【第一章 因式分解 03讲 公式法】【四大知识点+五大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版湘教版专用）

第一章 因式分解 03讲 公式法 题型归纳 【题型1. 平方差公式分解因式】………………………………………………………… 4 【题型2. 完全平方公式分解因式】……………………………………………………… 4 【题型3. 综合运用公式法分解因式】…………………………………………………… 5 【题型4. 十字相乘法】…………………………………………………………………… 6 【题型5. 因式分解的应用】……………………………………………………………… 6 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 9 知识清单 知识点1 平方差公式 1.语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【提示】 （1）等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； （2）等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点2 完全平方公式 1.语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 【提示】 （1）等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． （2）等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 知识点3 用公式法分解因式 1.公式法的定义：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 2.用公式法分解因式的步骤：先提出公因式，再用公式法. 3.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 2 1 3 12+13=5 == 分解因式当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型专练 题型1. 平方差公式分解因式 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）对于任何整数，多项式都能（   ） A．被9整除 B．被n整除 C．被整除 D．被整除 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是(   ) A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： ． 用平方差公式分解因式： 题型2. 完全平方公式分解因式 【例1】（24-25七年级下·北京顺义·期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·海南·一模）因式分解的结果是 ． 用完全平方公式分解因式： 题型3. 综合运用公式法分解因式 【例1】（24-25七年级下·北京平谷·期末）下列因式分解正确的是（　　） A．6 B． C． D．5 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）已知，代数式的值为（　　） A． B．17 C．11 D． 综合运用公式法分解因式： 题型4. 十字相乘法 【例1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【例2】（2025·山东淄博·三模）因式分解：＝ ． 【变式1】（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）因式分解： ． 题型5. 因式分解的应用 【例1】（24-25八年级下·四川达州·期中）当m为自然数时，下列一定能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（24-25七年级下·北京石景山·期末）有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·江西宜春·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【变式3】（24-25八年级下·陕西·期末）将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京昌平·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南焦作·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若取正整数，则代数式的值可以是（    ）． A．2181 B．2182 C．2183 D．2184 7．（24-25九年级下·河北沧州·期中）若的结果为整数，则整数的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 8．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小明给同桌小亮出了一道因式分解的题目“若多项式（   ）可以因式分解，括号里填什么？”小亮不能填的整式是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·河南郑州·期中）对任意整数n，都能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 10．（24-25八年级下·广东佛山·期中）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知则 ． 12．（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： ． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： ， ． 15．（24-25七年级下·安徽六安·期末）因式分解： 16．（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 17．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，根据所示的拼图过程，因式分解： ． 18．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 19．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 20．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则 ；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是 ． 三、解答题 21.因式分解： 22．（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． (1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； (2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 23．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． (1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； (2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 24．（24-25七年级下·河北·期中）因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 25．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 26．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 27．（24-25八年级下·河北张家口·期中）填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． (1)若在“□”内填入，分解因式：； (2)若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 29．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 30．（24-25八年级下·陕西·期末）将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 31．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 32．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 33．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）阅读材料 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法分组分解法有两种分法：一是“”分组；二是“”分组，两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如，； ． 应用知识 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 拓展应用 （3）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． (1)指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） (2)受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 35．（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 36．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： (1)请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； (2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 因式分解 03讲 公式法 题型归纳 【题型1. 平方差公式分解因式】………………………………………………………… 4 【题型2. 完全平方公式分解因式】……………………………………………………… 6 【题型3. 综合运用公式法分解因式】…………………………………………………… 8 【题型4. 十字相乘法】…………………………………………………………………… 9 【题型5. 因式分解的应用】……………………………………………………………… 11 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 16 知识清单 知识点1 平方差公式 1.语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 【提示】 （1）等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； （2）等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 知识点2 完全平方公式 1.语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 【提示】 （1）等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． （2）等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 知识点3 用公式法分解因式 1.公式法的定义：把乘法公式从右到左使用，就可以把某些形式的多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法. 2.用公式法分解因式的步骤：先提出公因式，再用公式法. 3.公式扩展：① 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ② 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ③ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ④ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑤ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 知识点4 十字相乘法 1.二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 2 1 3 12+13=5 == 分解因式当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 1 11+1() =5 = = 2.二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 题型专练 题型1. 平方差公式分解因式 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）对于任何整数，多项式都能（   ） A．被9整除 B．被n整除 C．被整除 D．被整除 【分析】本题考查因式分解，将多项式进行因式分解，利用平方差公式展开并整理，分析其因式结构，结合选项逐一验证即可． 【详解】解： ； ∴多项式都能整除； 故选D． 【变式1】（23-24七年级下·浙江杭州·期中）对于算式，下列说法错误的是(   ) A．能被2022整除 B．能被2023整除 C．能被2024整除 D．能被2025整除 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，将原式分解因式，判断各选项是否为因式的因数． 【详解】解： 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： ． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 用平方差公式分解因式： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 完全平方公式分解因式 【例1】（24-25七年级下·北京顺义·期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式为，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； B、可写为，符合形式，分解为，故此选项符合题意； C、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； D、常数项为负数，无法构成完全平方公式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）下列多项式中，可以用完全平方公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【详解】本题考查完全平方公式分解因式．完全平方式的结构特征为：①有三项；②其中两项为平方项且符号相同；③第三项为两平方项底数乘积的2倍，符号不限．根据这些特征逐一分析选项即可． 【分析】解：A．：第一项为，第三项为，中间项应为，但实际中间项为，不符合完全平方公式； B．：仅有两项且均为负号，无法构成完全平方式的三项结构； C．：此为平方差形式，可用平方差公式分解，但不符合完全平方公式； D．：第一项为，第三项为，中间项为，与题目中的中间项一致，符号相同．因此可分解为，符合完全平方公式； 故选D． 【变式2】（2025·海南·一模）因式分解的结果是 ． 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式进行分解即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 用完全平方公式分解因式： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 综合运用公式法分解因式 【例1】（24-25七年级下·北京平谷·期末）下列因式分解正确的是（　　） A．6 B． C． D．5 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．根据提公因式法、公式法分别分解因式判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·河南平顶山·期末）已知，代数式的值为（　　） A． B．17 C．11 D． 【分析】本题考查了因式分解．将代数式进行因式分解，利用已知条件代入计算． 【详解】解： ． 将代入，得：． 故选：B． 综合运用公式法分解因式： 解：原式    解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 十字相乘法 【例1】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）把分解因式得，则的值为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解与整式乘法的关系是解决本题的关键．利用多项式乘多项式法则先计算，根据因式分解和整式乘法的关系确定． 【详解】解：， ， ． 故选：A． 【例2】（2025·山东淄博·三模）因式分解：＝ ． 【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·广西贺州·期末）因式分解，结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，需找到两个数满足乘积为常数项6，和为一次项系数即可． 【详解】解：将二次三项式 分解为 的形式，需满足： 且． ∴，且 ，符合条件． 因此，原式可分解为 ，对应选项B． 故选：B． 【变式2】（2025·山东青岛·模拟预测）因式分解： ． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解题的关键．先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型5. 因式分解的应用 【例1】（24-25八年级下·四川达州·期中）当m为自然数时，下列一定能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．把原式利用平方差公式进行因式分解，可得无论取何自然数，恒为8的倍数，即可求解． 【详解】解： ∴无论取何自然数，恒为8的倍数， ∴一定能被8整除． 故选：D 【例2】（24-25七年级下·北京石景山·期末）有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 15．（24-25八年级上·江西宜春·期中）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则 原式． 再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解：______； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则代数式的值一定是某一个整数的平方． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （1）把看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可； （2）令，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解； （3）将原式转化为，进一步整理为，根据n为正整数得到也为正整数，从而说明原式是整数的平方． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解：令，则原式变为， 故； （3）证明： ， ∵n为正整数， ∴也为正整数， ∴代数式的值一定是某一个整数的平方． 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【分析】本题考查因式分解的应用，根据题意得到，，两式相减，将左边进行因式分解后得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：①，②， 将得：， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：； 故选D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有型，型，型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（   ） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可． 【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； B、加上3块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； C、拿掉2块型纸板，总面积为：不能拼出一个大的长方形； D、加上1块型纸板，总面积为：，即可以拼出一个长为，宽为的大长方形； 故选D． 【变式3】（24-25八年级下·陕西·期末）将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 【分析】本题主要考查因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． （1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）将原式变形为，将看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：，即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， 根据图形中各边关系得：，即， 原式． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·江西吉安·期末）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原分解错误，不符合题意； C、，原分解错误，不符合题意； D、，原分解错误，不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级下·北京昌平·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．逐一验证各选项是否符合因式分解的定义即可． 【详解】选项A：是平方和，而平方差公式为，不适用于平方和，因此分解错误； 选项B：是完全平方式，应分解为，但选项B未完成分解，仍保留加法运算，不符合因式分解要求； 选项C：是多项式乘法展开的结果，等于，但题目要求因式分解，而此选项为展开过程，方向错误； 选项D：通过提取公因式2，正确分解为，符合因式分解的定义； 故选：D． 3．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】依据因式分解的相关规则（平方差公式、完全平方公式、因式分解的结果形式要求等），对每个选项逐一分析，判断其因式分解是否正确．本题主要考查了因式分解的相关知识（平方差公式、完全平方公式的应用，以及因式分解需化为乘积形式等要求 ），熟练掌握因式分解的公式和正确形式是解题的关键． 【详解】A. ，故A错误． B. 的右边 不是乘积形式，未完成因式分解，故B错误． C. ，故C正确． D. ， 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南焦作·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式这一概念是解题的关键．依据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式积的形式，对每个选项进行判断 ． 【详解】解： 是把整式积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解， A选项错误． 是多项式，是几个整式积的形式，且符合平方差公式，是把多项式化为整式积， 是因式分解，B选项正确． 右边不是几个整式积的形式， 不是因式分解，C选项错误． 是把整式积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解， D选项错误． 故选： ． 5．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】本题考查因式分解的正确性判断，需运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式等知识逐一验证各选项． 【分析】解：A、：提取公因式后，原式应为，选项漏掉常数项，分解错误； B、：利用平方差公式，，分解正确； C、：完全平方公式展开为，与原式符号不符，分解错误； D、：展开得，与原式不符，分解错误， 故选：B． 6．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若取正整数，则代数式的值可以是（    ）． A．2181 B．2182 C．2183 D．2184 【分析】本题考查因式分解的应用，将代数式因式分解为，即三个连续正整数的乘积，根据三个连续数的性质，其值必为6的倍数，验证各选项是否为6的倍数即可确定答案． 【详解】解：，即三个连续正整数、、的乘积， 三个连续整数中必有一个是2的倍数，一个是3的倍数， 其乘积必为的倍数， A：，非6的倍数，不符合题意； B：，非6的倍数，不符合题意； C：，非6的倍数，不符合题意； D：，是6的倍数，符合题意； 则代数式的值可以是． 故选：D． 7．（24-25九年级下·河北沧州·期中）若的结果为整数，则整数的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【分析】本题主要考查了数字规律探索，用平方差公式分解因式，将分子进行因式分解，确定其质因数组成，再对各选项分解质因数，判断是否均为分子的因数． 【详解】解：∵ ， A．，所有质因数均在分子中存在，符合条件，故A不符合题意； B．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故B不符合题意； C．，所有质因数均存在分子中存在，符合条件，故C不符合题意； D．，分子中无质因数7，因此无法整除，故D符合题意．故选：D． 8．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小明给同桌小亮出了一道因式分解的题目“若多项式（   ）可以因式分解，括号里填什么？”小亮不能填的整式是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解．添加各项，再看能否分解，即可判断． 【详解】解：A、多项式为，，可以分解，本选项不符合题意； B、多项式为， ，可以分解，本选项不符合题意； C、多项式为， ，可以分解，本选项不符合题意； D、多项式为， ，不可以分解，本选项符合题意； 故选：D． 9．（24-25八年级下·河南郑州·期中）对任意整数n，都能（    ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式因式分解，根据平方差公式，分解因式后判断，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴故一定能被3整除， 故选：A． 10．（24-25八年级下·广东佛山·期中）小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，根据完全平方公式分解因式即可．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：C． 二、填空题 11．（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知则 ． 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：32． 12．（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： 【分析】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 13．（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： ． 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式4，然后运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： ， ． 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 第一个利用平方差公式分解因式即可；第二个先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 故答案为：，． 15．（24-25七年级下·安徽六安·期末）因式分解： 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是，则这两个正方形的边长相差 ． 【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为，，，根据题意得，即，再根据这两个正方形的面积之差是得，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：设两段铁丝的长分别为，，， 根据题意，得， ∴， ∵这两个正方形的面积之差是， ∴， ∴， ∴， ∴， 即这两个正方形的边长相差， 故答案为：3． 17．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，根据所示的拼图过程，因式分解： ． 【分析】此题考查了因式分解，利用左边4个图形的面积和等于右边长为和宽为的面积求解即可． 【详解】由拼图可得，左边4个图形的面积和为 右边长方形的面积为 ∵左边4个图形的面积和等于右边长方形的面积 ∴ 故答案为：． 18．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 【分析】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 19．（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式的值是 ． 【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出，，再将代数式变形为，即可求解． 【详解】解：大长方形的周长为12，面积为7 ，， ，， ， 故答案为：． 20．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则 ；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是 ． 【分析】本题主要考查因式分解及完全平方公式，熟练掌握因式分解及完全平方数是解题的关键；由题意易得，，然后可得的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵是一个“平分秋色数”， ∴， ∵， ∴， ∵n为完全平方数，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，且b、d互不相等， ∴， ∵为整数， ∴，或，， 当，时，解得：，，此时，，，，； 当，时，解得：，，此时，，，； 综上所述，最大的 故答案为6；9682． 三、解答题 21.因式分解： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． (1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； (2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据提取公因式法和公式法分别判断即可； （2）②先提取公因式，再用平方差公式分解，④先提取公因式，再用完全平方公式公式分解． 【详解】（1）解：①，因式分解正确；     ②，因式分解不彻底，还可以使用平方差公式继续分解； ③，因式分解正确；       ④，因式分解错误，应先提取公因式，再用完全平方公式分解； 故答案为：②④； （2）解：②； ④． 23．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）小明学完因式分解后，联想到利用长方形和正方形的面积来解释因式分解的意义． (1)如图1，小明把左侧两个正方形和两个长方形，拼接为右边的一个大正方形，计算发现：左侧四个图形的面积和为___________，右侧大正方形的面积为___________，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：___________； (2)按照小明的思路，图2的四个图形也可以拼成一个大长方形． ①拼成的大长方形的长为___________，宽为___________； ②根据图2的拼接，写出该多项式的因式分解． 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积，因式分解的应用； （1）观察图象可知大正方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）观察图象可知大长方形面积等于1个正方形面积加上3个长方形面积，即可得到结论； 【详解】（1）左侧四个图形的面积和为，右侧大正方形的面积为，根据题意可得到一个多项式的因式分解为：； 故答案为：； （2）解：①拼成的大长方形的长为，宽为， 故答案为： ； ②依题意，． 24．（24-25七年级下·河北·期中）因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 【分析】本题考查因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式以及整理思想是解此题的关键． （1）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）依题意，将“”看成整体，令，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：依题意，将“”看成整体，令，                 则，         再将还原，得到原式． （2）解：依题意，将“”看成整体，令， 则．       再将还原，得到原式． 26．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：的最小值． 解：原式 ， 当时，的值最小，最小值为0， ， 当时，的值最小，最小值为1984， 代数式：的最小值是1984． 例如：分解因式： 解：原式 ． (1)分解因式； (2)若，求的最大值； 【分析】本题考查了因式分解，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题例进行配方，继而利用平方差公式因式分解即可； （2）根据题例进行配方，根据平方大于等于0的性质进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 的最大值1314． 27．（24-25八年级下·河北张家口·期中）填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式能因式分解． (1)若在“□”内填入，分解因式：； (2)若在“□”内填入不超过10的整数，使能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式． 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，解题的关键是掌握提公因式法和平方差公式等因式分解方法． （1）利用提公因式法对进行因式分解； （2）根据平方差公式的形式，确定“□”可填的整数，再分析填法数量并举例分解． 【详解】（1）解：； （2）解：“□”可以为、，共2种填法 如选择，分解为， 选择，分解为， 答：有2种填法（为、），举例分解如等． 28．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）阅读以下材料： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式，原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：． 【分析】此题考查了因式分解的应用，乘法公式，配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解； （2）利用完全平方进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解：设， ∴． 29．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①，∵，∴，∴代数式有最小值； ②，∵，∴，∴代数式有最大值4． 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为 ；代数式的最大值为 ； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，不等式的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式分解因式得到，，再仿照题意求解即可； （2）利用完全平方公式分解因式得到，据此求解即可； （3）根据，可得，设，则，则可得到，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为2； ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为； （2）解： ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：∵， ∴ ， 设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为18． 30．（24-25八年级下·陕西·期末）将因式分解． 经过独立思考，合作交流，小明所在小组得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 上述方法被称为分组分解法，请根据以上方法回答下列问题： (1)请用分组分解法将因式分解； (2)如图1，小长方形的长为，宽为，用5个图1中的小长方形按照图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD中，且大长方形ABCD的周长为16．根据以上信息，先将多项式因式分解，再求值． 【分析】本题主要考查因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键． （1）根据题意用分组分解法因式分解即可； （2）将原式变形为，将看作整体，利用完全平方公式因式分解，根据图形中边关系得：，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 根据图形中各边关系得：，即， 原式． 31．（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题： 分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式，再将还原，得到：原式． 上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题： (1)因式分解：________； (2)因式分解：； (3)若为正整数，则的值为某一个正整数的平方．请说明理由． 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识． （1）将看作整体，由完全平方式的形式进行判断即可； （2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可； （3），则原式．将代入还原，可得原式．即可判断． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ； （3）解： 令， 则原式， ， ， 原式． 为正整数， 也为正整数， 代数式的值一定是某一个正整数的平方． 32．（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考： 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如的式子称为完全平方式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用． 例如：①用配方法因式分解：． 原式． ②求的最小值． 解： ，， 的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题． (1)用配方法因式分解：； (2)求的最小值； (3)已知实数x，y满足，求的最小值，并求出此时y的值． 【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题． （1）按照示例①解答即可； （2）按照示例②解答为，因为是非负数，所以 ，据此解答； （3）根据，得出，代入得：，因为是非负数，所以，据此解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为是非负数， 所以， 所以的最小值是 8 ． （3）解：∵， ∴， 代入得： 因为是非负数， 所以， 所以当时，取得最小值，最小值是 ． 此时． 33．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）阅读材料 将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法分组分解法有两种分法：一是“”分组；二是“”分组，两种分组的主要区别就在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“”分组；若无法构成，则采用“”分组． 例如，； ． 应用知识 （1）因式分解：； （2）因式分解：； 拓展应用 （3）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【分析】本题考查三角形三边关系，提公因式法与公式法的综合应用，关键是掌握因式分解的方法：平方差公式、完全平方公式． （1）由提公因数法，即可分解因式； （2）由平方差公式和完全平方公式，即可分解因式； （3）由，得到，因此，判定三角形是等边三角形． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）三角形是等边三角形，理由如下： ， ， ， ， ，，， ， 因此三角形是等边三角形． 34．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方”的问题． (1)指导教师引导学生从特殊情形出发进行列式计算，得到部分信息如下： 第1个式子： 第2个式子： 第3个式子： 第4个式子： ……． 按以上规律，完成下列问题： （Ⅰ）______=______； （Ⅱ）______=______；（用含的式子表示） (2)受上述过程启发，小明同学做了如下的推理： 设，、是连续的正整数， ；，____________． 一定是正数的平方数． 阅读上述过程，并在横线上补全缺的内容． 【分析】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，因式分解，正确得出规律是解题的关键． （1）（Ⅰ）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （Ⅱ）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （2）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：（Ⅰ） （Ⅱ） （2）设，、是连续的正整数， ； ， ． 一定是正数的平方数． 故答案为：；． 35．（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． (1)分解因式：______． (2)若多项式的最小值为1，求出k的值． (3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； （3）解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 36．（24-25八年级下·河南郑州·期末）小华认为多项式不能因式分解，小明却认为可以，并且给出了三种因式分解的方法： 方法一： 方法二： 方法三： (1)请你用以上三种方法中的任意一种对进行因式分解； (2)小明认为用方法一不仅可以解决部分多项式的因式分解问题，还可以求这部分多项式的最值，如：，因为所以，因此多项式的最小值是．借助小明的做法，判断多项式有最值吗？如果有，请你求出为何值时取到最值；如果没有，请说明理由 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式配方，再根据平方差公式因式分解即可求； （2）先利用完全平方公式配方变形，再利用非负数的性质即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解：多项式有最大值，理由如下： ， ． 当时，取到最大值为16， 多项式在当时取最大值为16． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$