1.5.1 全称量词与存在量词-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固PPT课件（人教A版2019）

1.5　全称量词与存在量词 第一章　集合与常用逻辑用语 1．5.1　全称量词与存在量词 课程目标 1．理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义. 2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 目录 CONTENTS 教材整体初识 构建与探源 01 02 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— ____________________________ —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 01 ___________________________ —学科素养 对基本问题充分掌握— 教材整体初识 构建与探源 课时构建 全称量词与存在量词 全称量词 全称量词命题 x 课时构建 存在量词 存在量词命题 ∃x∈M，p(x) 课时构建 判断正误(请在括号中打“√”或“×”) 全称量词命题 (1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．(　　) (2)命题“三角形的内角和是180° ”是全称量词命题．(　　) (3)命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题．(　　) √ √ × 课时构建 存在量词命题 (4) “至少有一个三角形没有外接圆”是全称量词命题．(　　) (5)“在实数集内，有些一元二次方程无解”是存在量词命题．(　　) (6)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　) × √ √ 02 —学科素养 对学科素养融会贯通— 命题整体感知 尝试与研析 ____________________________ 例1将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示． (1)自然数的平方大于零． (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根． (3)两个无理数的和是无理数． (4)存在两个相似三角形不全等． 解： (1)该命题省略了全称量词“任意一个”，因此可用符号表示为∀x∈N，x2>0. 类型一 全称量词命题与存在量词命题的识别 (2)用符号表示为∃x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<1). (3)用符号表示为∀a，b∈{无理数}，a＋b∈{无理数}． (4)用符号表示为∃△ABC∽△A′B′C′，△ABC≌△A′B′C′不成立． 类类型一 全称量词命题与存在量词命题的识别 例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题． (1)有的质数是偶数． (2)某个四边形不是平行四边形． (3)负数的平方是正数． (4)每一个多边形的外角和都是360°. 解： (1)“有的”是存在量词，故命题为存在量词命题． (2)“某个”是存在量词，故命题为存在量词命题． 类型一 全称量词命题与存在量词命题的识别 (3)题中指“所有的”负数，故命题为全称量词命题． (4)“每一个”是全称量词，故命题为全称量词命题． 类型一 全称量词命题与存在量词命题的识别 [题后感悟] (1)判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等全称量词，有些命题的全称量词是隐藏的，要仔细辨别． (2)判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“有的”等存在量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别． 类型一 全称量词命题与存在量词命题的识别 例3　判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋3<0. (2)每一条线段的长度都能用正有理数表示． (3)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立． 解：(1)假命题，因为对任意x∈R，有x2＋3≥3. (2)假命题，如边长为1的正方形的对角线长 类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 活学活用 2024·效实中学高一指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假． ①有的集合中存在两个相同的元素． 类型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 类型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [题后感悟] 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 (1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)判断存在量词命题“ x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题． 类型二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例4已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋3≥0”是真命题，求实数a的取值范围． 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 例5 2024·厦门中学高一已知命题“∃1≤x≤2，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：当1≤x≤2时，由y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1的图象，可知3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，所以a≥－8. 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 [题后感悟] (1)全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可通过构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围． (2)存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；反之，假设不成立．   类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 1．下列命题中是存在量词命题的是(　　) A．∀x∈R，x2>0 B．∃x∈R，x2≤0 C．平行四边形的对边平行 D．矩形的任一组对边相等 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 当 堂 自 评 B 2．[多选题]下列命题是全称量词命题且是真命题的是(　 　) A．二次函数f(x)＝x2－ax－1(a∈R)的图象与x轴恒有交点 B．平行四边形的对角线相等 C．有些实数是无限不循环小数 D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 AD 3．已知下列全称量词命题与存在量词命题： ①设A，B为两个集合，若AB，则对任意x∈A，都有x∈B；②设A，B为两个集合，若A不包含于B，则存在x∈A，使得xB；③x∈{y|y是无理数}，x2是有理数；④x∈{y|y是无理数}，x3是无理数． 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 B 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 4．已知命题：∀x>3，x>m成立，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|m≤3} B．{m|m≥3} C．{m|m<3} D．{m|m>3} 【解析】 对任意x>3，x>m恒成立，即大于3的数恒大于m，所以m≤3. 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 A 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 5．2024·保定一中高一下列存在量词命题是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．至少有一个正整数是偶数 D．有的有理数没有倒数 B 类型三 利用含量词命题的真假求参数的取值范围 感谢聆听，再见！ (4)∃x，y∈R，＋＝. 为，它的长度就不是正有理数． (3)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，所以无实数解． (4)真命题，如x＝，y＝，使＋＝成立． ①有的集合中存在两个相同的元素． ②∀a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3. ③存在一个x∈R，使＝0. ④对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B． 解：①是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题． ②是全称量词命题，a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3，是真命题． ③是存在量词命题，因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题． ④是全称量词命题，根据锐角三角函数的定义可知，对任意直角三角形的两个锐角A，B，都有sin A＝cos B，是真命题． 解：(1)该命题为真命题，即ax2＋2x＋3≥0在R上恒成立． ①当a＝0时，不等式为2x＋3≥0，显然不能恒成立； ②当a≠0时，由不等式恒成立可知， 即，所以a≥. 综上可得，a的取值范围为a≥. 【解析】 对于①，因集合A，B满足AB，则由集合包含关系的定义知，对任意x∈A，都有x∈B，①是真命题； 对于②，因集合A，B满足A不包含于B，则由集合不包含关系的定义知，存在x∈A，使得xB，②是真命题； 对于③，显然π∈{y|y是无理数}，π2也是无理数，则③是假命题； 对于④，显然∈{y|y是无理数}，()3＝2却是 【解析】 对于A，令x＝0，则2x－x3＝0，故A选项的命题为真； 对于B，x2＋x＋1＝＋>0，即不存在x∈R， 使x2＋x＋1＝0，故B选项的命题为假； 对于C，正整数2就是偶数，故C选项的命题为真； 对于D，有理数0没有倒数，故D选项的命题为真． $$