元二次不等式的解法逐个求解即可 【详解】（1）由，得，解得或， 所以不等式的解集为或， （2）由，得，， 解得或， 所以不等式的解集为或， （3）由，得，解得（舍去）或， 得或， 所以不等式的解集为或， （4）由，得，则， 得或（舍去）， 所以， 所以不等式的解集为 【题型六】解分式不等式 【例6】（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解出不等式的解集，然后根据并集概念计算出结果. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 所以， 故选：C. 解题技巧 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 【举一反三】【变式1】（21-22高一上·江苏南通·阶段练习）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式 且，即可得解. 【详解】不等式可化简为等价为 且， 解之得或，即不等式的解集为. 故答案：. 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）解不等式； （2）求证：. 【答案】（1）或；（2）证明见解析 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解，要注意分母不等于零； （2）利用作差法结合因式分解比大小即可. 【详解】（1）不等式转化为，且， 不等式为，且， 解得或， 所以不等式的解集为或. （2） ， 而，所以， 则， 所以. 【变式3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）解关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据分式不等式解法运算求解； （2）分类讨论和判别式的符号，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且，解得， 故原不等式解集为． （2）当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为． 【题型七】二次函数的零点的分布问题 【例7】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可. 【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧， 根据图象可得，即， 解得. 故选：B. 解题技巧 由二次函数的零点分布求参数范围的问题， 一般要结合对应一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式组进行求解；或者结合二次函数图象，得出开口方向、 对称轴、 判别式以及端点函数值符号(此端点指的是与方程的根比较大小的数) ，列出不等式组进行求解．函数有两个零点说明函数图象与x轴有两个交点 【举一反三】【变式1】（24-25高一下·江苏南京·期中）方程的一根在内，另一根在内，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，根据根的分布情况，得到不等式，求出答案. 【详解】设，开口向上， 由题意得，解不等式得 实数m的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知二次函数.若函数的两个零点都在区间内，求实数的取值范围 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个正根的充要条件列不等式求解即可. 【详解】由题知，方程有两个正根，记为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式3】．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习） (1)若二次函数有两个大于0的零点，求实数a的取值范围. (2)若二次函数在上有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】结合图像，利用二次函数根的分布，即可求得所求. 【详解】（1）因为开口向上，对称轴为，且有两个大于0的零点，如图1， 所以结合图像可得，即，解得，故，即. . （2）因为开口向上，对称轴为，且在上有两个零点，如图2， 所以结合图像可得，即，解得，故，即. . 【题型八】不等式恒成立 【例8】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）“，”恒成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据恒成立求解，即可根据集合间的关系求解. 【详解】若，，则对恒成立，即， 由可得， 所以，所以， 由于是的真子集，故符合题意. 选项AB是必要不充分条件，C是充要条件. 故选：D. 解题技巧 一元二次不等式恒成立问题的解法 (1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑x2的系数和对应方程的判别式的符号这两个方面． (2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知命题：，为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次不等式恒成立问题可转化为二次方程解的情况，可得不等式，解不等式即可. 【详解】因为命题：，为真命题，所以不等式的解集为. 若，则不等式可化为，解得，不等式解集不是； 若，则根据一元二次不等式解集的形式可知：，解得， 综上可知：， 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】参变分离可得，使恒成立，由二次函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知二次函数． (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式（其中）． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用二次不等式恒成立，可得答案； （2）分类讨论求解即可． 【详解】（1）由恒成立，可得恒成立，即不等式解集为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）不等式，即， 等价于，即， 当时， ①当时，因为，解不等式得：； ②当时，因为，不等式的解集为； ③当时，因为，解不等式得：； 综上所述，不等式的解集为： ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 【题型九】一元二次不等式的实际应用 【例9】（24-25高一上·江苏苏州·期中）常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（   ） A．48元 B．49元 C．51元 D．50元 【答案】D 【分析】根据题意列出不等式求解即可. 【详解】根据题意可得，整理得， 解得，又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为. 故选：D. 解题技巧 利用不等式解决实际问题的一般步骤 (1)选取合适的字母表示题目中的未知数． (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)． (3)求解所列出的不等式(组)． (4)结合题目的实际意义确定答案． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设列不等式为，整理并解一元二次不等式求解集即可. 【详解】由题设且，整理得，可得. 故选：B 【变式2】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题目条件，按照稀释药液顺序，逐渐分析.可得，然后解不等式可得答案. 【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升， 则加满水后药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中， 药液有升，则加满水后药液含量占容积比例为， 由题有，，解得， 又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以， 故答案为：. 【变式3】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出两个集合的解集，再根据集合的运算可求出结果. 【详解】对于不等式，解得， 所以， 对于不等式，即，解得， 所以， 所以. 故选：B. 2．（2021高一·江苏·专题练习）不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把不等式，转化为，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，不等式，化简为， 即，解得或， 所以不等式的解集为， 故选：C． 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 4．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 5．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知函数，若它们同时满足：①，与中至少有一个小于0；②，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由①知当时，恒成立，由此可得二次函数开口方向及零点位置，由此可构造不等式组求得；由②知，，结合可确定两零点的范围，由此可得不等式求得；综合两种情况可得最终结果. 【详解】对于①，当时，成立， 只需当时，恒成立即可， ，解得：； 对于②，当时，， 则只需，即可； 令，解得：，； 由①得：，，， 若，， 则只需，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：D. 二、填空题 6．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】先移项把分式不等式右侧变为0，再把转化为一元二次不等式，解不等式即可. 【详解】不等式，移项得到，即， 得，解得，即不等式解集为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·江苏南京·自主招生）有四个解，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，设，由换元法结合韦达定理代入计算，可得，即可得到结果. 【详解】根据题意可知0不是方程的根，否则方程只有三个根， 设，则， 设两根为，， ，， 又，或， 设，四根依次为，，，， ，， ，， ，， ，， 故答案为：. 8．（22-23高一上·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为 （元）. 【答案】120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 三、解答题 9．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解. （2）利用“穿根法”解高次不等式. （3）分情况讨论，去掉绝对值符号，解不等式. 【详解】（1）. 所以不等式的解集为：. （2）由 所以， 由穿根法： 原不等式的解集为：. （3） 当时，原不等式可化为：； 当时，原不等式可化为：，无解. 综上可知：原不等式的解集为：. 10．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知全集，集合，. (1)若，求及； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可求得集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合； （2）由题意可得，分、两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）集合，且全集， 则. 因为，所以，所以. （2）因为，则. 当，即时，，合乎题意； 当，即时，，则，可得. 综上所述，实数的取值范围是. 11．（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）若不等式的解集是． (1)求a的值，并求不等式的解集； (2)一元二次不等式的解集为，求k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：方程的两根为，且，利用韦达定理求a的值，进而解不等式； （2）由题意可得：一元二次不等式的解集为，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立运算求解. 【详解】（1）由题意可知：方程的两根为，且，即， 则，解得， 不等式，即为，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由（1）知，， 结合题意可得：一元二次不等式的解集为， 若，则不恒成立，不符合题意； 若，则，解得. 综上所述：的取值范围是. 12．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）设是实数，函数． (1)若，函数的两个零点都在区间内，求的取值范围； (2)若函数的图象与轴交于两点，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知可得，求解即可； （2）由是方程的两根，进而可得的关系，进而分类讨论可求的解集. 【详解】（1）当时，， 因为的两个零点都在区间，由于， 所以， 即，故的取值范围． （2）因为函数的图象与轴交于两点． 所以且是方程的两根，则：， 当时，由得：， ，解得或， 故不等式的解集为； 当时，由得：， ，解得， 故不等式的解集为． 综上所述：当时，不等式的解集为． 当时，不等式的解集为． 13．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$