5.4.2 第2课时 单调性与最值-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第2课时　单调性与最值 课程目标 1.会求y＝sin x，y＝cos x的最大(小)值，会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，能够利用单调性比较大小. 3.会求函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的单调区间． 目录 CONTENTS 教材整体初识 构建与探源 01 02 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— ____________________________ —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 01 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— 教材整体初识 构建与探源 课时构建 正弦函数、余弦函数的单调性与最值(表中k∈Z) [－1，1] [－1，1] [(2k－1)π，2kπ](k∈Z) [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z) 2kπ(k∈Z) (2k＋1)π(k∈Z) 5 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 正弦函数、余弦函数的单调性 (1)正弦函数、余弦函数在定义域上都是单调函数．(　　) (2)y＝sin x在第一象限和第三象限内单调递增．(　　) (3)函数y＝cos x在[－π，0]上单调递增．(　　) × × √ 课时构建 正弦函数、余弦函数的最值(值域) × × × 02 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 C 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 类型一　求正弦函数、余弦函数的单调区间 [题后感悟] 在求形如y＝A sin 的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间从而求出原函数的单调区间． 如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式． 类型二　利用单调性比较大小 类型二　利用单调性比较大小 类型二　利用单调性比较大小 类型二　利用单调性比较大小 类型二　利用单调性比较大小 [题后感悟] 比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上． 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) [题后感悟] 三角函数最值问题的求解方法 (1)形如y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论．(2)形如y＝A sin (ωx＋φ)＋b(或y＝A cos (ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin (ωx＋φ)(或cos (ωx＋φ))的范围，最后求得最值． 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) 当 堂 自 评 1．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为(　　) D 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) A．单调递增 B．单调递减 C．先单调递减后单调递增 D．先单调递增后单调递减 B 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) C 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) B 类型三　正弦函数、余弦函数的最值(值域) < 温馨提示：课后请完成高效作业58 感谢聆听，再见！ －＋2kπ(k∈Z) (k∈Z) (k∈Z) ＋2kπ(k∈Z) (4)存在x∈R满足sin x＝.(　　) (5)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　) (6)在区间上，函数y＝sin x仅在x＝处取得最小 值－1.(　　) 2024·江山中学高一求下列函数的单调区间． (1)y＝sin . (2)y＝2sin ＋1. 解：(1)对于函数y＝sin ，由正弦函数的单调性，知 当2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递减， 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z). 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋时，函数单调递增， 即kπ－π≤x≤kπ＋(k∈Z). ∴函数的单调递减区间是(k∈Z)； 函数的单调递增区间是(k∈Z). (2)y＝2sin ＋1＝1－2sin ， 当2kπ＋≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，y＝2sin ＋1单调递增． 当2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)时，y＝2sin ＋1单调递减． ∴y＝2sin ＋1的单调递增区间为， k∈Z；单调递减区间为，k∈Z. 活学活用 (1)函数y＝|cos x|的一个单调递减区间是(　　) A．　　　　 B． C． D． (2)函数y＝sin ，x∈[0，2π]的单调递减区间为 __________________________． ， 【解析】 (1)函数y＝|cos x| ＝ 部分图象如下， 单调递减区间有，，…. (2)y＝sin ＝－sin ， 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 又x∈[0，2π]，∴0≤x≤或≤x≤2π， ∴原函数的单调递减区间为，. 2024·武汉六中高一利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小． (1)sin 与sin . (2)cos 与cos . 解：(1)因为y＝sin x在上单调递增， －<－<－<0，所以sin >sin . (2)cos ＝cos ＝－cos ， cos ＝cos ＝－cos . 因为y＝cos x在上单调递减，所以cos >cos ， 所以cos <cos . 活学活用 比较下列各组数的大小． (1)sin 与sin π. (2)sin 194°与cos 160°. 解：(1)sin ＝sin ＝sin ， sin π＝sin ＝sin ， 因为y＝sin x在上单调递增， 所以sin <sin ， 即sin <sin π. (2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos (180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. 因为0°<14°<70°<90°，所以sin 14°<sin 70°， 所以－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°. 2024·金陵中学高一求函数y＝3－4cos ，x∈的最大值、最小值及相应的x的值． 解：因为x∈，所以2x＋∈， 从而－≤cos ≤1. 所以当cos ＝1，即2x＋＝0，x＝－时， ymin＝3－4＝－1. 当cos ＝－，即2x＋＝，x＝时， ymax＝3－4×＝5. 综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；当x＝时，ymax＝5. 活学活用 已知函数f(x)＝2a sin x＋b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为－5，求a和b的值． 解：因为－≤x≤，所以－≤sin x≤1. 若a＝0，不合题意； 若a＞0，则解得 若a＜0，则解得 A．ymax＝3，x＝ B．ymax＝1，x＝＋2kπ(k∈Z) C．ymax＝3，x＝＋2kπ(k∈Z) D．ymax＝3，x＝－＋2kπ(k∈Z) 2．2024·永州四中高一函数y＝－sin x在区间上(　　) 3．函数f＝2sin 的一个单调递减区间是(　　) A． B． C． D． 【解析】 函数y＝sin x的单调递减区间是， 故令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，当k＝0时，≤x≤. 4．函数y＝cos ，x∈的值域是(　　) A．(－，) B． C． D． 【解析】 由0≤x≤，得≤x＋≤，所以－≤cos ≤，故函数y＝cos 的值域是. 5．2024·厦门一中高一sin ______sin π.(填“>”或“<”) 【解析】 sin π＝sin ＝sin ，sin π＝sin ＝sin .因为y＝sin x在上单调递增，又0<<<，所以sin <sin ，所以sin <sin . $$