专题 2.2 有理数的减法（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.2 有理数的减法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）有理数减法法则 1 【题型1】有理数的减法——减去一个正数 1 【题型2】有理数的减法——减去一个负数 2 【题型3】有理数的减法——减去一个正数或负数 2 知识点（二）有理数减法实际应用 2 【题型4】有理数减法在生活中的应用 2 知识点（三）有理数加减混合运算 3 【题型5】将有理数的加减写成省略括号的形式 3 【题型6】有理数的加减混合运算 3 【题型7】运算加法运算律进行有理数加减混合运算 4 【题型8】有理数加减混合运算的实际应用 4 二． 同步练习 5 【基础巩固（13题）】 5 【能力提升（16题）】 7 【中考真题5题】 10 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）有理数减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【题型1】有理数的减法——减去一个正数 【例题1】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列计算结果与的结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）已知数轴上A、B两点间的距离为7，若点A表示的数为3，则点B表示的数为 ． 【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； 【题型2】有理数的减法——减去一个负数 【例题2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为－，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为 ． 【变式1】（2025·天津·二模）计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【题型3】有理数的减法——减去一个正数或负数 【例题3】（24-25六年级上·山东淄博·期中）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）若，，且，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 知识点（二）有理数减法实际应用 【题型4】有理数减法在生活中的应用 【例题4】（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【变式1】（24-25七年级上·江西景德镇·期末）武功山作为国家级旅游景区，被中国国家地理评为中国十大“非著名”山峰之一．某登山爱好者组团徒步攀登武功山，沿路经过了四个补给点．已知地海拔是米，地海拔是米，地比地低米，地比地高米，试问： （1）地海拔为多少？地海拔为多少？ （2）四处补给点中，最高处比最低处高多少米？ 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 知识点（三）有理数加减混合运算 有理数加减混合运算的本质是 “先统一运算类型（减法转加法），再简化计算（用运算律），最后分步求和”。核心价值是将 “加减混合” 的复杂过程转化为 “单一加法” 的有序计算，降低出错概率，同时培养 “转化” 和 “优化” 的数学思维. 【题型5】将有理数的加减写成省略括号的形式 【例题5】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【变式2】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是（　　） A． B． C． D． 【题型6】有理数的加减混合运算 【例题6】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【题型7】运算加法运算律进行有理数加减混合运算 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： （1）； （2）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算． （1）； （2）． 【变式2】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）计算： （1） （2）． 【题型8】有理数加减混合运算的实际应用 【例题8】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 （1）从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ （2）小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【变式1】（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）若有理数，则代数式 ． 【变式2】．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为 元． 二．同步练习​ 【基础巩固（13题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算：（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 4．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）对于式子“”的读法，下列正确的是（   ） A．负2，负1，正6，负9 B．负2减1加6减9的结果 C．负2，负1，正6，负9的和 D．减2减1加6减9 5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（    ） A． B． C．5 D．9 二、填空题 6．（24-25九年级下·天津·阶段练习）计算： ． 7．（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 8．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 9．（24-25七年级上·福建·期中）教科书中为有理数的加法运算和减法运算提供了实际背景，右图直观解释的算术运算过程和结果是 ．    10．（2024七年级上·全国·专题练习）探究规律，完成相关题目． 老师说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 然后老师写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；            ； ；            ； ；                ． 小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则：两数进行※（加乘）运算时， ．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． （2）计算： ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： （1）； （2）． 12．（24-25七年级上·北京·期中）根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据： 解：原式①（依据：减去一个数，等于________________．） ______________________（加法________律．） _______． 13．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） （1）写出该厂星期一生产工艺品的数量是______；本周产量最少的一天生产工艺品的数量是______； （2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24七年级·江苏盐城）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 5．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 6．（24-25七年级上·全国·期末）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A． B． C．1 D．4 二、填空题 7．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）受强冷空气影响，湖南多地冬季气温大幅下降，长沙县最低气温为，最高气温为，这天的日温差是 ． 9．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）找规律计算： ． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字 的点重合． 11．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 三、解答题 13．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）． 14．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）列式并计算： （1），，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大多少？ （2）设表示不超过的最大整数，例如：，，求的值； 15．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）某一出租车司机一天下午以榆中一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：，，，，，，，，， （1）出租车司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？ （2）若2千米以内都是6元，每超过1千米每千米加价元，出租车司机一个下午的营业额是多少？ 16．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法： ①当时，，． ②当时，，． 所以或． 【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值． ①a，b均是正数时，________； ②当a，b均是负数时，________； ③当a，b是一正一负时，________； 【探究拓展】 （1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （2）根据以上解题思路，请探究： （其中，，均为不等于0的实数）， x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 2．（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 3．（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 5．（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.2 有理数的减法 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）有理数减法法则 1 【题型1】有理数的减法——减去一个正数 1 【题型2】有理数的减法——减去一个负数 3 【题型3】有理数的减法——减去一个正数或负数 4 知识点（二）有理数减法实际应用 5 【题型4】有理数减法在生活中的应用 5 知识点（三）有理数加减混合运算 7 【题型5】将有理数的加减写成省略括号的形式 7 【题型6】有理数的加减混合运算 9 【题型7】运算加法运算律进行有理数加减混合运算 10 【题型8】有理数加减混合运算的实际应用 12 二． 同步练习 13 【基础巩固（13题）】 13 【能力提升（16题）】 20 【中考真题5题】 29 一．知识梳理与题型分类精析 知识点（一）有理数减法法则 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【题型1】有理数的减法——减去一个正数 【例题1】（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）下列计算结果与的结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算出的结果，再计算出各个选项的结果，然后进行比较即可解答． 解：∵， A.，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. 符合题意． 故选D． 【点拨】本题主要考查了有理数减法、有理数加法、相反数的意义等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）已知数轴上A、B两点间的距离为7，若点A表示的数为3，则点B表示的数为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了数轴、数轴上两点之间的距离，有理数加减法的应用，正确分两种情况讨论是解题关键．分①点在点左侧和②点在点右侧两种情况，分别利用数轴的性质列出式子，计算有理数的加减法即可得． 解：由题意，分以下两种情况： ①当点在点左侧时， 则点表示的数为； ②当点在点右侧时， 则点表示的数为； 综上，点表示的数为10或， 故答案为：10或． 【变式2】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2）； 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ； 【题型2】有理数的减法——减去一个负数 【例题2】（24-25六年级上·山东烟台·期末）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的有理数为－，，，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对齐刻度．则数轴上点所对应的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．先求出，从而可得每一个刻度对应数轴上的单位长度，再列出运算式子，计算有理数的乘除法可得的长，然后根据数轴的性质即可得． 解：由题意得：， 数字对齐数轴上的点，点对齐刻度，点对齐刻度， ， ， 解得， 故答案为：． 【变式1】（2025·天津·二模）计算的结果等于（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，直接根据有理数的减法计算法则求解即可． 解：． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数加减法的运算法则． 解： （1）解： ； （2）解： ． 【题型3】有理数的减法——减去一个正数或负数 【例题3】（24-25六年级上·山东淄博·期中）下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、有理数的加减运算等知识点，熟练掌握绝对值的化简和有理数加减运算法则是解题的关键． 根据有理数加减运算法则以及绝对值的知识逐项判断即可解答． 解：A. ，故A正确，符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，故D错误． 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）若，，且，求的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质和有理数的加减法法则的应用；由绝对值的性质先求得、的值，然后再分类讨论求的值即可． 解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，根据绝对值的意义，结合，求出的值，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 解：∵且， ∴， ∴或； 故选D． 知识点（二）有理数减法实际应用 【题型4】有理数减法在生活中的应用 【例题4】（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，这是太原市2025年某月份连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数减法的应用和有理数的比较大小等知识点，分别求出每天的温差，然后进行比较即可，熟练掌握有理数减法的运算法则是解决此题的关键． 解：星期一的温差为：， 星期二的温差为：， 星期三的温差为：， 星期四的温差为：， ∵ ∴日温差最大的一天是星期二， 故选：B 【变式1】（24-25七年级上·江西景德镇·期末）武功山作为国家级旅游景区，被中国国家地理评为中国十大“非著名”山峰之一．某登山爱好者组团徒步攀登武功山，沿路经过了四个补给点．已知地海拔是米，地海拔是米，地比地低米，地比地高米，试问： （1）地海拔为多少？地海拔为多少？ （2）四处补给点中，最高处比最低处高多少米？ 【答案】（1）地海拔为米，地海拔为米；（2）最高处比最低处高米 【分析】（）根据有理数的加减运算计算即可； （）先比较的大小，再用最大值减最小值即可； 本题考查了有理数加减的实际应用，有理数大小的比较，根据题意正确列出算式是解题的关键． 解：（1）解：地海拔为（米），地海拔为（米）； 答：地海拔为米，地海拔为米； （2））解：∵， ∴（米）， 答：最高处比最低处高米． 【变式2】（24-25七年级上·山东青岛·期末）实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 【答案】225 【分析】本题考查了有理数的加法、正数和负数，正确理解题意是解题关键．根据题意，（米），为90米表示观测点A比观测点C高90米，所以（米），所以（米），即观测点A比观测点D高170米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点E高230米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点F高180米，因为（米），所以（米），表示观测点A比观测点G高265米，因为（米），所以（米）． 解：因为（米），（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）． 故答案为：225． 知识点（三）有理数加减混合运算 有理数加减混合运算的本质是 “先统一运算类型（减法转加法），再简化计算（用运算律），最后分步求和”。核心价值是将 “加减混合” 的复杂过程转化为 “单一加法” 的有序计算，降低出错概率，同时培养 “转化” 和 “优化” 的数学思维. 【题型5】将有理数的加减写成省略括号的形式 【例题5】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）将式子写成省略加号的形式 ，读作： ． 【答案】 负、、负、、负的和（或负加减加减） 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数去括号法则直接计算即可得到结果，熟练掌握去括号法则是解题的关键． 解： ， 读作：、、、、的和或加减加减， 故答案为：；负、、负、、负的和（或负加减加减） 【变式1】（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）把写成省略加号和括号的代数和形式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 原式利用减法法则变形即可得到答案． 解：， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 解：原式 故选：A． 【题型6】有理数的加减混合运算 【例题6】（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）20；（2）2 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握去括号法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据去括号，有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）去括号，根据加法交换律，结合律，有理数的混合运算法则即可求解． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·广东梅州·阶段练习）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）16；（2）1 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）先去括号，然后根据有理数的加减混合运算进行计算即可； （2）运用加法交换律和结合律解题即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了化简绝对值、有理数加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先将减法转化为加法，然后根据加法运算法则求解即可； （2）首先化简绝对值，并将减法转化为加法，然后根据加法运算法则求解即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型7】运算加法运算律进行有理数加减混合运算 【例题7】（2024七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加减法的简便运算， （1）利用加法的交换律和结合律对式子进行变形，然后再计算即可得解； （2）利用加法的交换律和结合律对式子进行变形，然后再计算即可得解； 熟练掌握有理数加减法的运算法则和运算律是解决此题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查有理数的混合运算法则，掌握法则，利用加法运算律进行简便计算，是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则，先把减法化成加法，再利用加法运算律，进行简便计算，即可； （2）根据有理数的加法交换律求解即可． 解：（1）解： ； （2） ． 【变式2】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去绝对值符号，然后从左向右依次计算即可； （2）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型8】有理数加减混合运算的实际应用 【例题8】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）“六一”儿童节节就要到了，某玩具厂要赶制一批毛绒玩具．于是规定每人每天要做50个毛绒玩具，为了方便统计，某人一天如果生产了52个毛绒玩具，记作：+2个；如果生产45个毛绒玩具，记作：-5个． 下面是小李一周5天生产毛绒玩具的个数情况： 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 计数/个 +3 +1 （1）从上面的记录中你能看出小李在星期几生产的毛绒玩具个数最多？是多少个？ （2）小李这周一共生产了多少个毛绒玩具． 【答案】（1）星期五，个；（2）小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【分析】此题考查了正负数的应用、有理数四则混合运算应用等知识，读懂题意是关键． （1）利用有理数比较大小即可得到小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多，利用加法即可求出个数； （2）根据题意列式计算即可． 解：（1）解：∵， ∴小李在星期五生产的毛绒玩具个数最多， （个）， 即最多是个； （2）（个） 答：小李这周一共生产了个毛绒玩具． 【变式1】（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）若有理数，则代数式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的化简以及有理数的加减运算，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键； 分，或，或，或，，四种情况，讨论即可求解； 解：①当，，； ②当，，； ③当，，； ④当，，． 故答案为：或 【变式2】．（24-25六年级上·上海闵行·期末）下面是乐乐家10月的全部收支情况，妈妈领工资8100元，缴纳水电煤共元，为乐乐买衣服用去了120元，全家去游乐场用去了600元，爸爸领工资10300元，妈妈买衣服用去230元，爸爸加油用去1200元，还房贷用去3500元，为爷爷过生日用去2300元，本月伙食费合计用去元，那么小闵家本月的结余为 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数加减法的实际应用，用小闵爸妈的工资和减去所有支出即可得到答案． 解：元， ∴小闵家本月的结余为元， 故答案为：． 2． 同步练习​ 【基础巩固（13题）】 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）计算：（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算． 直接根据减法法则进行计算即可． 解：， 故选：C． 2．（2025·河北唐山·二模）若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，即数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 解：∵数轴上点A，B分别表示数为，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为， 故选：C． 3．（2024七年级上·云南·专题练习）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（   ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握运算律简便运算是解答的关键．先将减法化为加法，再利用有理数加法交换律和结合律对甲、乙两人的算式求解判断即可． 解： ，故甲计算错误； ，故乙计算正确， 故选：D． 4．（24-25七年级上·河南安阳·阶段练习）对于式子“”的读法，下列正确的是（   ） A．负2，负1，正6，负9 B．负2减1加6减9的结果 C．负2，负1，正6，负9的和 D．减2减1加6减9 【答案】C 【分析】此题考查有理数的加减混合运算，根据即可解答． 解： 算式“”读作负2，负1，正6，负9的和． 故选：C． 5．（23-24七年级上·浙江金华·期末）观察前三个图形，利用得到的计算规律，得到第四个图形的计算结果为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案．此题考查了有理数的加减混合运算，根据图形，发现规律是解题的关键． 解：由题意可得， ， ， ， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级下·天津·阶段练习）计算： ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算法则是解决此题的关键．先去括号再进行加减运算即可． 解： ， 故答案为： ． 7．（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数加减的运算法则求解即可． 解： ． 【点拨】本题主要考查有理数的加减运算及简便算法，牢记有理数加减的运算性质是解题的关键． 8．（2025·广东惠州·一模）“24点游戏”：将一副牌抽去两张大小王，剩下52张，其中．从中任意抽取4张牌，用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24．每张牌必须用一次且只能用一次．如抽出的牌是9、7、J、2，那么算式为．现在抽出的牌是2、3、9、Q，请写出你的算式： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确运用运算律及适当添加括号是解题的关键．根据题意列式求解即可． 解：根据题意得，． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·福建·期中）教科书中为有理数的加法运算和减法运算提供了实际背景，右图直观解释的算术运算过程和结果是 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数得加减运算，根据图示，列出算式即可． 解：由图可得：； 故答案为：． 10．（2024七年级上·全国·专题练习）探究规律，完成相关题目． 老师说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算．” 然后老师写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；            ； ；            ； ；                ． 小明看了这些算式后说：“我知道老师定义的※（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则：两数进行※（加乘）运算时， ．特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算， ． （2）计算： ． 【答案】 同号得正，异号得负，并把绝对值相加 都等于这个数的绝对值 【分析】（1）根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． （2）先计算括号里，再计算括号外面的解答即可； 本题考查了新定义运算，正确理解新运算的法则是解题的关键． 解：（1）解：根据运算实例，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加．任何数同0进行“※”运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；这个数的绝对值． （2）解： ． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算及加法运算律，熟练掌握有理数的加减混合运算法则和加法运算律是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）利用有理数的加减混合运算法则计算，注意利用加法运算律． 解：（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·北京·期中）根据提示完成计算，并补全相应步骤的运算依据： 解：原式①（依据：减去一个数，等于________________．） ______________________（加法________律．） _______． 【答案】，加上这个数的相反数，，交换， 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，根据有理数加减运算的法则计算即可． 解：原式①（依据：减去一个数，等于加上这个数的相反数．） （加法交换律．） ． 故答案为：；加上这个数的相反数；；交换；． 13．（24-25七年级上·广东深圳·期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） （1）写出该厂星期一生产工艺品的数量是______；本周产量最少的一天生产工艺品的数量是______； （2）本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ （3）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； 【答案】（1）305个；290个；（2）26个；（3）2110个 【分析】本题主要考查正负数的应用，掌握相反数与实际问题结合的运用，有理数的加减法等知识是解题的关键． （1）根据正负数与实际运用的意义即可求解； （2）分别找出产量最多的一天，产量最少的一天，由此即可求解； （3）计算出本周的实际产量，由此即可求解． 解：（1）解：平均每天生产300个，超产记为正，减产记为负， ∴该厂星期一生产工艺品的数量为（个）， 本周产量最少的一天生产工艺品的数量是（个） 故答案为：305个；290个； （2）解：根据题意可得，周五的产量最少，比计划产量少10（个），周六的产量最多，比计划产量多16（个）， （个） ∴产量中最多的一天比最少的一天多26个； （3）解：∵（个）， ∴超额完成任务，比计划多生产10个，即本周总的生产了个． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（23-24七年级·江苏盐城）把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点拨】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 2．（24-25七年级上·浙江金华·开学考试）在寒冷的冬天，室外温度，室内温度，室内外温差是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数减法的实际应用．用室内温度减去室外温度即可． 解：， 故选：C． 3．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）若有理数a，b满足，且，则的值是（   ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义和性质，有理数的减法，先利用绝对值的定义得出或，或，再根据，得，得出符合条件的a、b，再进行计算的值． 解：∵， ∴或，或， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，， 当，时，， 即的值是或， 故选：C． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若，则（   ） A．0或 B．或0 C．或0或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的化简，有理数的混合运算，分四种情况：①三个都为正数；②三个都为负数；③一个正数，两个负数；④一个负数，两个正数，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：∵， ∴有四种情况： ①三个都为正数，则原式； ②三个都为负数，则原式； ③一个正数，两个负数，假设a为正数，b，c为负数，则原式； ④一个负数，两个正数，假设a为负数，b，c为正数，则原式； 综上，的值为或， 故选：D 5．（24-25七年级上·云南昆明·期末）数学兴趣小组在幻方游戏的基础上创新出了“幻圆”游戏．游戏要求将这8个数分别填入如图所示的幻圆的8个空圈中，使横、纵以及内外两圈上的4个数字之和都相等．某同学已完成了部分填空，则的值不可能的是（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法是解题的关键． 设小圈上的数为和，大圈上的数为，根据，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，得出两个圈的和是2，横，竖的和也是2，由此进行分析即可． 解：设小圈上的数为和，大圈上的数为， ∵，横，竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等， ∴两个圈的和是2，横，竖的和也是2， ， 得， ， ∴和为和和为和6；或和为和和为和4， 或6或或4， 或或或， ∴不可能为3， 故选：D． 6．（24-25七年级上·全国·期末）根据图中程序计算，若输入的数是，则输出的结果是（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据运算程序图把代入得到，再二次代入进行运算得到1，即可得解，掌握运算程序图中运算顺序及运算法则是解题关键． 解：根据题意可知，， ， 把再次输入，得：， ∴输出的结果是1， 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级上·山西朔州·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的减法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则计算求解，即可解题． 解：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）受强冷空气影响，湖南多地冬季气温大幅下降，长沙县最低气温为，最高气温为，这天的日温差是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，熟练掌握有理数减法法则是解题的关键； 根据题意用最高气温减去最低气温，即可得出结果． 解：某天最低气温为，最高气温为， 这天的日温差是； 故答案为： 9．（22-23六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）找规律计算： ． 【答案】 【分析】先将原式转化为，再进一步变形为，然后计算即可解答． 解： ． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了有理数的加法，将裂项折成是解答本题的关键． 10．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字 的点重合． 【答案】0 【分析】本题考查了数轴．由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，1，2，3的点重合． 解：∵，， ∴数轴上表示数的点与圆周上表示数字0重合． 故答案为：0． 11．（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 12．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，分点在点的左侧和右侧，求出点表示的数即可． 解：∵A、B站台分别位于，处， ∴， ∵， ∴当点在点的左侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 当点在点的右侧时：， ∴， ∴点表示的数为：； 故P站台用类似电影的方法可称为或站台； 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．有理数的加减法和运算律的应用，注意简便运算． （1）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则，加法的交换律与结合律，即可求解． 解：（1）原式 ； （2）原式 ． 14．（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）列式并计算： （1），，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大多少？ （2）设表示不超过的最大整数，例如：，，求的值； 【答案】（1）20；（2）． 【分析】本题考查了有理数的大小比较和混合运算，熟练掌握有理数运算法则是解答本题的关键． （1）分别求出绝对值的和与和的绝对值，两者相减即可； （2）根据规定，先化简，再根据有理数加减混合运算法则运算即可． （1）解：，，的绝对值的和为：， ，，代数和的绝对值为：， ，，的绝对值的和比它们的代数和的绝对值大：． （2）解：根据题意可得 ． 15．（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）某一出租车司机一天下午以榆中一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：，，，，，，，，， （1）出租车司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？ （2）若2千米以内都是6元，每超过1千米每千米加价元，出租车司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】（1）离一中，在一中的什么方向西边；（2）120元 【分析】（1）向东为正，向西为负，将收工时行走记录相加，如果是正数，在一中东边；如果是负数，在一中西边；如果为0在一中处； （2）将每次记录的2千米以内收6元，共10次，超过2千米的部分×1.5，即可解答． 解：（1）解： 答：离一中，在一中的西边； （2） （元） 答：营业额120元． 【点拨】本题考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 16．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）【问题背景】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 已知．求x的值，我们采用分类讨论的方法： ①当时，，． ②当时，，． 所以或． 【解决问题】若a与b的乘积不等于0，求的值． ①a，b均是正数时，________； ②当a，b均是负数时，________； ③当a，b是一正一负时，________； 【探究拓展】 （1）已知a，b，c是有理数，当a，b，c三数的乘积小于0时，求的值； （2）根据以上解题思路，请探究： （其中，，均为不等于0的实数）， x共有________个不同的值，在这些不同的值中，最大的值减去最小的值的差等于________． 【答案】[解决问题]2，，0；[探究拓展]：（1）①1或；（2）2025，4048 【分析】本题主要考查化简绝对值、有理数的加减和分类讨论思想的应用， [解决问题]①根据问题背景可知化简后均为1，相加即可； ②根据问题背景可知化简后均为，相加即可； ③根据问题背景可知化简后为1和，相加即可； [探究拓展] （1）根据题意可得有两个正数和一个负数，或三个都未负数，结合问题背景相加即可； （2）利用分类讨论思想可得有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，对应有2025个不同的值，且当，，均为正数时，x取得最大值为2024，当，，均为负数时，x取得最小值为，并相减即可． 解：[解决问题] ①a，b均是正数时，由[问题背景]可知，则； ②当a，b均是负数时，由[问题背景]可知，则； ③当a，b是一正一负时，由[问题背景]可知当时， ，当时，，则； 故答案为：2，，0； [探究拓展] （1）∵a，b，c三数的乘积小于0 ∴有两个正数和一个负数，或三个都未负数， 则，或， （2）当有0个正数、1个正数、……2024个正数，则有2025种不同情况，故有2025个不同的值， 当，，均为正数时，x取得最大值为2024， 当，，均为负数时，x取得最小值为， 则． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（  ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数减法运算法则是解题的关键； 根据有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数解答即可； 解：原式 ， 故答案为：D． 2．（2025·四川成都·中考真题）如果某天中午的气温是，傍晚比中午下降了，那么傍晚的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，用中午的气温减去下降的气温进行计算即可． 解：； 故选B． 3．（2023·湖南常德·中考真题）下面算法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的加减法则计算即可． 解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题主要考查有理数的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 二、填空题 4．（2025·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 解：， 故答案为：． 5．（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 解：， 故答案为：． 【点拨】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$