第一章 1.2.1 有理数的概念（暑期预习讲义）2025-2026学年人教版数学七年级上册

第1章 有理数的概念（暑期预习讲义） 思维导图 学习目标 1. 理解有理数的定义，能区分有理数与无理数。 2. 掌握有理数的两种分类方法（按定义分类、按符号分类）。 3. 熟练运用数轴表示有理数，理解相反数、绝对值的概念。 4. 能用有理数解决实际问题（如温度、海拔等场景）。 知识点梳理 1. 有理数的定义 · 定义：可以表示为两个整数之比（分数形式 ，其中 为整数，）的数。 · 表现形式： · 整数（如 ） · 分数（如 （有限小数或无限循环小数）） 2. 有理数的分类 · 按定义分类： · 整数：正整数、0、负整数 · 分数：正分数、负分数 · 按符号分类： · 正有理数（如 ） · 负有理数（如 ） · 零（既不是正数也不是负数） 3. 数轴与有理数 · 数轴三要素：原点、正方向、单位长度。 · 表示方法：每个有理数对应数轴上的一个点（如 在原点左侧2个单位）。 4. 相反数与绝对值 · 相反数：符号相反的两个数（如 和 ），0的相反数是0。 · 绝对值：数轴上点到原点的距离，恒为非负数（如 ）。 5. 应用举例 · 实际场景：温度（ vs ）、收支（收入+500元，支出-200元）。 知识点总结 核心概念 关键要点 有理数定义 可写为分数的数（包括整数和有限/循环小数）。 分类方法 按定义（整数/分数）、按符号（正/负/零）。 数轴表示 每个有理数对应数轴上唯一一个点。 相反数 符号相反，数轴上关于原点对称。 绝对值 表示距离，永远≥0。 易错提醒： · 无限不循环小数（如π）不是有理数！ · 绝对值最小的数是0，没有绝对值最大的数。 通过以上学习，学生应能准确识别有理数，并运用其解决实际问题。建议结合数轴绘图和生活实例加强理解。 巩固练习 一、选择题 1．下列说法，其中正确的个数为（　　）. ①正数和负数统称为有理数；②一个有理数不是整数就是分数；③有最小的负数，没有最大的正数；④如果两个数的和是正数，那么这两个数中至少有一个正数；⑤ -a 一定在原点的左边. A．1 个 B．2 个 C．3个 D．4个 2．下列说法不正确的是（　　） A．0既不是正数，也不是负数 B．﹣a一定是负数 C．0是整数 D．一个有理数不是整数就是分数 3．在，﹣2，0，﹣3.4这四个数中，属于负分数的是（　　） A． B．﹣2 C．0 D．﹣3.4 4．下列说法正确的是（　　） A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数、负分数统称为分数 C．零既属于正整数又属于负整数 D．有理数是正数和负数的统称 5．下列说法错误的是（　　） A．偶数可以分成正偶数、负偶数和零 B．所有分数都可以化成小数 C．在﹣1和+1之间含有无数个有理数 D．正整数和负整数统称为整数 6．最小的整数是（　　） A．1 B．0 C．-1 D．不存在 7．-2不是（　　） A．有理数 B．自然数 C．整数 D．负数 8．冬季某天我国三个城市的最高气温分别是-10℃，1℃，-7℃，把它们从高到低排列正确的是（　　） A．-10℃，-7℃，1℃ B．-7℃，-10℃，1℃ C．1℃，-7℃，-10℃ D．1℃，-10℃，-7℃ 二、填空题 9．已知下列8个数：—3.14， 24， +17， —0.01， 0，—12，其中整数有 　 　，负分数有　 　， 非负数有　 　 . 10．有理数中，最大的负整数是　 　 ． 11．在有理数﹣4.2，6，0，﹣11，-中，分数有 　 　 12．从正有理数集合中去掉正分数集合，得到　 　 集合． 13．　 　 和　 　 统称为有理数，在有理数中，　　 　 　既不是正数也不是负数． 14．把下列各数分别填在相应的横线上： 1，-0.20，，325，-789，0，-23.13，0.618，-2014，π，0.1010010001…． 正数有：　 　 ； 分数有：　 　 ； 负数有：　 　 ； 正整数有：　 　 ； 非正数有：　 　 ； 负整数有：　 　 ； 非负数有：　 　； 负分数有：　 　 ； 非负整数有：　 　． 三、解答题 15．如果两个有理数a，b，同时满足下列两个条件：（1）a+b=﹣ab；（2）a、b同号，就称a，b互为“同伴数”．请问﹣有“同伴数”吗？为什么？ 16．我们用字母a表示一个有理数，试判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． （1）a一定表示正数，﹣a一定表示负数； （2）如果a是零，那么﹣a就是负数； （3）若﹣a是正数，则a一定为非正数． 17．把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2016﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2016}就是一个黄金集合， （1）集合{2016}　 　 黄金集合，集合{﹣1，2017}　 　 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”） （2）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由 （3）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200，则该集合共有几个元素？说明你的理由． 18．有一次同学聚会，他们的座位号是：小王的座位号与下列一组数中的负数的个数相等，小李的座位号与下列一组数中的正整数的个数相等 6，，0，−200，，−5.22，−0.01，+67，，−10，300，−24． （1）试问小王、小李坐的各是第几号位置？ （2）若这次同学聚会的人数是小王的座位号的2倍与小李的座位号的4倍的和，请问这次聚会到了多少同学？ 参考答案 1．B 2．B 3．D 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C 9．24，+17，0，-12；-3.14， ，-0.01；24，+17， ，0 10．-1 11．﹣4.2，-​​ 12．正整数　 13．整数　；分数　；0 14．正数有：1，，325，0.618，π，0.1010010001…；分数有：-0.20，，-23.13，0.618；负数有：-0.20，- 789，-23.13，-2014；正整数有：1，325；非正数有：-0.20，-789，0，-23.13，-2014；负整数有：-789，- 2014；非负数有：1，，325，0，0.618，π，0.1010010001…；负分数有： -0.20，-23.13；非负整数有：1，325，0 15．解：﹣没有“同伴数”，理由如下： 设a=﹣， ﹣+b=b． 解得b=1， a、b不同号， ∴﹣没有“同伴数”． 16．（1）错误，a=﹣3，﹣a=3； （2）错误．a=0，﹣a=0； （3）错误．非正数包括零和负数． 17．（1）不是；是 （2）一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是﹣2000． ∵2016﹣a中a的值越大，则2016﹣a的值越小， ∴一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则最小的元素为：2016﹣4016=﹣2000． （3）该集合共有24个元素． 理由：∵在黄金集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2016﹣a， ∴黄金集合中的元素一定是偶数个． ∵黄金集合中的每一对对应元素的和为：a+2016﹣a=2016，2016×12=24192，2016×13=26208， 又∵一个黄金集合所有元素之和为整数M，且24190＜M＜24200， ∴这个黄金集合中的元素个数为：12×2=24（个）． 18．（1）小王的座位号是6，小李的座位号是2 （2）20人 学科网（北京）股份有限公司 $$