3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(第1课时 认识三个二次间的关系)导学单-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

江苏省启东中学高一数学·第一册问题导学单·第3章——不等式 第3章 不等式 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 第1课时 认识三个二次间的关系 【考查要求】 课标要求： 1．了解一元二次方程的根与二次函数零点的关系． 2．会用函数的图象判断一元二次方程的根的情况． 3．理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式的关系． 4．能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 素养要求： 通过用二次函数的图象判断一元二次方程的根的情况，提升直观想象素养、逻辑推理素养．从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养． 【内容梳理与经典例题】 二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当 函数值取零 时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x轴交点的横坐标 ，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 【例1】(二次函数零点的判断)判断下列函数是否存在零点，若存在，求出零点． (1)y＝－x2＋2x＋3． (2)y＝x2－x－6． (3)y＝2x2＋3x＋2． 【例2】(函数零点与参数的值)若函数y＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数y＝x2＋x－a其余的零点． 【变式2-1】(1)已知函数y1＝x2－ax＋b有两个零点，则函数y2＝－bx2＋ax－1的零点个数为________． (2)若函数y1＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数y2＝bx2－ax－1的零点是(　　) A．－1， B．1，－ C．， D．－，－ 【变式2-2】若函数y＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点，则实数a＝________． 二次函数的图象、一元二次方程的根与二次函数的零点之间的关系(当a>0时 ) 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异实根 x1，2＝ 两相等实数 x1＝x2＝ 没有实根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 x1，2＝ 有一个零点 x1＝x2＝ 无零点 【例3】(一元二次方程根的分布)已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在(0，2)内，求实数m的取值范围． 【变式3-1】(1)若函数y＝x2＋(1－m)x＋m－2的一个零点大于0，另一个零点小于0，则实数m的取值范围是________． (2)若关于x的方程4x2＋(m－2)x＋m－5＝0的一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(0，2)内，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C．∪(5，＋∞) D． 一元二次不等式 只含有一个 未知数 ，并且未知数最高 次数是2 的整式不等式叫作一元二次不等式． 一元二次不等式与二次函数有什么关系？ 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合． “三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1<x2 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 【例4】(一元二次不等式的解法)解下列不等式： (1)x2－5x－6>0； (2)(2－x)(x＋3)<0； (3)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)． 思维升华　解一元二次不等式的方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． (2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m＜n时，若(x－m)(x－n)＞0，则可得 ； 若(x－m)(x－n)＜0，则可得 ． 有口诀如下： ． 【例5】(“三个二次”间对应关系的应用)已知关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，求2x2＋bx＋a<0的解集． 思维升华　三个“二次”之间的关系 【例6】(讨论两根大小)解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)． 【例7】(讨论二次项系数)解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)． 【例8】(讨论判别式)解关于x的不等式x2－2ax＋3≥0(a∈R)． 思维升华　解含参数的一元二次不等式的步骤 【变式8-1】设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0． 课外作业 A 基本问题 A1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是(　　) A． B． C．∅ D． A2．若0<t<1，则关于x的不等式(x－t)<0的解集是(　　) A． B． C． D． A3．若一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x<－3或x>5}，则ax2－bx＋c<0的解集为(　　) A．{x|x<－5或x>3} B．{x|－5<x<3} C．{x|x<－3或x>5} D．{x|－3<x<5} A4．已知关于x的方程x2－ax＋3＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则实数a的取值范围是(　　) A．(4，＋∞) B．(－∞，4) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) A5．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实根1，2，则函数y＝cx2＋bx＋a的零点为(　　) A．1，2 B．－1，－2 C．1， D．－1，－ A6．已知函数y＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． A7．函数y＝x2－5x－6在区间[1，4]上的零点个数是________． A8．不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________． A9．解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0； (4)－x2＋6x－10>0． A10．已知函数y＝ax2＋2ax＋1有两个零点x1，x2且x1∈(0，1)，x2∈(－4，－2)，求实数a的取值范围． A11．若二次函数y＝x2＋2x－m＋1没有零点，试说明关于x的方程x2＋mx＋12m＝1一定有实数根． A12．已知不等式x2＋x－6<0的解集为A，不等式x2－2x－3<0的解集为B． (1)求A∩B； (2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋bx＋3<0的解集． B 延伸问题 B1．已知关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是________． B2．若不等式ax2－bx＋c＞0的解集为，对于系数a，b，c有下列结论：①a＞0，②b＞0，③c＞0，④a＋b＋c＞0，⑤a－b＋c＞0 则其中正确的结论有________(填序号)． B3．(多选题)函数y1＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1<x2，下列关于x1，x2的式子错误的是(　　) A．x1<2且2<x2<5 B．x1>2且x2>5 C．x1<2且x2>5 D．2<x1<5且x2>5 ·2· 学科网（北京）股份有限公司 $$