专题01 相似三角形六种模型（高效培优专项训练）数学沪科版九年级上册

专题01 相似三角形六种模型 题型一：“A”字模型 题型二：“8”字模型 题型三：“内接矩形”模型 题型四：“一线三等角”模型 题型五：“一线三直角”模型 题型六：“母子”模型 题型一：“A”字模型 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点D，E分别在上，，，，求．    2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，是边上一点且，、分别在边、上，，，求四边形的周长．    4．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，已知梯形中，，，交于，过作的平行线交于，交于．若，，求． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，已知，、相交于点，，． (1)若，求． (2)若，求． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求证：． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，高线、交于点．    (1)求证：； (2)若，，，求． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为． (1)当时，求M，N两点之间的距离． (2)用含t的代数式表示的面积S． (3)当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？ 11．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 题型二：“8”字模型 12．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 13．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，E为边上一点，与相交于点F，且． (1)求与的周长比； (2)若的面积为，求平行四边形的面积． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，交对角线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求平行四边形的面积． 16．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，点为边上一点，分别过点，作，，交的延长线于点，交于点，且，． (1)求的长； (2)若的面积为，求的面积． 17．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）【填空】点E是平行四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点F，已知平行四边形的面积为． （1）若，如图1，则的面积为； （2）若，如图2，则的面积为_______（用含的式子表示，下同）； （3）若，如图3，则的面积为_______； 【论证】请选用【填空】中（2）或（3）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】观察【填空】中的结论，发现规律，猜想若，则的面积为_______（用含和的式子表示，不用说理）． 题型三：“内接矩形”模型 18．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 19．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．当四边形为正方形时，求正方形的面积． 20．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 21．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 22．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 23．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 24．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道“勾股容方”问题，原文如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长． (1)请利用图1解决“勾股容方”问题； (2)事实上，还有“弦中容方”问题：如图2，的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长，并与（1）中边长比较，“斜”能压“正”吗？ 25．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 26．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 题型四：“一线三等角”模型 27．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ (3)当为等腰三角形时，直接写出长． 28．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)求x为何值时，最大？ (3)直接写出x为何值时，为等腰三角形？ 题型五：“一线三直角”模型 29．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． (1)求证：； (2)当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 30．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，正方形中，是上一点，过作交于点，连接． (1)证明：． (2)当时，求的长． 31．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点． (1)设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由． 32．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）正方形边长为4，M、N分别是上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直， (1)证明：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)求梯形的面积最大时，点M的位置． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点为边上一个动点，连接，过点在上方作，且，连接，． (1)如图1，①求证：；②求：的度数； (2)如图2，当经过中点时，求的值． 34．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）【感知】 如图1，在四边形中，点在边上（点不与A，B重合），．易证：（不要求证明）． 【探究】 （1）如图2，在四边形中，点在边上（点不与点A，B重合），．求证：； 【应用】 如图3，在中，．点在边上（点不与点A，B重合），连接，作与边交于点． （2）当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 题型六：“母子”模型 35．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，中，D是上一点，，，，求证：． 36．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在中，是上的一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 37．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D是边上一点，且满足，求的长． 38．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，为边上一点，且，过点D作，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相似三角形六种模型 题型一：“A”字模型 题型二：“8”字模型 题型三：“内接矩形”模型 题型四：“一线三等角”模型 题型五：“一线三直角”模型 题型六：“母子”模型 题型一：“A”字模型 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，点D，E分别在上，，，，求．    【答案】 【详解】解：∵，· ∴ ∵， ∴ ∵ ∵． 2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）古代数学著作《九章算术》中的“井深”问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”它的意思是：如图，尺，尺，问井深是多少？请解答上述问题． 【答案】尺 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设井深是尺，则尺，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：设井深是尺， ∵尺， ∴尺， 由题意可知，， ∴， ∴， ∵尺，尺， ∴， 解得， 答：井深是尺． 3．（2024·安徽合肥·一模）如图，在中，，，是边上一点且，、分别在边、上，，，求四边形的周长．    【答案】13 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的定义等知识，根据相似三角形的判定和性质分别求出和，再根据平行四边形的周长公式求解即可． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长． 4．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）如图，已知梯形中，，，交于，过作的平行线交于，交于．若，，求． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 利用平行线的判定得到，通过证明相似得到①，②，然后把两式相加即可得到的方程，然后解方程即可． 【详解】解：，， ， ∴， ①，②， ①②得， 即， ． 5．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 设经过秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：与． 【详解】解：设经过秒后，， 此时，． ∴， ∵， ， ， 设经过秒后，， ， ， ， 所以，经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图所示，已知，、相交于点，，． (1)若，求． (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质的运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，可证，可得，由此即可求解； （2）根据题意，可证，，可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：，， ， ， ，， ， ， ， ， ． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，． (1)求的值； (2)求证：． 【答案】(1)8 (2)见解析 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键，注意对应线段的对应位置． （1）根据平行线分线段成比例得到，进而根据比例性质求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴． 8．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，高线、交于点．    (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键： （1）先证明，进而得到，再证明，推出，结合，即可得证； （2）三线合一，求出，，根据，得到，进而求出，的长，根据以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，点D在边上，点E、点F在边上，且，． (1)求证：； (2)如果，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例得到，即可得到，进而得到，即可证明，得到，即可求证； （2）先求出，然后由平行线分线段成比例定理得代入数值即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．动点M从点A出发，沿向终点O方向运动，动点N从点O出发，沿向终点B方向运动，如果点M的速度是每秒4个单位长度，点N的速度是每秒2个单位长度，它们同时出发，当有一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为． (1)当时，求M，N两点之间的距离． (2)用含t的代数式表示的面积S． (3)当为多少时，以O，M，N为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】坐标与图形综合、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，代数式，相似三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由题意得，，，将代入即可得，，根据勾股定理即可求解． （2）根据，，用三角形面积公式即可表示． （3）分两种情况，和，根据对应边成比例可分别求得值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴． 当时，，， 由勾股定理得． （2）解：∵，，， ∴的面积． （3）解：分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：； ②当时，， ∴， 解得：． ∴当或时，以点O，M，N为顶点的三角形与相似． 11．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）综合与实践 小明同学想借助灯光下影子的长度来测量路灯的高度． 【问题初探】如图1，马路上有一路灯杆，在灯光下，小明在地面上离灯座B点8m的D点处的影子长为3m，小明的身高为m，则路灯的高度为______m；接着，小明从D点沿方向行走4m到达H点，如图2，此时影子的长度为______m； 【联系模型】小明发现图2为古算书《海岛算经》中的模型，在教材数学史话和复习题中均有呈现．《海岛算经》中题为：如图2，今要测量海岛上一座山峰的高度，在D处和H处竖立标杆和，标杆的高都是3丈，D和H两处相隔步，并且都在同一平面内．从标杆后退步的E处可以看到顶峰A和标杆顶端C在同一直线上；从标杆后退步的F处可以看到顶峰A和标杆顶端G在同一直线上，则山峰的高度是多少步？请你求出山峰的高度；（这里古制1丈=10尺，1步=6尺，结果用步来表示） 【拓展应用】受小明的启发，小亮也进行了探究：一天晚上小亮在自己家居住的小区附近主干道上散步，他发现当他站在两盏路灯（和）之间，如图3，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子长为3m（即），左边的影子长为m（即）．已知小亮身高为m，两盏路灯的高度相同且两盏路灯之间的距离为m（即）．根据以上信息，请你帮助小亮求出路灯的高度． 【答案】【问题初探】，；【联系模型】山峰的高度为步；【拓展应用】路灯的高为m 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．【问题初探】根据、即可求解；【联系模型】由得，由得，设步，步，则，即可求解；【拓展应用】设，由可得，由可得，则，即可求解； 【详解】解：【问题初探】由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 当小明从D点沿方向行走4m到达H点，， 同理可得：， ∴，即， 解得：； 故答案为：，； 【联系模型】由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设步，步， ∵步，步，步，丈尺步， ∴， 则， 解得：， ∴山峰的高度为步； 【拓展应用】设， 由题意得：， ∴， ∵， ∴可得， 同理可得：可得， 则， 解得：， ∴路灯的高为m 题型二：“8”字模型 12．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图：在中，是的中点，是的中点，交于点，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的值： 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】利用平行四边形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方． （1）根据平行四边形的性质求出，，推出，利用相似三角形的性质即可证明； （2）证明，再根据相似三角形的性质得出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E为的中点，F为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 13．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在平行四边形中，E为边上一点，与相交于点F，且． (1)求与的周长比； (2)若的面积为，求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了平行四边形的性质． （1）先根据平行四边形的性质得到，再证明，则利用相似三角形的性质得到与的周长比； （2）根据相似三角形的性质得到，再求出．可得． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴， ∴与的周长比； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，交对角线于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由平行四边形的性质得到，进而根据平行线的性质和已知条件得到，进而证明，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）可得，再结合已知条件可得，进而得到，再证明，最后根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平行四边形中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)30 【知识点】利用平行四边形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识． （1）根据平行四边形的性质得到，则，即可证明； （2）证明，则，得到，证明，则，得到，即可得到平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 16．（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在中，点为边上一点，分别过点，作，，交的延长线于点，交于点，且，． (1)求的长； (2)若的面积为，求的面积． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）先证明，得，故有，然后证明，则，然后代入即可求解；， （）由（）知，根据根据相似三角形的性质得，所以，从而求出，然后求出，最后根据面积和差即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（）知， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴的面积为． 17．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）【填空】点E是平行四边形的边上一点，连接并延长交的延长线于点F，已知平行四边形的面积为． （1）若，如图1，则的面积为； （2）若，如图2，则的面积为_______（用含的式子表示，下同）； （3）若，如图3，则的面积为_______； 【论证】请选用【填空】中（2）或（3）中的一种情况，证明你的结论； 【猜想】观察【填空】中的结论，发现规律，猜想若，则的面积为_______（用含和的式子表示，不用说理）． 【答案】【填空】（2） （3）；【论证】证明见解析；【猜想】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行四边形的性质求解、数字类规律探索 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 填空：设平行四边形的高为，可得，由，易证，设和的高分别为，，根据，可得，进而推出，，同理可得：当时，的面积； 论证：证明见解析； 猜想：观察【填空】中的结论，发现规律，从而得到答案． 【详解】解：填空（2）：设平行四边形的高为，由题可得：， ∵， ∴ ∴， 设和的高分别为，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 填空（3）：由（2）同理可得：当时，，， ∴， 故答案为：； 论证：证明：设平行四边形的高为，由题可得：， ∵， ∴ ∴， 设和的高分别为，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 猜想：观察【填空】中的结论，可发现规律： 当时，； 当，； 当，； 从而得到：当，． 题型三：“内接矩形”模型 18．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 【答案】这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的性质．由矩形的性质可得，设，则，再由结合矩形的面积公式即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ． 设，则， ， 解得， 矩形的面积 ， 时，有最大值24， 即的长为，的长为，矩形面积最大． 答：这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 19．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，高，矩形的一边在边上，E、F分别在上，交于点H．当四边形为正方形时，求正方形的面积． 【答案】4 【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形判定及性质．根据题意设，则，再证明，继而利用相似性质列式计算即可． 【详解】解：由题意知，，，，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形，设， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． 20．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、相似三角形的判定与性质综合、矩形性质理解 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为． 21．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知：如图，在中，是边上的高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，另两个顶点分别在上． (1)若，当时，求的长； (2)若当矩形的面积最大时，求这个矩形的边长． 【答案】(1) (2)这个矩形的边长分别为30，20 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识，证明两个三角形相似是解题的关键． （1）由矩形性质易证明，则有；再证明四边形是矩形，得，结合，则由比例式得到关于的方程，解方程即可； （2）设，则可表示，由可求得，进而可表示出矩形的面积，由二次函数性质即可求得面积的最大值，从而求得矩形的边长． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ， ， ∴； 又， ， 四边形是矩形， ； ， ∴， 解得； （2）解：设，则， ， ， 即， ， 矩形的面积 ， 当时，矩形的面积取得最大值600， 此时． 所以，这个矩形的边长分别为30，20． 22．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，中，是边上的高，，，作矩形，使它的一边在上，顶点，分别在、上，与的交点为，且矩形长是宽的3倍． (1)求证：； (2)试求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质， （1）由矩形的性质可得，即得，，进而可得，再根据相似三角形的性质即可求证； （2）设设，，由相似三角形的性质可得，解方程求出即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，，则， ∵； ∴， 解得， 这个矩形的周长； 23．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点． (1)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (2)若这个零件长是宽的2倍，求这个零件的长和宽？ 【答案】(1) (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合正方形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答． （2）结合矩形的性质，得出，得，再结合相似三角形的高的比等于相似比，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设这个零件的边长为r， ∵四边形为正方形，且的高，边， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 这个零件的边长为； （2）解：依题意，设这个零件的边， ∵四边形是矩形，且的高，边， ∴， ∴， ∴（相似三角形的高的比等于相似比）， ∴， 解得． ∴这个零件的长、宽分别是． 24．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道“勾股容方”问题，原文如下：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长． (1)请利用图1解决“勾股容方”问题； (2)事实上，还有“弦中容方”问题：如图2，的两条直角边，的长分别为5步和12步，求它的内接正方形的边长，并与（1）中边长比较，“斜”能压“正”吗？ 【答案】(1) (2)不能 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形性质理解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质； （1）设，则，，证明，再利用相似三角形求解即可； （2）如图2，过C作于点P，交于点Q，设，求解，，证明，再利用相似三角形的性质解题即可． 【详解】（1）解：如图1，∵四边形是正方形， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 即内接正方形的边长为； （2）解：如图2，过C作于点P，交于点Q，设， ∵的两条直角边，的长分别为5步和12步， ∴， ∵， ∴， 解得， 同理得， ∴，即， 解得， ∴该直角三角形能容纳的正方形边长为步； ∵， ∴“斜”不能压“正”． 25．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点，分别在，上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，． ①求与的函数表达式，并写出自变量的取值范围； ②设矩形的面积为，当取何值时，取最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)这个正方形的边长是 (2)①；②当时，取最大值，最大值是 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、根据矩形的性质求线段长、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用， （1）先证明，设正方形的边长为，根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①由（1）可得：，进而求得函数关系式； ②根据得出函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴, ， ， 设正方形的边长为， ， 解得：， 答：这个正方形的边长是； （2）①在矩形中，，， ∴， ∴， ， ， ∴，即；     ②由题意得：， 当时，取最大值，最大值是． 26．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）如图①，有一块三角形余料，它的边，高．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)加工成的正方形零件的边长是___________． (2)如图②，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变．设，求与之间的关系式． (3)在（2）的条件下，求矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽． 【答案】(1)48 (2) (3)长和宽分别为， 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、图形问题(实际问题与二次函数)、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）设正方形的边长为，则，证明，得到，求出结果即可； （2）根据矩形性质证明，得到，即可得到与之间的关系式； （3）设矩形的零件的面积为S，利用即可得出当时，S的最大值为2400，再代入求出y值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ∴， ， 解得：， 加工成的正方形零件的边长是， 故答案为：48； （2）解：四边形为矩形， ， ， ∴， ， 整理得：； （3）解：设矩形的零件的面积为S， ， 当时，S的最大值为2400， ， 矩形零件的面积达到最大值时该矩形零件的长和宽分别为，． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，相似三角形的应用，矩形的性质，正方形的性质，二次函数的最值问题，熟记相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键． 题型四：“一线三等角”模型 27．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）在中，，，D为上一个动点（不与B、C重合），在上取E点，使． (1)求证：； (2)设，，求关于的函数关系式及自变量取值范围，并求当为何值时，取最小值，最小值为多少？ (3)当为等腰三角形时，直接写出长． 【答案】(1)见详解 (2)当时，有最小值，最小值为 (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证． （2）由，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出与的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值． （3）当为等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分，，三种情况讨论求出满足题意的的长即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， 当时，有最小值，最小值为． （3）当时，， ∴， ∴，即， ∵， ∴等式左右两边同时除以x得：， ∴， 当时，，此时D是中点，E也是的中点， ∴， 当时，，D与B重合，不合题意， 综上，在上存在点E，使是等腰三角形， 的长为或． 28．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，设的长为． (1)求证：； (2)求x为何值时，最大？ (3)直接写出x为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，正确证明是关键． （1）根据等边对等角，可以证得，然后根据三角形的外角的性质，证得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得； （2）根据相似三角形的对应边的比相等，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）分三种情况进行讨论，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴有最大值， ∴当时，有最大值； （3）解：①当时， ∵, ∴， ∴，即， 解得 ． ②当时，． ∴． ∴，即． 解得 ． ③当时，点D与点B重合，点E与点C重合，此时． 或当时，， ∵， ∴情况不成立． 综上所述，当或时，为等腰三角形． 题型五：“一线三直角”模型 29．（23-24九年级上·安徽宿州·阶段练习）正方形边长为4，M、N分别是，上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直，设． (1)求证：； (2)当M点运动到什么位置时，求此时x的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)当点M运动到的中点时，，此时。 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得出，根据得出，根据直角三角形两锐角互余得出进而得出，从而得出三角形相似； （2）根据要使三角形相似则需要满足，结合(1)中的条件得出，即M为的中点．即可求出x的值． 【详解】（1）证明：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴要使，必须有， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴当点M运动到的中点时，，此时． 30．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，正方形中，是上一点，过作交于点，连接． (1)证明：． (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】此题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定方法，求证即可； （2）根据相似三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是正方形 ， ， ； （2）解：， ， ， 31．（24-25九年级下·安徽安庆·开学考试）如图，在四边形中，，，，，是线段上一动点（点不与、重合），，交直线于点． (1)设，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)请你探索在点运动的过程中，四边形能否构成矩形？如果能，求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，当时，四边形能构成矩形 【知识点】一次函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，可证，得到，即可得到，令，得到，可得； （2）根据矩形的性质，结合一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：：∵， ， ， ， ， ，， ， ； 设， ∴， ，， 设， ， ； 令，则， 的取值范围为； （2）解：当四边形为矩形时，，即， 则， 解得， (舍)，， ∴当时，四边形能构成矩形． 32．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）正方形边长为4，M、N分别是上的两个动点，当M点在上运动时，保持和垂直， (1)证明：； (2)设，梯形的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (3)求梯形的面积最大时，点M的位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当点M运动到中点时，梯形的面积最大，最大值为10 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识， （1）根据正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到．即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，则，根据梯形面积得到二次函数解析式； （3）根据二次函数的性质得到答案即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ． 在中，， ． ∴． （2）， ，即， ， （3） ∵， ∴y有最大值，且当时，y取得最大值，最大值为． 即当点M运动到中点时，梯形的面积最大，最大值为． 33．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点为边上一个动点，连接，过点在上方作，且，连接，． (1)如图1，①求证：；②求：的度数； (2)如图2，当经过中点时，求的值． 【答案】(1) ①证明见解析 ；② (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①根据已知得到，再结合来判定三角形相似求解；②过作，交延长线于点，设与交于点，易得到，求得，结合①的结论得到，再利用判断三角形相似得到，最后根据相似三角形的性质求解； （2）过作，交延长线于点，设，，则，利用由（1）②的结论，易得到，过作交于点，易得到，进而得到，再利用相似三角形的判定得到，最后利用相似三角形的性质求解． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． ②解：过作，交延长线于点，设与交于点， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由①知，， ∴∠CNM＝∠CBM， ∴， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：过作，交延长线于点， 设，， 则， 由（1）②可知， ∴， ∴，， ∴， ∴． 过作交于点， ∴，． ∵是中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 即， 整理可得b， ∴． 【点晴】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 34．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）【感知】 如图1，在四边形中，点在边上（点不与A，B重合），．易证：（不要求证明）． 【探究】 （1）如图2，在四边形中，点在边上（点不与点A，B重合），．求证：； 【应用】 如图3，在中，．点在边上（点不与点A，B重合），连接，作与边交于点． （2）当时，求的长； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）或 【知识点】公式法解一元二次方程、三角形的外角的定义及性质、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】[探究]（1）利用三角形外角的性质，得到，即可求解； [应用]（2）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可； （3）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】[探究]（1）证明：是的外角， ，即． ， ． 又， ． [应用]解：（2）设，则． ， ． ， ， ， ，即， 化简可得， 解得或， 即或． （3）由（2）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或． 当时， 由（2）可得，， ， ， ． 当时，， 则， ， ． 设，则， ， 则． 由可得，，即， 解得， ． 综上，或． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 题型六：“母子”模型 35．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，中，D是上一点，，，，求证：． 【答案】见详解 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，在中，是上的一点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查基础的相似三角形判定及性质，利用两个对应角相等进行三角形相似的判定是最常考的类型． （1）利用相似三角形的判定定理证明； （2）根据相似三角形对应边成比例进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴． 37．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，D是边上一点，且满足，求的长． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出是解题的关键． 证明，再根据对应边成比例求出即为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 38．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，为边上一点，且，过点D作，交于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． （2）由勾股定理求出，由已知可得根据得到，代入数值即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$