1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 第一章　集合与常用逻辑用语 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 课程目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.正确地对含有一个量词的命题进行否定． 目录 CONTENTS 教材整体初识 构建与探源 01 02 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— ____________________________ —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 01 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— 教材整体初识 构建与探源 课时构建 存在 全称 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 全称量词命题的否定 (1)“所有的矩形都是平行四边形”的否定是“所有的矩形都不是平行四边形”．(　　) (2)“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是“∃x∈R，x2－2x＋1<0”．(　　) × √ 课时构建 存在量词命题的否定 (3)“存在一个质数不是奇数”的否定是“所有质数都是奇数”．(　　) (4)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反．(　　) 　 √ √ 02 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 例1写出下列全称量词命题的否定，并判断真假． (1)∀x<0，x2－5x－7<0. (2)任何一个平行四边形的对边都平行． (3)不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根． 解：(1)该命题的否定：∃x<0，x2－5x－7≥0，这是一个真命题． (2)该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．因为平行四边形的两组对边都平行，所以这是一个假命题． 类型一 全称量词命题的否定 (3)该命题的否定：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，所以这是一个假命题． 类型一 全称量词命题的否定 [题后感悟] 1．对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词． (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等． 2．全称量词命题否定后的真假判断方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可． 类型一 全称量词命题的否定 例2写出下列存在量词命题的否定，并判断真假． (1)∃x∈R，2x＋5≥0. (2)∃x∈R，x2＋3x＋2<0. (3)有些分数不是有理数． 解：(1)该命题的否定：∀x∈R，2x＋5<0.这是一个假命题． (2)该命题的否定：∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.这是一个假命题． (3)该命题的否定：一切分数都是有理数．这是一个真命题． 类型二 存在量词命题的否定 活学活用 (1)2024·缙云中学高一命题“∃x ∈∁RQ，x3∈Q”的否定是(　　) A．∃x∈∁RQ，x3Q B．∃x ∁RQ，x3∈Q C．∀x ∁RQ，x3Q D．∀x∈∁RQ，x3Q 类型二 存在量词命题的否定 D (2)命题“关于x的方程ax2－x－2＝0在{x|x>0}上有解”的否定是(　　) A．∃x∈{x|x>0}，ax2－x－2≠0 B．∀x∈{x|x>0}，ax2－x－2≠0 C．∃x∈{x|x<0}，ax2－x－2＝0 D．∀x∈{x|x<0}，ax2－x－2＝0 【解析】 (1)因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃x∈∁RQ，x3∈Q”的否定是“∀x∈∁RQ，x3Q”． (2)该命题可以表述为“∃x∈{x|x>0}，ax2－x－2＝0”，其否定是“∀x∈{x|x>0}，ax2－x－2≠0”． 类型二 存在量词命题的否定 B [题后感悟] 1．对存在量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． 类型二 存在量词命题的否定 2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． 类型二 存在量词命题的否定 例3　2024·淄博实验中学高一已知命题p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0.若p与q均为假命题，求实数a的取值范围． 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 活学活用 已知命题：∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}，且该命题的否定是假命题，求实数a的取值范围． 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 [题后感悟] (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围．(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 1．下列命题中，是真命题的是(　　) A．每个二次函数的图象都与x轴相交 B．∀x∈R，x2>0 C．∃x∈R，x2≤0 D．方程x2＋2x＋8＝0有实数解 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 当 堂 自 评 C 2．2024·义乌中学高一设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题： ∀x ∈A，2x∈B，则(　　) A．该命题的否定：∀x∈A，2x∈B B．该命题的否定：∀xA，2xB C．该命题的否定：∃xA，2x∈B D．该命题的否定：∃x∈A，2xB 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 D 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 D 4．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是(　　) A．所有能被5整除的整数都不是奇数 B．所有奇数都不能被5整除 C．存在一个能被5整除的整数不是奇数 D．存在一个奇数，不能被5整除 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 C 5．[多选题]已知命题：有理数的算术平方根是无理数．则下列结论中正确的是(　 　) A．该命题是真命题 B．该命题的否定是真命题 C．该命题是全称量词命题 D．该命题是存在量词命题 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 BC 【解析】 该命题可改写为“任意有理数的算术平方根是无理数”，该命题是全称量词命题且是假命题．例如，有理数4的算术平方根是2，2不是无理数．该命题的否定为“有些有理数的算术平方根不是无理数”，这是一个真命题． 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 6．[2023·温州中学高一]命题“∃x∈R，x2＋2x＋m＝0”是假命题，则实数m的取值范围是_____________． 【解析】 由题意得原命题的否定“∀x∈R，x2＋2x＋m≠0”为真命题，所以Δ＝4－4m<0，解得m>1.所以实数m的取值范围是{m|m>1}． 类型三 全称量词命题、存在量词命题的综合应用 {m|m>1} 感谢聆听，再见！ 解：因为p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0，q：∃x∈R，ax2＋ax＋1≤0， 所以命题p的否定：∃x∈R，ax2＋2x＋1＝0，命题q的否定：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0. 由题意得命题p的否定与命题q的否定都是真命题． 由命题p的否定为真命题得a＝0或故a≤1. 由命题q的否定为真命题得a＝0或故0≤a<4. 所以解得0≤a≤1.故实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}． 解：因为该命题的否定是假命题，所以该命题是真命题． 又∀x∈{x|－3≤x≤2}，都有x∈{x|a－4≤x≤a＋5}， 所以{x|－3≤x≤2}{x|a－4≤x≤a＋5}， 则解得－3≤a≤1. 3．[2024·衢州一中高一]命题“∃x∈R，＋1<2”的否定是(　　) A．∃x∈R，＋1>2 B．∃x∈R，＋1≥2 C．∀x∈R，＋1>2 D．∀x∈R，＋1≥2 $$