专题02 全等三角形的判定（专项训练）数学青岛版2024八年级上册

专题02 全等三角形的判定（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用SSS证明三角形全等 1 题型二、用SAS证明三角形全等 2 题型三、用ASA（AAS）证明三角形全等 4 题型四、用HL证明三角形全等 5 题型五、添加条件使三角形全等 6 题型六、灵活选用判定方法证全等 7 题型七、结合尺规作图的全等问题 8 题型八、利用全等解决实际问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用SSS证明三角形全等 1．如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 2．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 3．如图，四点共线，，，．求证：． 4．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 5．课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 题型二、用SAS证明三角形全等 6．如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 8．如图，平分，，的延长线交于点．若，求的度数．             9．如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 10．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 题型三、用ASA（AAS）证明三角形全等 11．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 12．已知：如图，C是的中点，，且．求证：． 13．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，，与相交于点G． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 14．如图，点在直线上，点在的两侧，，． (1)说明：； (2)若，求的长． 15．已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    题型四、用HL证明三角形全等 16．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 18．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    19．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 20．如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 题型五、添加条件使三角形全等 21．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 22．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，，，且，要使，则可以添加的条件是 ，（写出一个你认为正确的即可） 24．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 25．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 题型六、灵活选用判定方法证全等 26．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 27．下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 28．下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 29．下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 30．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 题型七、结合尺规作图的全等问题 31．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 32．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 33．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 34．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型八、利用全等解决实际问题 35．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 36．数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 37．如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ． 38．如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔．他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处．然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了步，并且小刚一步大约米．由此小刚估计出了在点处时他与电视塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． (1)判断小刚的做法是否合理．_______（填“合理”或“不合理”） (2)若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 39．如图，在一次实践活动中，小明为了完成测量河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他站在河岸上的点C处，先面向河对岸的建筑物方向竖直站好，手举手电筒使手电筒的光线正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时光线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出点C与点D之间的距离为，求河宽的长． 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在和中，，若点是线段的中点，则下列哪个条件不能使和全等（   ） A． B． C． D． 3．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 4．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 6．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 7．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，点D在线段上，以为边在其右侧作，使得、，连接．求证：． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角形的判定（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、用SSS证明三角形全等 1 题型二、用SAS证明三角形全等 4 题型三、用ASA（AAS）证明三角形全等 7 题型四、用HL证明三角形全等 9 题型五、添加条件使三角形全等 12 题型六、灵活选用判定方法证全等 15 题型七、结合尺规作图的全等问题 17 题型八、利用全等解决实际问题 19 B综合攻坚・能力跃升 题型一、用SSS证明三角形全等 1．如图，图1是一个平分角的仪器，其中．如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，连接画一条射线，交于点P．是的平分线，其中的依据是 ． 【答案】 【解析】解：在和中， ， ∴， 故答案为：． 2．如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，，则与全等吗？为什么？ 【答案】全等，理由见解析 【解析】解：这两个三角形全等； 理由如下： ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． 3．如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：， ， ， 在和中， ， ． 4．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，、、、在一条直线上，与交于点，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴，即 在和中 ∴． 5．课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】(1)； (2)④． 【解析】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 题型二、用SAS证明三角形全等 6．如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 7．已知：如图，，，点E、F在线段上，且． 请说明的理由． 【答案】见解析 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 8．如图，平分，，的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】 【解析】解：∵平分， ∴.     在和中， ， ∴，     ∴.     ∵， ∴， ∴. 9．如图，在中，，，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当 时，？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)90，见解析 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴（）； （2）解：当时，，理由如下： 当时，， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴． 故答案为：90． 10．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 题型三、用ASA（AAS）证明三角形全等 11．小明不小心把一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），为了能配一块与原来完全一样的三角形，小明应该带（    ）去玻璃商店． A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【解析】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故选：B． 12．已知：如图，C是的中点，，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】解：∵点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ 13．如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，，与相交于点G． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：因为，， 所以，， 在和中 ， 所以； （2）解：由（1）得 因为 所以， 因为 所以． 14．如图，点在直线上，点在的两侧，，． (1)说明：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【解析】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴． 15．已知 中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：．    【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 题型四、用HL证明三角形全等 16．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 17．（24-25八年级上·湖南常德·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等： ． 【答案】 【解析】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 18．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【答案】 【解析】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 19．如图，在和中，与分别为边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】证明： 与分别为边上的中线， ，， ， ， 在和中， ， ． 20．如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ， ． 题型五、添加条件使三角形全等 21．已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【解析】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 22．如图，已知，补充下列条件中的一个后，仍不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、由能判定，本选项不符合题意； B、和分别是、的对角，不能判定，本选项符合题意； C、由能判定，本选项不符合题意； D、由能判定，本选项不符合题意； 故选B． 23．如图，，，且，要使，则可以添加的条件是 ，（写出一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故添加条件为， 故答案为：（答案不唯一）． 24．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选①，理由见解析 【解析】解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 25．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，已知，若添加一个条件使，则可添加 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：添加， ∵，，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 题型六、灵活选用判定方法证全等 26．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、仅知直角和斜边长度，缺少另一条边或角的信息，由直角三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定三角形，不符合题意； B、已知三角形两边及，不是的夹角，由三角形全等的判定定理可知，无法判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则不能唯一确定，不符合题意； C、已知三角形两边及边，边是的夹边，由三角形全等的判定定理，能判定所画三角形与选项中所给条件的三角形全等，则能唯一确定，符合题意； D、由可知，三条线段无法构成三角形，无法唯一确定，不符合题意； 故选：C． 27．下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】解：如下图：和， A．三个角对应相等，不能判定，故该选项不符合题意； B．，，，只满足，不符合全等三角形的判定定理，故该选项不符合题意； C．不是对应角，不能判定，故该选项不符合题意； D．，，，满足，符合全等三角形的判定定理，故该选项符合题意； 故选：D． 28．下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（   ） ①两个锐角对应相等            ②两条直角边对应相等        ③斜边和一直角边对应相等 ④一锐角和斜边对应相等        ⑤一锐角和一直角边对应相等 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】解：因为两个锐角对应相等，没有边的参与，这两个三角形不全等，所以①不符合题意； 因为两条直角边对应相等，根据“边角边”可知这两个直角三角形全等，所以②符合题意； 因为斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可知这两个直角三角形全等，所以③符合题意； 因为一锐角和斜边对应相等，根据“角角边”可知这两个直角三角形全等，所以④符合题意； 因为一锐角和一直角边对应相等，根据“角角边或角边角”可知这两个直角三角形全等，所以⑤符合题意． 所以符合题意的有4个． 故选：B． 29．下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，， 【答案】② 【解析】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； ④，，，“”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②， 故答案为：②． 30．（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为 秒时，与全等． 【答案】或 【解析】解： 四边形是长方形， ，， ， 或， 或． ①如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； ②如图，当时， 根据题意，得：，， ，解得：； 当或时，与全等． 故答案为：或． 题型七、结合尺规作图的全等问题 31．如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 32．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】解：由作图可知，，，， 在和中， ， 故选：D． 33．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示． 对这两种画法的描述中正确的是（ ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】A 【解析】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：A． 34．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图． 有以下结论： ①当，时，可得到形状唯一确定的； ②当，时，可得到形状唯一确定的； ③当，时，可得到形状唯一确定的． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【解析】解：①当，时，以为圆心，6为半径画弧，与射线有两个交点，则的形状不能唯一确定，故①错误； ②当，时，以为圆心，10为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故②正确； ③当，时，以为圆心，12为半径画弧，与射线有一个交点，点位置唯一确定，则可得到形状唯一确定的，故③正确； 故选：B． 题型八、利用全等解决实际问题 35．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加，由可得，故此选项不符合题意； 故选：C． 36．数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 【答案】A 【解析】解：∵， ， ， ， 在和中 ， ， 米， 答：该旗杆的高度是米， 故选：A． 37．如图，为了测量一幢高楼的高度，在竖直木棍与高楼之间选定一点P，在点P处测得木棍顶端C的视线与地面的夹角，测得楼顶A的视线与地面的夹角，量得点P到楼底的距离与木棍高度都是，量得木棍与高楼之间的距离，则高楼的高度是 ． 【答案】18 【解析】解：，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 故答案为：． 38．如图，小刚站在河边的点处，在河对面（小刚的正北方向）的点处有一电线塔．他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了步到达一棵树处，接着再向前走了步到达处．然后他左转直行，从点处开始计步，当小刚到电线塔、树与自己现处的位置在一条直线时，他恰好走了步，并且小刚一步大约米．由此小刚估计出了在点处时他与电视塔的距离，请问他的做法是否合理？若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． (1)判断小刚的做法是否合理．_______（填“合理”或“不合理”） (2)若合理，请求出在点处时他与电线塔的距离；若不合理，请说明理由． 【答案】(1)合理 (2)米 【解析】（1）解：小刚的做法合理，理由如下： 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴小刚的做法合理， 故答案为：合理； （2）解：由题意得，米， ∴米， 即点处时他与电线塔的距离为米． 39．如图，在一次实践活动中，小明为了完成测量河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出以下方案：他站在河岸上的点C处，先面向河对岸的建筑物方向竖直站好，手举手电筒使手电筒的光线正好落在河对岸的建筑物底部点B处；然后转过身保持刚才的姿势，这时光线落在河岸的点D处（即），最后他用步测的办法量出点C与点D之间的距离为，求河宽的长． 【答案】河宽的长为． 【解析】解：在和中， ， ∴； ∴， 即河宽的长为． 1．（2025·山西·中考真题）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在与， ∵， ∴， ∴与全等的依据是， 故选：． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，在和中，，若点是线段的中点，则下列哪个条件不能使和全等（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：、∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、若，不能证明和全等，原选项符合题意； 、∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 、∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，原选项不符合题意； 故选：． 3．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】证明；在和中， ， ∴． 4．（2025·湖北·中考真题）如图，平分．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6．（2025·福建·中考真题）如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：， ． 在和中， ， ， ． 7．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，点D在线段上，以为边在其右侧作，使得、，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】证明：， ， ， 在和中， ． 8．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【解析】证明：， ，即 在与中 . 9．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)11 （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【答案】(1) (2)方案与图见解析， 【解析】（1）解：如图，连接． 由原地旋转可得， 又， ， ； （已知）； ； 故：A、B两点间的距离为． （2）解：（方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$