精品解析：山东省淄博市高青县2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）-　

2024-2025学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组二次根式，不是同类二次根式的是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，可得答案． 【详解】解：A、，与是同类二次根式，故不符合题意； B、，，是同类二次根式，故不符合题意； C、，，不是同类二次根式，故符合题意； D、，与是同类二次根式，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 2. 如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形和菱形．熟练掌握菱形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题关键． 根据菱形的性质得，根据，，得，得，即得． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据方程有两个实数根，得出，建立关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 实数的值可能是1， 故选A． 4. 如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由于，则根据相似三角形的判定方法可对各选项进行判断． 【详解】解：， 当时，，故A不合题意； 当时，，故C不合题意； 当时，，故D不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用及二次根式和分式的运算，根据题意可得，且，将利用完全平方公式变形为，再利用分式加法法则结合完全平方公式整理为，最后将已知整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据正方形与等边三角形的性质得出，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴ 故选C． 7. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键． 直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解． 【详解】解：由题意可得：， 即， 解得：或（舍）， 故选：C． 8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键． 先求得，再说明，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即建筑物的高是． 故选：B． 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF的面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 【答案】C 【解析】 【分析】根据等高的三角形面积之比等于底之比和相似三角形得出、和、的比例关系，再结合图形可得四边形BCEF的面积=，结合平行四边形的性质可得，从而得出结论． 【详解】解：连接BE， ∵DE：EC=3：1， ∴设DE=3k，EC=k，则CD=4k，， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=4k，， ∴△DEF∽△BFA， ∴， ∴， ∴，, ∴,， ∴四边形BCEF的面积=， ∴△DAF与四边形BCEF的面积之比为:， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质．掌握等高的三角形面积之比等于底之比是解题关键． 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轨迹问题、矩形性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．根据中位线定理可得出点的运动轨迹是线段，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知，故的最小值为的长，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图： 当点与点重合时，点在处，， 当点与点重合时，点在处，， 且． 当点在上除点、的位置处时，有． 由中位线定理可知：且． 点的运动轨迹是线段， 当时，取得最小值． 矩形中，，，为的中点， 、、为等腰直角三角形，． ，． ． ． ，即， 的最小值为的长． 在等腰直角中， ． 的最小值是． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数的非负性求出答案． 【详解】解：由题意得x−9≥0，解得x≥9， 故答案为：x≥9． 【点睛】此题考查了二次根式的非负性，熟记二次根式的被开方数大于等于零的性质是解题的关键． 12. 一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边的关系，掌握以上知识点是解答本题的关键． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长即可． 详解】解：， 整理得：， ， 解得：，， 当时，，不能构成三角形， 当时，三角形的周长为， 故答案为：． 13. 物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用，设与交于点，过作于点，延长，交于点，由题意得，，，，则，，然后由相似三角形的性质即可求解，解题的关键掌握相似三角形的判定与性质． 【详解】解：如图，设与交于点，过作于点，延长，交于点， 由题意得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴小孔到火焰的像的距离为， 故答案为：． 14. 在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据日历表的特点，设最小的数为x，则最大的数为，根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可． 【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为， ， ∴（舍去）， 故答案为：19． 15. 矩形中，点是的中点，于点，若，，则的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】作的延长线和的延长线交于点，先根据证明三角形的全等，求出，再根据四点共圆求出，即可求出，得到，根据勾股定理求出，再根据求出的长度． 【详解】解：作的延长线和的延长线交于点， ∵矩形中，点是的中点，于点， ∴，，，，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，矩形的性质，四点共圆，圆周角的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）先利用二次根式的性质分别化简，再计算加减即可求解； （2）先利用平方差公式将括号展开，再计算除法，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． （1）求证：； （2）平行四边形ABCD是菱形吗?为什么? 【答案】（1）见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的性质，证明是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． 【小问2详解】 解：平行四边形ABCD是菱形，理由如下： 由（1）得， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 【答案】（1）m≤ （2）-1 【解析】 【分析】（1）利用判别式得到Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=2m-4，（x1-3）（x2-3）=m2-1变形得到x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1，代入得到关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【18题详解】 解：根据题意得Δ=（-1）2-4（2m-4）≥0， 解得m≤； 【19题详解】 根据题意得x1+x2=1，x1x2=2m-4， ∵（x1-3）（x2-3）=m2-1， ∴x1x2-3（x1+x2）+9=m2-1， ∴2m-4-3×1+9=m2-1， ∴m2-2m-3=0， 解得m1=-1，m2=3（不合题意，舍去）． 故m的值是-1． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1•x2=．也考查了根的判别式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的位似比为； （2）写出，，的坐标． 【答案】（1）见解析 （2），， 【解析】 【分析】本题考查位似图形作图，抓住位似比是解题关键． （1）由题意可知，A，B，C分别为，，的中点，据此可确定，，的坐标，即可完成作图； （2）根据图形即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 由（1）得，，，． 20. 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． （1）填上适当的数：______； （2）当时，化简． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 21. 近年来，为了激发新消费潜力，拉动城市消费的新增长，长寿区“光合梦工厂”夜市在长寿时代中心逐渐盛行起来了．某文创产品的摊主从网商处购进、两种文创产品进行销售，其中款产品进价为每个30元，标价为每个45元；款产品进价为每个25元，标价为每个37元．（注：利润售价进价） （1）该摊主第一次用850元购进、两种文创产品共30个，求将这些产品全部按标价售出后的利润； （2）临近春节，该摊主打算将款文创产品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快地清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元？ 【答案】（1）420元 （2）每件元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元二次方程在实际中的应用，正确理解题意，找到等量关系并列出方程是解题的关键． （1）设购进产品个，购进产品个，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设每个产品售价定为元，才能使每天的销售利润为90元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 设购进产品个，购进产品个，由题意得： 解得： （元）． 答：产品全部按标价售出后的总利润为420元． 【小问2详解】 设每个产品售价定为元，才能使每天销售利润为90元，由题意得： ， 化简得：， 解得：，， 因为要尽快清空库存，所以． 答：当售价定为每件元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式． （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝ 【解析】 【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出； （2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入直角三角形面积公式=CP×CQ求解； （3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t． 【详解】由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t， （1）当t=3秒时，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm， 由勾股定理得PQ=； （2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20﹣4t， 因此Rt△CPQ的面积为S=； （3）分两种情况： ①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时， ，即， 解得：t=3秒； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时， ，即， 解得：t=秒． 因此t=3秒或t=秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似 【点睛】本题主要考查了相似三角形性质以及勾股定理的运用，在解第三问时应分两种情况进行求解防止漏解或错解，注意方程思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键． 23. 如图，正方形中，点E是边上的任意一点，作于F，连接，． （1）求证：． （2）已知正方形的边长． ①当时，求的长． ②设，，，的面积分别为，，，，若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；②4 【解析】 【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）①过点A作与点G，求出、的长，再求出的长即可求解； ②设，用含x的代数式分别表示出，，，，再根据即可求出的值． 【小问1详解】 ∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 ①过点A作与点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； ②设，则． 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省淄博市高青县八年级（下）期末数学试卷（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四组二次根式，不是同类二次根式是（　　） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. 如图，菱形的对角线交于点O，，过点O作于点E，若，则的长为（ ） A 2 B. 4 C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，在中，点，分别在边，上，与不平行，添加下列条件之一仍不能判定的是（　　） A B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A B. 2 C. D. 1 6. 如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD点F，则△DAF与四边形BCEF面积之比为（　　） A. 3：4 B. 9：16 C. 12：19 D. 9：28 10. 如图，在矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 _____． 12. 一个三角形的两边长分别为和，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为_____． 13. 物理课中同学们观察了小孔成像现象．如图，电子蜡烛的火焰高度为、倒立的像的高度为，小孔到火焰的距离为，则小孔到火焰的像的距离为______． 14. 在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为513，则这个最小数为______． 15. 矩形中，点是的中点，于点，若，，则的长度是________． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 化简： （1） （2） 17. 如图，在平行四边形中，，，垂足分别为E，F，且． （1）求证：； （2）平行四边形ABCD是菱形吗?为什么? 18. 已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的位似比为； （2）写出，，的坐标． 20. 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． （1）填上适当的数：______； （2）当时，化简． 21. 近年来，为了激发新消费潜力，拉动城市消费的新增长，长寿区“光合梦工厂”夜市在长寿时代中心逐渐盛行起来了．某文创产品的摊主从网商处购进、两种文创产品进行销售，其中款产品进价为每个30元，标价为每个45元；款产品进价为每个25元，标价为每个37元．（注：利润售价进价） （1）该摊主第一次用850元购进、两种文创产品共30个，求将这些产品全部按标价售出后的利润； （2）临近春节，该摊主打算将款文创产品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快地清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使款产品平均每天的销售利润为90元？ 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求： （1）当t=3秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ （2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式． （3）当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 23. 如图，正方形中，点E是边上的任意一点，作于F，连接，． （1）求证：． （2）已知正方形的边长． ①当时，求的长． ②设，，，的面积分别为，，，，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $