21.2 解一元二次方程 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2 解一元二次方程 同步练习 （考试时间为90分钟，满分为100分） 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10 2．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 3．下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有两个实数根的是（　　） A．x2+ax﹣1＝0 B．ax2+2x+1＝0 C．x2+2x+a＝0 D．x2+ax+1＝0 4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 5．小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以（x﹣1），得x＝3． 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．甲和乙 C．乙 D．都不正确 7．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　） A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030 8．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确 9．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下三种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 11．一元二次方程x2 ＝x的解为　 　 12．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则另一个根为 　 　 ． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则这个方程的解为　 　 ． 14．已知a，b是一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0的两个根，若ab＝6，则a+b＝　 　 ． 15．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则 　 　 ． 16．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是　 　 ． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且5，则k的值是 　 　 ． 18．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　 　 ． 三、解答题：本题共7小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19．本小题8分)解下列方程． （1）x2+4x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）． 20．本小题2分)解方程： （1）x2+8x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0； （3）3x2﹣7x+2＝0． 21．本小题8分)习题课上，老师给了一道方程：x2﹣5x＝x﹣5． 嘉嘉的解法是：原方程可化为x2﹣5x+x＝﹣5，…第一步 所以x2﹣4x+4＝﹣5+4，即（x+2）2＝﹣1，…第二步 所以方程没有实数根．…第三步 琪琪的解法是：原方程可化为x（x﹣5）＝x﹣5，…第一步 两边都除以（x﹣5），得x＝1．…第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 22．本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣3＝0（k为常数）． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 23．本小题8分)已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足，求m的值． 24．本小题2分)已知x2﹣2mx+m2+m﹣9＝0是关于x的一元二次方程． （1）若m＝0，则该方程的两个实数根分别为 　 　 和 　 　 ； （2）若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 25．本小题8分)关于x的一元二次方程（ax﹣1）2＝x有两个实数根x1，x2． （1）求实数a的取值范围． （2）求代数式的最大值或最小值． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B A C D B C B 一．选择题（共10小题） 1．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10 【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0， x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝6+4， （x﹣2）2＝10， 故选：D． 2．一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0， a＝1，b＝﹣4，c＝3， ∴x1+x24，x1•x23， 故选：D． 3．下列关于x的方程中，不论a取什么实数值，一定有两个实数根的是（　　） A．x2+ax﹣1＝0 B．ax2+2x+1＝0 C．x2+2x+a＝0 D．x2+ax+1＝0 【解答】解：A、∵Δ＝a2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4， ∴不论a取什么实数值， ∴Δ＝a2+4＞0， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； B、当a＝0时，原方程化为2x+1＝0， ∴x， 即当a＝0时，关于x的方程有一个实数根，故该选项不符合题意； C、∵Δ＝4﹣4a， ∴当a≤1时，Δ＝4﹣4a≥0，即关于x的方程有两个实数根，故该选项不符合题意； D、∵Δ＝a2﹣4×1×1＝a2﹣4， ∴a2≥4时，Δ＝a2﹣4≥0，即关于x的方程有两个实数根，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根，则实数a的取值范围是（　　） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0无实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×a＜0， 解得：a＞1， ∴实数a的取值范围是a＞1． 故选：B． 5．小明准备完成题目：解一元二次方程x2﹣4x+□＝0．若“□”表示一个数字，且方程x2﹣4x+□＝0有实数根，则“□”的值可能为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解：设“□”表示的数为a， ∵方程x2﹣4x+□＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×a≥0， 解得：a≤4， ∴“□”的值可能为4， 故选：A． 6．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以（x﹣1），得x＝3． 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得x1＝3，x2＝1． 其中完全正确的是（　　） A．甲 B．甲和乙 C．乙 D．都不正确 【解答】解：∵x﹣1的符号不能确定， ∴依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以（x﹣1），这样会漏解； 乙利用解一元二次方程﹣因式分解法， 移项，得x（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0． ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0． ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝3，x2＝1，计算正确； 故选：C． 7．已知a和b是方程x2+2025x﹣5＝0的两个解，则a2+2024a﹣b的值为（　　） A．2025 B．﹣5 C．2028 D．2030 【解答】解：由条件可知：a2+2025a＝5，a+b＝﹣2025， ∴a2+2024a﹣b ＝a2+2025a﹣（a+b） ＝5﹣（﹣2025） ＝5+2025 ＝2030， 故选：D． 8．已知实数（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值为（　　） A．﹣1 B．7 C．﹣1或7 D．以上全不正确 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时， x2﹣x+2＝0， b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时， x2﹣x+1＝7 故选：B． 9．现定义运算“★”，对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是（　　） A．﹣1 B．4 C．﹣1或4 D．1或﹣4 【解答】解：∵对于任意实数a，b，都有a★b＝a2﹣3a+b， ∴x★2＝x2﹣3x+2， 即：x2﹣3x+2＝6， ∴x2﹣3x﹣4＝0， （x﹣4）（x+1）＝0， x﹣4＝0或x+1＝0， ∴x1＝4，x2＝﹣1． 故选：C． 10．对于关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的情况，有以下三种表述： ①当a＜0，b+c＞0，a+c＜0时，方程一定没有实数根； ②当a＜0，b+c＞0，b﹣c＜0时，方程一定有实数根； ③当a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0时，方程一定有两个不相等的实数根．其中表述正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：①当a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2时，满足a＜0，b+c＞0，a+c＜0， 此时Δ＝32﹣4×（﹣1）×（﹣2）＝1＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②∵b+c＞0，b﹣c＜0， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③∵a＞0，b+4a＝0，4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣4a，c＝4a， ∴Δ＝（﹣4a）2﹣4×a×4a＝0，即方程有两个相等的实数根， 故③错误； 综上，正确的是②，共1个． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11.一元二次方程x2 ＝x的解为　 　x1＝0, x2＝1 　 12．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根是1，则另一个根为 　﹣2　 ． 【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得1×t＝﹣2， 解得t＝﹣2， 即方程的另一个根为﹣2． 故答案为：﹣2． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则这个方程的解为　x1＝x2＝2　 ． 【解答】解：由题意可知：Δ＝16﹣4m＝0， ∴m＝4， x2﹣4x+4＝0， 解得x1＝x2＝2， 故答案为：x1＝x2＝2． 14．已知a，b是一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣2m＝0的两个根，若ab＝6，则a+b＝　5　 ． 【解答】解：由条件可知ab＝6， ∴﹣2m＝6， ∴m＝﹣3， ∴a+b＝﹣（m﹣2）＝5， 故答案为：5． 15．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则 　﹣6　 ． 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根， ∴x1x2＝﹣2，x1+x2＝3， ∴， 故答案为：﹣6． 16．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是　c＞﹣1　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣c）＞0， 解得c＞﹣1． 故答案为：c＞﹣1． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且5，则k的值是 　1　 ． 【解答】解：由题意可知Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣3）＝（k﹣2）2+8＞0， ∴关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0一定有两个不相等的实数根， ∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3， ∵5， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5， ∴k2﹣2（k﹣3）＝5， 整理得出：k2﹣2k+1＝0， 解得：k1＝k2＝1， 故答案为：1． 18．已知实数k、m、n（m+n≠0），满足m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1．若m，n异号，则k的取值范围为 　﹣5＜k＜﹣1　 ． 【解答】解：∵m2+4m﹣1＝k，n2﹣4n﹣k＝1． ∴m2+4m﹣k﹣1＝0，（﹣n）2+4（﹣n）﹣k﹣1＝0， ∴m、﹣n可看作方程x2+4x﹣k﹣1＝0的两根， ∵Δ＝42﹣4（﹣k﹣1）＞0， 解得k＞﹣5， 根据根与系数的关系得m•（﹣n）＝﹣k﹣1， 即mn＝k+1， ∵m，n异号， ∴k+1＜0， 解得k＜﹣1， ∴k的取值范围为﹣5＜k＜﹣1． 故答案为：﹣5＜k＜﹣1． 三．解答题（共7小题） 19．解下列方程． （1）x2+4x﹣2＝0（配方法）； （2）2x2﹣x﹣1＝0（公式法）． 【解答】解：（1）原方程移项得x2+4x+4＝6， （x+2）2＝6， ， 解得：，； （2）∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）＝9＞0， ∴， 解得：x1＝1，． 20．解方程： （1）x2+8x﹣1＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0； （3）3x2﹣7x+2＝0． 【解答】解：（1）x2+8x﹣1＝0， x2+8x＝1， x2+8x+42＝1+42， （x+4）2＝17， ∴， 解得，； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0， x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1； （3）3x2﹣7x+2＝0， （3x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴3x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得，x2＝2． 21．习题课上，老师给了一道方程：x2﹣5x＝x﹣5． 嘉嘉的解法是：原方程可化为x2﹣5x+x＝﹣5，…第一步 所以x2﹣4x+4＝﹣5+4，即（x+2）2＝﹣1，…第二步 所以方程没有实数根．…第三步 琪琪的解法是：原方程可化为x（x﹣5）＝x﹣5，…第一步 两边都除以（x﹣5），得x＝1．…第二步 （1）他们的解法都是错误的，分别指出从哪一步开始错误； （2）写出方程正确的解题过程． 【解答】解：（1）嘉嘉第一步开始错误；琪琪第二步错误； （2）原方程可化为x（x﹣5）＝x﹣5， 所以x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0， 所以x﹣1＝0 或 x﹣5＝0，解得x1＝1，x2＝5． 22．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣k﹣3＝0（k为常数）． （1）若方程的一个根为2，求方程的另一个根； （2）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得2+t＝﹣k，2t＝﹣k﹣3， 解得t＝﹣1，k＝﹣1， 即方程的另一个根为﹣1； （2）证明：∵Δ＝k2﹣4（﹣k﹣3） ＝k2+4k+12 ＝（k+2）2+8＞0， ∴不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 23．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根x1，x2满足，求m的值． 【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0， 解得m； （2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4， ∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1， ∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1， ∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1， ∴m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）． 故m的值是﹣1． 24．已知x2﹣2mx+m2+m﹣9＝0是关于x的一元二次方程． （1）若m＝0，则该方程的两个实数根分别为 　x1＝3　 和 　x2＝﹣3　 ； （2）若该方程有两个不相等的实数根， ①当两根之差为时，求m的值； ②当m为正整数，且两根均为整数时，求m的值． 【解答】解：（1）m＝0时，原方程变形为x2﹣9＝0， 解得x1＝3，x2＝﹣3； 故答案为：x1＝3，x2＝﹣3； （2）根据题意得Δ＝4m2﹣4（m2+m﹣9）＞0． 解得m＜9， ①设方程的两个为α，β， 根据根与系数的关系得α+β＝2m，αβ＝m2+m﹣9， ∵|α﹣β|＝2， ∴（α﹣β）2＝12， ∴（α+β）2﹣4αβ＝12， 即（2m）2﹣4（m2+m﹣9）＝12， 解得m＝6， 即m的值为6； ②∵Δ＝4（9﹣m）， ∴xm±， ∵0＜m＜9且m为整数， ∴当9﹣m＝1或9﹣m＝4时，方程的两根均为整数， 解得m＝8或m＝5， 即m的值为5或8． 25．关于x的一元二次方程（ax﹣1）2＝x有两个实数根x1，x2． （1）求实数a的取值范围． （2）求代数式的最大值或最小值． 【解答】解：（1）由条件可得a2x2﹣（2a+1）x+1＝0． ∵有两个实数根x1，x2， Δ＝（2a+1）2﹣4a2 ＝4a+1≥0， ∴， 同时，二次系数a2≠0，即a≠0， ∴a的取值范围为，且a≠0； （2）由根系关系，得． ∴令 ＝a2﹣2a﹣1+1 ＝a2﹣2a＝（a﹣1）2﹣1． 当a＝1时，y最小＝﹣1． 声明：试题 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$