5.4.3 正切函数的性质与图象-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5．4.3　正切函数的性质与图象 课程目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图象和性质解决有关问题． 目录 CONTENTS 教材整体初识 构建与探源 01 02 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— ____________________________ —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 01 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— 教材整体初识 构建与探源 课时构建 R 奇函数 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 正切函数的周期性、奇偶性 (1)函数y＝tan 2x的周期为π.(　　) (2)函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z).(　　) (3)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　) 正切函数的定义域、值域 (4)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) × × × × 课时构建 (5)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　) 正切函数的单调性 (6)函数y＝tan x在其定义域上是增函数．(　　) √ × 02 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 类型一　正切函数的图象与对称性 　A.　　　　　B. 　 C.　　　　　D. A 类型一　正切函数的图象与对称性 C 类型一　正切函数的图象与对称性 类型一　正切函数的图象与对称性 　 a　　　 b　　 c　　　　 d A．①②③④ B．①③④② C．③②④① D．①②④③ D 类型一　正切函数的图象与对称性 类型一　正切函数的图象与对称性 类型二　正切函数的定义域与值域 类型二　正切函数的定义域与值域 类型二　正切函数的定义域与值域 类型二　正切函数的定义域与值域 类型二　正切函数的定义域与值域 [题后感悟] 求函数y＝tan (ωx＋φ)(ω≠0，且ω，φ都是常数)的定义域与值域，要将ωx＋φ看作一个整体，再结合y＝tan x的图象求解． 类型三　正切函数的周期性、奇偶性 B A 类型三　正切函数的周期性、奇偶性 类型三　正切函数的周期性、奇偶性 D 类型三　正切函数的周期性、奇偶性 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 当 堂 自 评 C A 类型四　正切函数的单调性及其应用 C 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 类型四　正切函数的单调性及其应用 温馨提示：课后请完成高效作业60 感谢聆听，再见！ (k∈Z) ，k∈Z (1)2024·遂昌中学高一函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　) (2)函数y＝tan 图象的一个对称中心是(　　) A．(0，0)　 B．　 C．　 D．(π，0) 【解析】 (1)当x＝时，tan ＝0，排除C，D.当x＝时，tan ＝tan 无意义，排除B.故选A. (2)令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，所以函数y＝tan 图象的对称中心是，k∈Z.令k＝2，可得函数图象的一个对称中心为. 活学活用 下列图形分别是：①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan |x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) 【解析】 y＝tan (－x)＝－tan x在上是单调递减的， 只有图象d符合，即d对应③.故选D. [题后感悟] (1)正切曲线的特征：正切曲线是被与y轴平行的一系列直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的，并沿y轴的上、下两个方向无限伸展．(2)直线x＝＋kπ(k∈Z)是正切曲线的渐近线，在每两条这样的相邻直线之间，曲线是连续变化的，并且从左向右看是上升的． (3)正切曲线对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键． 2024·日照一中高一求下列函数的定义域和值域． (1)f(x)＝tan . (2)f(x)＝. 解：(1)依题意得x－≠kπ＋，k∈Z，所以x≠2kπ＋，k∈Z，所以函数的定义域是. 由正切函数的值域可知该函数的值域是(－∞，＋∞). (2)依题意－tan x≥0，所以tan x≤. 结合y＝tan x的图象可知，在区间上，满足tan x≤的角x应满足－<x≤，所以函数y＝的定义域为，其值域为[0，＋∞). 活学活用 2024·汕头二中高一求下列函数的定义域． (1)y＝.(2)y＝lg (－tan x). 解：(1)要使函数y＝有意义， 需满足所以该函数的定义域为 . (2)因为－tan x>0，所以tan x<. 又因为当tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)， 根据正切函数的图象(图略)，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)， 所以该函数的定义域是. (1)已知函数f(x)＝tan ，则函数f(x)的最小正周期为(　　) A． B． C．π D．2π (2)函数f(x)＝(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数也是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【解析】 (1)由函数y＝tan (ωx＋φ)的周期T＝，可得T＝＝. (2)要使f(x)有意义，必须满足即x≠kπ＋且x≠(2k＋1)π(k∈Z)，所以函数f(x)的定义域关于原点对称．又f(－x)＝＝－＝－f(x)，故f(x)＝是奇函数． 活学活用 函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【解析】 易知f(x)的定义域关于原点对称，又f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数，T＝. [题后感悟] (1)函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法：①定义法．②公式法：对于函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)，它的最小正周期T＝.③观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． (2)判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系． (1)函数y＝tan 的单调递增区间是 _______________________________________. ，k∈Z 【解析】 令kπ－＜2x＋＜kπ＋，k∈Z， 解得－<x<＋，k∈Z. (2)比较tan 与tan 的大小． 解：因为tan ＝－tan ，tan ＝－tan . 又0＜＜＜，y＝tan x在上单调递增， 所以tan ＞tan ，所以－tan ＜－tan ， 即tan ＜tan . 活学活用 函数f＝3tan 的单调递减区间为 ___________________________________． 【解析】 因为f＝3tan ＝－3tan 2x， 由kπ－<2x<kπ＋可得－<x<＋， 所以函数f的单调递减区间为. 已知函数f＝3tan . (1)求它的最小正周期和单调递减区间． (2)试比较f与f的大小． 解：(1)因为f＝3tan ＝－3tan ， 所以T＝＝＝4π. 由kπ－<－<kπ＋，k∈Z， 得4kπ－<x<4kπ＋，k∈Z， 因为y＝3tan 在，k∈Z上单调递增， 所以f＝3tan 在，k∈Z上单调递减． 故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为， k∈Z. (2)f＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， f＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， 因为<，且y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ， 所以f>f. [题后感悟] (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan (ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 1．函数f(x)＝tan (ω>0)的最小正周期为π，则ω＝(　　) A．4 B．2 C．1 D． 2．函数f(x)＝cos ＋tan x(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 3．已知函数y＝－2tan ，则(　　) A．单调递增区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z B．单调递增区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z C．单调递减区间为(6k－5，6k＋1)，k∈Z D．单调递减区间为(6k－1，6k＋5)，k∈Z 【解析】 由于函数y＝－2tan 在一个周期内单调递减，令－＋kπ<x＋<＋kπ(k∈Z)，解得6k－5＜x＜6k＋1(k∈Z)，故函数 y＝－2tan 的单调递减区间为(6k－5，6k＋1)(k∈Z). 4．函数y＝tan ，x∈的值域为_____________． (1，] 【解析】 由0<x≤得0<≤，从而<＋≤，所以tan <tan ≤tan ，即1<tan ≤，所以所求函数的值域为(1，]. 5．2024·石家庄一中高一不等式tan ≥的解集为 ______________________________. 【解析】 由题可得kπ＋≤2x＋<kπ＋，k∈Z，所以kπ≤2x<kπ＋，k∈Z，所以≤x<＋，k∈Z，所以不等式的解集为. $$