第02讲 垂直平分线（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第02讲 线段的垂直平分线的性质和判定 知识点1：线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【题型1： 线段垂直平分线的性质】 【典例1】在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【变式1】如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 【变式3】如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【题型2： 线段垂直平分线的判定】 【典例2】如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【变式1】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【变式2】风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【题型3：作已知线段的垂直平分线】 【典例3】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式1】如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【变式2】如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【题型4： 作垂线(尺规作图】 【典例4】如图，已知，利用尺规作图作的边的中线和边上的高，点为垂足（不写作法，保留作图痕迹）． 【变式1】如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 【变式2】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【变式3】如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． (1)作 的平分线； (2)过点作线段的垂线． 一、单选题 1．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 5．到三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 6．观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 7．如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（    ）    A．5 B．7 C．8 D．11 二、填空题 8．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 9．如图，是的垂直平分线，点P是上一点，若周长是，，则的长为 ． 10.如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为 ．      11．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：    ①；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 三、解答题 12．如图，在中，请解答下列问题： (1)请用尺规作图的方法作边的垂直平分线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 13．如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足，的周长为16，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 线段的垂直平分线的性质和判定 知识点1：线段的垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线的作图 1. 分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； 2. 作直线 CD，CD 为所求直线 3.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【题型1： 线段垂直平分线的性质】 【典例1】在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于50，则的长是（   ）    A．22 B．23 C．32 D．33 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到，再由三角形周长计算公式可得，进而可得，据此可得答案． 【详解】解；∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∵的周长等于50， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式1】如图，在中， 垂直平分边，若的周长为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键. 根据垂直平分线的性质得出，再进行等量代换后计算即可. 【详解】解：∵ 垂直平分， ∴， ∴ 的周长， ∵， ∴ 故选：A． 【变式2】如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得出，故可得出的周长，由此即可得出结论． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 故答案为：10． 【变式3】如图，，若和分别垂直平分和，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，，再根据三角形的周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， 故答案为：． 【题型2： 线段垂直平分线的判定】 【典例2】如图，在 中， 是 的平分线，于点E，于点 F．求证∶垂直平分． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据角平分线的性质得出，证明出，得到，利用到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得出结论． 【详解】证明：∵是的平分线，且，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴， ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【变式1】如图，在中，边的垂直平分线交于点P，求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段垂直平分线上． 先由线段垂直平分线的性质得到，则，再由线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】证明：∵边的垂直平分线交于点P， ∴． ∴． ∴点P必在的垂直平分线上． 【变式2】风筝起源于东周春秋时期，距今已2000多年，到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．如图1，小祺制作了一个风筝．风筝的骨架示意图如图2所示，其中，．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定， 首先证明出，得到，然后结合即可得到垂直平分． 【详解】∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴垂直平分． 【题型3：作已知线段的垂直平分线】 【典例3】如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等．作的垂直平分线交于点，由垂直平分线的性质可知，即可完成作图． 【详解】解：如图，点即为所求作． 【变式1】如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 【变式2】如图，在中 (1)使用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图形中，当时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图---线段垂直平分线，垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； （2）根据线段垂直平分线得到，则的周长转化为． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：连接， ∵线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长=, ∴的周长． 【题型4： 作垂线(尺规作图】 【典例4】如图，已知，利用尺规作图作的边的中线和边上的高，点为垂足（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，作垂直平分线，作的垂直平分线交于点，然后连接，过作的垂线，交延长线于点即可，掌握作图方法是解题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，然后连接，过作的垂线，交延长线于点， ∴，即为所求． 【变式1】如图，已知在中，，请用直尺和圆规完成以下作图： (1)过点C作于点D； (2)在上求作一点E，使得点E到的距离等于的长．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了尺规作图，作垂线，作角平分线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以点C为圆心，适当长度为半径画弧交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长度为半径画弧交点，连接，与交于一点，此时，即可作答． （2）理解点E在上且点E到的距离等于的长，即要求点在的角平分线上，故的角平分线上与的交点即为点E，所以运用圆规和直尺作出的角平分线，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图所示： （2）解：依题意，点E如图所示． 【变式2】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（只要保留作图痕迹，不写作法） (1)作边上的高； (2)过点作直线的垂线，垂足为； (3)在上找一点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作垂线，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）作的垂直平分线交于点，即可求解． 【详解】（1）延长，以为半径，点为圆心作圆弧交直线于点，再分别以、为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点，连接，交于点，如图， 高即为所作； （2）如图所示： 垂线即为所作； （3）如图，点即为所求； 【变式3】如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． (1)作 的平分线； (2)过点作线段的垂线． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查尺规作垂线，作角平分线，掌握尺规作图的方法是关键． （1）根据尺规作角平分线即可； （2）根据尺规作垂线即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为的角平分线， （2）解：如图所示，即为线段的垂线． 一、单选题 1．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 2．如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，若，，则的周长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质，可得，继而可得的周长为，则可求得答案．解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 3．如图，内一点，点，分别是点关于，的对称点，交于点，交于点，若，则的周长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键． 由与关于对称，得到为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，同理可得，由，等量代换可求得的周长． 【详解】解： 与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， 同理，与关于对称， 为线段的垂直平分线， ， ， 则的周长为5． 故选：C． 4．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 5．到三个顶点的距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条高的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解题关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴到三个顶点的距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点． 故选：C． 6．观察如图作图痕迹，所作为的边上的（  ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中垂线 【答案】B 【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关键． 【详解】根据作图过程，可得所作线段为边上的高线， 故选B． 7．如图，是的边的垂直平分线，若的周长为14，，则的长为（    ）    A．5 B．7 C．8 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 先根据垂直平分线的性质，证明，再根据周长，进行等量代换即可． 【详解】解：是的边的垂直平分线， ， ，的周长， ， 故选：C． 二、填空题 8．如图，中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在两侧相交于点、，作直线分别与、交于点，，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的相关知识点是解题关键． 根据作图描述得垂直平分，可得，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作图可得，垂直平分， ， ． 故答案为： 9．如图，是的垂直平分线，点P是上一点，若周长是，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，再求出，进而可得出答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵周长是，即， ∴， ∴， 故答案为：6 10.如图，在中，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长为，则的长为 ．      【答案】/9厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．先根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”可得，再利用的周长为，即可求出的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∵，的周长为， ∴， 解得， 故答案为：． 11．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：    ①；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】先通过“”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论． 【详解】解：在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴垂直平分， ∴，， 故②③正确； 由已知和图形无法判断， 故④错误； 故答案为：①②③． 【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力． 三、解答题 12．如图，在中，请解答下列问题： (1)请用尺规作图的方法作边的垂直平分线，交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作出线段的垂直平分线即可． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线，如图所示： ； （2）解：垂直平分线段， ， ∴的周长． 13．如图，中，，，、分别为、的垂直平分线，、分别为垂足，的周长为16，求的长． 【答案】16 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，，根据已知条件可得，然后利用线段的和差关系及等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵、分别为、的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为16， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$