5.4.2 第1课时 周期性与奇偶性-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

第五章　三角函数 5.4　三角函数的图象与性质 5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 第1课时　周期性与奇偶性 课程目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义，会求常见三角函数的周期. 2.通过图象直观理解奇偶性，能够确定图象的对称轴和对称中心． 目录 CONTENTS 教材整体初识 构建与探源 01 02 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— ____________________________ —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 01 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— 教材整体初识 构建与探源 课时构建 非零 f(x＋T)＝f(x) 非零常数T 正数 正数 2π 2π 奇函数 偶函数 课时构建 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 函数的周期性 (1)由于 是正弦函数y＝sin x 的一个周期．(　　) (2)若T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的周期．(　　) (3)所有的函数都有最小正周期．(　　) (4)因为sin (5x＋2π)＝sin 5x，所以函数y＝sin 5x的最小正周期为2π.(　　) × √ × × 课时构建 正、余弦函数的奇偶性 × × × 02 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 解：(1)把2x看成一个新的变量u，那么y＝cos u的最小正周期为2π，这就是说当u增加到u＋2π且必须至少增加到u＋2π时，函数y＝cos u的值重复出现．而u＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)，所以当自变量x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时，函数值重复出现，因此y＝cos 2x的周期为π. 类型一　正弦函数、余弦函数的周期 类型一　正弦函数、余弦函数的周期 类型一　正弦函数、余弦函数的周期 类型一　正弦函数、余弦函数的周期 (2)作出函数f(x)＝|cos x|的图象如下， 由图可知，函数f(x)＝|cos x|的周期为π. 类型一　正弦函数、余弦函数的周期 类型二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 类型二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 解：(1)函数的定义域为R，关于原点对称， 因为f(x)＝cos x－x3sin x，所以f(－x)＝cos (－x)－(－x)3·sin (－x)＝cos x－x3sin x＝f(x)，所以f(x)是偶函数． 类型二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 类型二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 [题后感悟] 判断函数的奇偶性应把握好两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断． 类型二　正弦函数、余弦函数的奇偶性 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 A 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 [题后感悟] 利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．利用奇偶性，可以找到－x与x对应的函数值的关系，从而解决求值问题．   类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 当 堂 自 评 1．函数f(x)＝sin (－x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 【解析】 由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin (－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 A 2．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0. 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 A 3．下列函数中，最小正周期为4π的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝sin D．y＝cos 2x 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 C 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 2 类型三　三角函数的奇偶性与周期性的应用 －3 温馨提示：课后请完成高效作业57 感谢聆听，再见！ 常用结论 函数周期的若干形式： (1)若f(x＋t)＝f(x)，则函数周期为t； (2)若f(x＋t)＝－f(x)，则函数周期为2t； (3)若f(x＋t)＝(f(x)≠0)，则函数周期为2t； (4)若f(x＋t)＝－(f(x)≠0)，则函数周期为2t. sin ＝sin ，则 (5)函数y＝sin x，x∈(－2π，2π]是奇函数．(　　) (6)函数y＝sin 是奇函数．(　　) (7)函数y＝－cos 是偶函数．(　　) 2024·湖州中学高一求下列函数的周期． (1)y＝cos 2x.(2)y＝2sin . (3)y＝|sin x|＋1. (2)∵2sin ＝2sin ， 即2sin ＝2sin . 所以当x增加到x＋6π且必须至少增加到x＋6π时，函数值才能重复出现，∴y＝2sin 的周期是6π. (3)∵|sin (x＋π)|＋1＝|sin x|＋1.所以当x增加到x＋π且必须至少增加到x＋π时，函数值才能重复出现，∴y＝|sin x|＋1的周期为π. 活学活用 求下列函数的周期． (1)f(x)＝sin .(2)f(x)＝|cos x|. 解：(1)因为f(x)＝sin ＝sin ＝sin ＝f， 即f＝f(x)，所以f(x)＝sin 的周期为. [题后感悟] 求三角函数周期的方法 (1)定义法． (2)公式法：y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A cos (ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω>0)，则周期T＝. (3)图象法． 2024·济南中学高一判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝3sin . (2)f(x)＝x2cos . 解：(1)函数f(x)＝3sin 的定义域为R. 因为f(x)＝3sin ＝－3sin ＝－3sin ＝－3cos 3x，所以f(－x) ＝－3cos (－3x)＝－3cos 3x＝f(x)，所以f(x)＝3sin 是偶函数． (2)f(x)＝x2cos 的定义域为R. 因为f(x)＝x2cos ＝x2sin x， f(－x)＝－x2sin x＝－f(x). 所以f(x)＝x2cos 是奇函数． 活学活用 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos (2π－x)－x3sin x. (2)f(x)＝＋. (2)由得cos x＝，此时f(x)＝0，f(x)的定义域为. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (1)2024·盐城中学高一已知f(x)是定义在R上，且周期为π的奇函数，当x∈时，f(x)＝sin x，则f＋f＋f＝(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C． D．1＋ 【解析】 (1)因为f(x)是定义在R上，且周期为π的奇函数，所以f＝f＝f＝－f，即f＝0.因为当x∈时，f(x)＝sin x，所以f＝sin ＝，f＝f＝f＝－f＝－，所以f＋f＋f＝＋0－＝0. (2)因为函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为π，所以ω＝＝2，可得函数f(x)＝2sin (2x＋φ).又函数f(x)＝2sin (2x＋φ)为偶函数，所以φ＝＋kπ，k∈Z，又0<φ<π，所以φ＝，故cos ＝cos ＝－cos ＝－. 活学活用 已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，当x∈时，求f(x)的解析式． 解：当x∈时，3π－x∈，因为当x∈时，f(x)＝1－sin x，所以f(3π－x)＝1－sin (3π－x)＝1－sin x. 又f(x)是以π为周期的偶函数，所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)， 所以当x∈时，f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x． 【解析】 y＝sin x的最小正周期为2π，故A项不符合题意；y＝cos x的最小正周期为2π，故B项不符合题意；y＝sin 的最小正周期为4π，故C项符合题意；y＝cos 2x的最小正周期为π，故D项不符合题意． 4．已知函数f(x)＝2sin ，则f(x)的最小正周期是______． 【解析】 由f(x)＝2sin ，得T＝＝2. 5．若函数 y＝f(x) 是定义在R上的周期为3的奇函数，且 f＝3 ，则 f＝_________． 【解析】 由已知得 f＝f(x)，f＝－f(x)， 所以f＝f(2)＝f＝－f(1)＝－3. $$