精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，满分120分． 3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的判定，根据最简二次根式的要求：被开方数不含能开得尽方的因数；被开方数不含分母，由这两条逐项判定即可得到答案，熟记最简二次根式的要求是解决问题的关键． 【详解】解：A、，故不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、中被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案． 【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为： ． 故选：D． 3. 如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得，进而由点是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故选B． 4. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据一次函数的图象，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，随的增大而减小，当时，， ∴当时，的取值范围是； 故选D． 5. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查比较方差的大小，根据折线图，得到乙选手的成绩波动较小，即可得出结果． 【详解】解：∵方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图可知乙选手的成绩波动较小， ∴． 故选：C． 6. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 7. 如图（1）在矩形中，动点P从点C出发，沿路线C→D→A作匀速运动，图（2）是此运动过程中，的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象的一部分，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由图（2）可知，当时，点P由点C到达点D，此时的面积S取最大值，根据面积公式即可求出的长． 【详解】解：由图（2）可知，当时，点P由点C到达点D，的面积S取最大值6， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是利用函数图象得到当时，的面积S取最大值6． 8. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故选：B． 9. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等待，当线段最短时，，判定出是等腰直角三角形，得出，作于点H，根据等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边中线的性质，得出，进而得出，即点B的横坐标，然后把点B的横坐标代入，即可得出点B的坐标． 【详解】解：当线段最短时，， 在中，当时，；当时，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 作于点H，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即点B的横坐标为， 把点B的横坐标代入，可得：， ∴． 故选：A． 10. 如图，在正方形中，，F是对角线，的交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（ ） A. 仅①②③ B. 仅①②④ C. 仅②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先证可得，然后说明可判断①；当G，E为中点时，四边形为正方形，可判断②；先说明当最小时，最小，时，最小为4，然后运用勾股定理求得的最小值；根据全等三角形的性质可得，即，据此即可判定④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴为等腰直角三角形， 又∵F为斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形．故①正确， 当G，E为中点时，四边形为正方形，故②正确； ∵为等腰直角三角形， ∴当最小时，最小， 当时，最小为， ∴最小值为，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积保持不变， 故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握全等三角形及正方形的性质是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列出方程，解方程求出a，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则， ， 故答案为：． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 13. 一组数据，，，，中（,为整数），唯一众数是，平均数是，这组数据的中位数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平均数的定义可以先求出，再根据众数的定义可得不能是，不能是，进而根据中位数的定义求出这组数的中位数即可． 【详解】解：依题意， ∴， ∵唯一众数是，则不能是，且， 则不能是， 设，则，， ∴这组数据从小到大排列为，，，，， 则中位数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键． 14. 已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，完全平方公式的变形运用，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 根据一次函数的性质可得，根据勾股定理可得，，根据完全平方公式的变形运算即可求解． 【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上， ∴，即， ∴， ∵是直角的三边，为斜边， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得，（负值舍去）， 故答案为： ． 15. 如图，在四边形中，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据菱形性质得到，，连接，交于点，结合直角三角形性质得到，结合勾股定理和菱形性质得到，，再利用等腰三角形的性质分类讨论，并结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：菱形中，，为菱形的对角线， ，， 连接，交于点， ， ， ， ， ， 为等腰三角形时， ①当时，即点与点重合， ， ②当时，， ③当时， ， ， ， ， ， ， 即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 综上所述，的长为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了菱形性质，勾股定理，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____． 【答案】（）n﹣1 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°，分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积，总结规律解答． 【详解】∵直线l为正比例函数y=x的图象， ∴∠D1OA1=45°， ∴D1A1=OA1=1， ∴正方形A1B1C1D1的面积=1=（）1﹣1， 由勾股定理得，OD1=，D1A2=， ∴A2B2=A2O=， ∴正方形A2B2C2D2的面积==（）2﹣1， 同理，A3D3=OA3=， ∴正方形A3B3C3D3的面积==（）3﹣1， … 由规律可知，正方形AnBnCnDn的面积=（）n﹣1， 故答案为（）n﹣1． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°，正确找出规律是解题的关键． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂的计算，平方差与完全平方公式的运算，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序为解题关键． （1）先计算二次根式的乘法，零指数幂以及负整数指数幂，再算加减法即可； （2）运算平方差以及完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）观察图象，不等式组的解集是_______． 【答案】（1）， （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）先求解，设，再结合的面积为6，建立方程求解即可； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ， ， 即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：当，则， ∴， 设，且的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴或； 【小问3详解】 解：由图象可得不等式组的解集为：． 20. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）_____，_______； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有_______人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）6，5 （2） 补全条形图如下： （3）275 （4）从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均个数是5.8；从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上个数不少于6个；从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5个的人数最多 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用，求中位数和众数，利用样本估计总体，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）根据中位数和众数的确定方法进行计算即可； （2）根据（1）中求出的人数，补全条形图即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）根据平均数、中位数、众数的意义，进行作答即可． 【小问1详解】 解：作4个人数为：； 作8个的人数为：； 将数据排序后，第20个和第21个数据均为6， ∴； 作5个的人数最多， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）； 故答案为： 【小问4详解】 略 21. 如图，在平行四边形中，线段的垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交的延长线于点F，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵，，， ∴平行四边形为菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据平行四边形的判定和菱形的判定可推得四边形为菱形； （2）根据勾股定理求得，根据菱形的性质即可求得四边形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形中，， ∴， ∴， 在中，， 故菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 22. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求的度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】（1） （2）这辆车不能被摄像头监控到，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算． （1）连接，易得，由勾股定理求出的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于，由（1）易得是等腰直角三角形，即，再由勾股定理求出，再根据车到点距离得出车到点A距离，对比车到点A距离和的长度即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点作，交的延长线于， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点距离为，， ∴车到点距离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 23. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A地到达B地的行驶时间； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程． 【答案】（1）2.5小时；（2）y=﹣100x+550；（3）175千米 【解析】 【分析】（1）根据题意列算式即可得到结论； （2）根据题意列方程组即可得到结论； （3）根据题意列算式即可得到结论． 【详解】解：（1）300÷（180÷1.5）=2.5（小时）． 答：甲车从A地到达B地的行驶时间是2.5小时； （2）设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y=kx+b， ∴， 解得：， ∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y=﹣100x+550（2.5≤x≤5.5）； （3）300÷[（300﹣180）÷1.5]=3.75小时， 当x=3.75时，y=175千米． 答：乙车到达A地时甲车距A地的路程是175千米． 【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一次函数与行程问题，解题的关键是正确读懂函数图象． 24. 【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 （1）博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析； （2）①矩形还是正方形，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形性质与判定是解题关键． （1）利用正方形性质得出，，证明，得出，由正方形判定定理解答即可； （2）①过点作，，垂足分别为，利用（1）中方法解答即可； ②求出，过点作于点，由勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 解： 四边形是正方形， ，平分， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形； 【小问2详解】 ①矩形还是正方形，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为， ， 四边形是正方形， ，平分， ，， ， ， ， 矩形是正方形． ②四边形是正方形， ， ， ， 过点作于点，则是等腰直角三角形 ， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯达斡尔族区2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，满分120分． 3．使用答题卡的考生，请将答案填写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A. 2 B. 4 C. D. 3. 如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　） A B. C. D. 4. 一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上点处，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图（1）在矩形中，动点P从点C出发，沿路线C→D→A作匀速运动，图（2）是此运动过程中，的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象的一部分，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 12 8. 已知，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 9. 如图，点A的坐标为，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线上运动．当线段最短时，点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，F是对角线，交点，G，E分别是，上的动点，且保持，连接，，．在此运动变化的过程中，有下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形可能为正方形；③长度的最小值为；④四边形的面积保持不变．其中正确的是（ ） A. 仅①②③ B. 仅①②④ C. 仅②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 若最简二次根式与能够合并，那么合并后的值为__________． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 13. 一组数据，，，，中（,为整数），唯一众数是，平均数是，这组数据的中位数是________． 14. 已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为______． 15. 如图，在四边形中，，则的长为______． 16. 如图，在菱形中，E为对角线上的一动点，， ，当为等腰三角形时，的长为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x的图象，点A1的坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是_____． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. 计算： （1）； （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，且与正比例函数的图象交于点． （1）求的值及一次函数的表达式； （2）若是轴上一点，且的面积为6，求点的坐标； （3）观察图象，不等式组的解集是_______． 20. 为增强学生体质，某校在八年级男生中试行“每日锻炼，每月测试”的引体向上训练活动．体育组为了解一学期的训练效果，随机抽查了40名男生引体向上项目的某月测试成绩（引体向上个数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如表：根据信息，解答下列问题： 平均数 中位数 众数 5.8 a b （1）_____，_______； （2）补全条形统计图； （3）如果规定男生引体向上6个及6个以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有_______人； （4）从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 21. 如图，在平行四边形中，线段垂直平分线交于点E，交于点O，连接，，过点C作，交的延长线于点F，连接． （1）证明：四边形为菱形； （2）若，求四边形面积． 22. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求的度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 23. 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；乙车匀速前往A地，设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示 （1）求甲车从A地到达B地的行驶时间； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）求乙车到达A地时甲车距A地的路程． 24. 【问题情境】 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形中，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为边作矩形． 【特例探究】 启智小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，当时，点与点重合，此时可以证明矩形是正方形． 【探究发现】 （1）博学小组发现，如图2，当时，点落在边上，此时，过点作于点，于点，通过证明，进而可以证明出矩形是正方形，请你帮助博学小组完成证明． （2）奋发小组受博学小组的启发，进一步深入探究，如图3，当时，点落在的延长线上． ①此时矩形还是正方形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由． ②当，且时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $