第1章 一元二次方程（单元测试·提升卷）数学苏科版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D A C C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．58 8． 9．9 10． 11． 12．， 13． 14．3 15．1 16．或 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ．..............................3分 （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ．..............................7分 18． 【详解】（1）解： m是一元二次方程的根， ， ， ；..............................3分 （2）解： m是一元二次方程的根， ， ， ..............................7分 19． 【详解】（1）解：， ， 或， ，；..............................3分 （2）解：在第一步中，方程两边同除以，需要，故小蒋的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一；..............................4分 ， 移项，得， 因式分解，得， 或， ，．..............................8分 20． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即；..............................2分 （2）解：将代入原方程得：，即；..............................5分 （3）解：将代入原方程可得：， ∴．..............................8分 21． 【详解】（1）解： ． 故答案为：．..............................3分 （2）解：当时即，； 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 当时即，． 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 综上所述，符合题意的x的值为或．..............................8分 22． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴；..............................3分 （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴．..............................8分 23． 【详解】（1）解：第5个方程为，第5个方程的根为，； 故答案为：，，6；..............................3分 （2）解：第个方程为，第个方程的根为，． 理由如下：，，， ， ， ，．..............................8分 24． 【详解】（1）解：设年增长率为x． 2022年平均亩产量为，2023年则为，2024年为． ∴． 化简得， 开方得 舍去负根，得，即年增长率为． 答：“红美人”平均亩产量的年增长率为．..............................3分 （2）设增加种植面积y亩． 原来种植10亩，成本为万元． 增加后种植面积为亩，每亩成本为万元． 由种植成本不变，列方程：． 展开并整理得， 因式分解得． 解得（舍去）或，即应增加20亩． 答：2025年该合作社应增加种植面积20亩．..............................8分 25． 【详解】（1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③..............................2分 （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或；..............................5分 （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ．..............................8分 26． 【详解】解：任务1：设每千克茶叶应降价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， 整理得， 解得； ∴每千克茶叶应降价元或元；..............................3分 任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元； ∵尽可能让利于顾客 ∴每千克茶叶应降价元， 则， 即该店应按原售价的八折出售；..............................6分 任务3：不能，理由如下： 设每千克茶叶应涨价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， ∴ ∴ 则， 此方程无实数根， 故不能达到41600元．..............................9分 27． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ， ∴， ∴， ， 故答案为：；..............................3分 （2）解：在中， ∵， ， ∴， ∴， ①当四边形为平行四边形时， ， ∴， ∴， ②当四边形为平行四边形时， ， ∴， ， 综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或；..............................6分 （3）解：①当在边上时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 解得 (舍去)， ②当在边上时， ， 解得； 综上所述或时，平行四边形的面积为．..............................9分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 2．下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 5．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ． 9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 10．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 12．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 13．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 14．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 15．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 16．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 18．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： (1) (2) 19．解方程： (1)； (2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为，得第三步 任务： 小蒋的解法从第_____步开始出现错误； 请写出此题的正确解题过程． 20．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 21．定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． (1)计算：_______； (2)若，求x的值． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 23．根据表格中的信息回答后面提出的问题． 方程 方程的根， 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， 第4个方程 ， … … … (1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______． (2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性． 24．某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到． (1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率． (2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？ 25．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 26．利用以下素材解决问题． 茶叶定价问题 素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克． 素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克． 任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？ 任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由． 27．如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 2．下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】①方程中，未明确说明，因此不一定是二次方程，排除． ②方程含有分式，不是整式方程，排除． ③方程含有两个未知数和，是二元二次方程，排除． ④方程展开后化简为，是一元一次方程，排除． ⑤方程符合一元二次方程的定义，正确． ⑥方程展开后为，是一元二次方程，正确． 综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个． 故选C． 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：． 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 5．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知，，，，则，然后列出，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 6．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，解得：， ∴且， 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】58 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，先根据一元二次方程根的定义得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：58． 8．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程组配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：9． 10．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识．由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为步，再利用矩形的面积公式即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵矩形的宽为步，且宽比长少13步， ∴矩形的长为步． 依题意，得：． 故答案为：． 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 根据一元二次方程的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 12．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，，， 故答案为：，． 13．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：由题意得 x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 ∴当时，； 当时，， ∴当时，必有一个解， ∴x的取值范围是． 故答案为：． 14．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 15．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程，根据根与系数的关系可得，则，解方程可得或，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 16．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程的应用和解一元一次不等式，理解题意并列得正确的方程是解题的关键． 令，解得的取值范围，然后分两种情况列得方程，解方程确定符合题意的的值即可． 【详解】解：令， 解得：， 当时，， 则， 整理得：， 因式分解得：， 解得：（舍）或， 当时，， 则， 整理得：， 解得：， 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先移项，然后运用完全平方公式配方求解即可； （2）先把方程化成一般式，然后运用根的判别式判定根的存在，再运用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以  ． （2）解：， ， ∴， ∴， ∴， ∴  ． 18．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，代数式求值，完全平方公式的应用，熟练应用整体代入法是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的定义可得，进而得出，再利用多项式乘多项式计算，将作为整体代入即可； （2）由可得，将变形为，进而通分，再将代入求值即可． 【详解】（1）解： m是一元二次方程的根， ， ， ； （2）解： m是一元二次方程的根， ， ， 19．解方程： (1)； (2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为，得第三步 任务： 小蒋的解法从第_____步开始出现错误； 请写出此题的正确解题过程． 【答案】(1)， (2)一   ， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）运用因式分解法求解即可； （2）在第一步中，方程两边同除以，需要，故第一步开始出现错误； 运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：在第一步中，方程两边同除以，需要，故小蒋的解法从第一步开始出现错误， 故答案为：一； ， 移项，得， 因式分解，得， 或， ，． 20．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 21．定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． (1)计算：_______； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为或 【分析】（1）先比较大小，后选择公式计算即可． （2）分类，列式计算即可求x的值． 本题考查了实数的新定义计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）解：当时即，； 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 当时即，． 整理，得， 解得（舍去）， 此时； 综上所述，符合题意的x的值为或． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是方程的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，再利用，得到，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．根据表格中的信息回答后面提出的问题． 方程 方程的根， 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， 第4个方程 ， … … … (1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______． (2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性． 【答案】(1)，，6 (2)第个方程为，第个方程的根为，，详见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法、公式法： （1）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第5个方程，然后利用因式分解法解方程即可； （2）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第个方程和方程的解，然后利用公式法解方程检验猜想的结论． 【详解】（1）解：第5个方程为，第5个方程的根为，； 故答案为：，，6； （2）解：第个方程为，第个方程的根为，． 理由如下：，，， ， ， ，． 24．某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到． (1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率． (2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【答案】(1)平均亩产量的年增长率 (2)该合作社应增加种植面积20亩 【分析】本题整体考查了一元二次方程在实际问题中的应用，涵盖增长率问题和成本问题．解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2024年亩产量，列方程求解． （2）设增加面积y亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设年增长率为x． 2022年平均亩产量为，2023年则为，2024年为． ∴． 化简得， 开方得 舍去负根，得，即年增长率为． 答：“红美人”平均亩产量的年增长率为． （2）设增加种植面积y亩． 原来种植10亩，成本为万元． 增加后种植面积为亩，每亩成本为万元． 由种植成本不变，列方程：． 展开并整理得， 因式分解得． 解得（舍去）或，即应增加20亩． 答：2025年该合作社应增加种植面积20亩． 25．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】(1)③ (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可； （3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ （2）解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； （3）证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 26．利用以下素材解决问题． 茶叶定价问题 素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克． 素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克． 任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？ 任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】任务1：每千克茶叶应降价元或元；任务2：八折；任务3：不能，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：根据单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，故列式得，再计算，即可作答． 任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元；因为尽可能让利于顾客，则降价元，再列式运算得出按原售价的几折出售，即可作答． 任务3：计算每千克茶叶应涨价元，则每千克的销售利润为元，平均每周可售出千克，再列式计算，得，即可作答． 【详解】解：任务1：设每千克茶叶应降价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， 整理得， 解得； ∴每千克茶叶应降价元或元； 任务2：由任务1得每周获利41600元，每千克茶叶应降价元或元； ∵尽可能让利于顾客 ∴每千克茶叶应降价元， 则， 即该店应按原售价的八折出售； 任务3：不能，理由如下： 设每千克茶叶应涨价元， 则每千克的销售利润为元， 平均每周可售出千克， 根据题意得， ∴ ∴ 则， 此方程无实数根， 故不能达到41600元． 27．如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）过点作于点，由勾股定理可得出答案； （2）分两种情况，由平行四边形的对边相等列方程解答即可； （3）分两种情况，利用平行四边形的面积列出的方程可得出答案． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵， ， ∴， ∴， ， 故答案为：； （2）解：在中， ∵， ， ∴， ∴， ①当四边形为平行四边形时， ， ∴， ∴， ②当四边形为平行四边形时， ， ∴， ， 综上所述当点、与的某两个顶点围成一个平行四边形时，或； （3）解：①当在边上时，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， 解得 (舍去)， ②当在边上时， ， 解得； 综上所述或时，平行四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第1章 一元二次方程·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 2．下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知一元二次方程的两根为，，则的值为（  ） A．3 B． C．9 D． 4．若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 5．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 6．关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 8．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为 ． 9．若一元二次方程有两个相等的实数根，则 ． 10．我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题：“直田积八百二十八步，只云阔不及长一十三步，问阔及长各几步”其大意为：一个矩形的面积为828平方步，宽比长少13步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为步，根据题意，可列方程为 ． 11．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 12．已知方程的解是，，则方程的解是 ． 13．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． x 1 1.1 1.2 13 14.41 15.84 14．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 15．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 16．定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．用指定方法解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） 18．已知m是一元二次方程的根，求下列各代数式的值： (1) (2) 19．解方程： (1)； (2)下面是小蒋同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解方程：， 解：方程两边同除以，得第一步 移项，合并同类项，得第二步 系数化为，得第三步 任务： 小蒋的解法从第_____步开始出现错误； 请写出此题的正确解题过程． 20．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 21．定义新运算“⊕”：当时，；当时，． 如：∵，∴； ∵，∴． (1)计算：_______； (2)若，求x的值． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 23．根据表格中的信息回答后面提出的问题． 方程 方程的根， 第1个方程 ， 第2个方程 ， 第3个方程 ， 第4个方程 ， … … … (1)请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______． (2)你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性． 24．某合作社从2022年到2024年种植“红美人”，2022年“红美人”平均亩产量为，引进先进的种植技术后，“红美人”产量提高，2024年平均亩产量达到． (1)若2022年到2024年“红美人”平均亩产量的年增长率相同，求“红美人”平均亩产量的年增长率． (2)已知该合作社目前“红美人”种植面积为10亩，每亩的种植成本为3万元，为扩大生产，该合作社决定2025年增加“红美人”种植面积．经调查发现，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少万元，在保持种植成本不变的前提下，则2025年该合作社应增加种植面积多少亩？ 25．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 26．利用以下素材解决问题． 茶叶定价问题 素材1 安徽盛产茶叶，如黄山毛峰、六安瓜片、太平猴魁、祁门红茶等知名品牌．皖叶茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克． 素材2 经市场调研发现：单价每下降10元，平均每周的销售量可增加40千克；单价每上涨10元，平均每周的销售量要减少10千克． 任务1 若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请计算每千克茶叶应降价多少元？ 任务2 降价销售时，在平均每周获利41600元的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ 任务3 若涨价销售，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到41600元吗？若能达到，请计算每千克茶叶应涨价多少元？若不能，请说明理由． 27．如图，在四边形ABCD中，，动点、分别从A、B同时出发，点以每秒3个单位的速度沿着折线先由向运动，再由向运动，点以每秒1个单位的速度由向运动，当其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)两平行线与之间的距离是______． (2)当点P、Q与的某两个顶点围成一个平行四边形时，求的值． (3)以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 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