精品解析：浙江省温州市乐清市大荆中学2024-2025学年高二下学期6月测试数学试卷

绝密★启用前 大荆中学高二6月数学测试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足为实数，则的实部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用复数的乘法运算以及复数的定义即可. 【详解】设，，则， 由题意可知，所以，即z的实部为. 故选：A． 2. 一正三棱锥侧面三角形的顶角为，则该三棱锥的侧面积与底面积之比为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由正三棱锥侧面三角形的顶角为，可知侧面三角形为等腰直角三角形，进而可得到侧棱长与底面边长的关系，进一步可得答案. 【详解】由正三棱锥知：所有侧棱长相等且底面为等边三角形. 由侧面三角形顶角为，可得侧面三角形为等腰直角三角形， 设侧棱长为，底面边长为，在侧面三角形中，可得， 侧面积为，底面积为， 所以 故选：A 3. 在的正因数中任取1个数，这个数是完全平方数的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分解的质因数确定所有正因数的个数，根据完全平方数的质因数的指数必为偶数计算完全平方数的因数个数，完全平方数的因数个数除以正因数总个数即为概率. 【详解】分解质因数：， 正因数的形式为，其中，，，个数为 . 完全平方数的质因数的指数必为偶数： 可以取： 可以取： 可以取：0 个数为：. 所以概率为. 故选：B. 4. 某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（ ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A. 春季 B. 夏季 C. 秋季 D. 冬季 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知函数模型结合指对数转化计算求解判断即可. 【详解】由题意，，所以，所以，， ， 所以，为冬季， 故选：D． 5. 实数α，β满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用两角和差正弦公式及余弦公式及弦化切得出，再应用二倍角正弦公式及弦化切计算求解. 【详解】因为， 即，则. 故选：C． 6. 向量，，满足，，，．当最小时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，再利用向量数量积的坐标运算得到的值以及的关系式，利用基本不等式求的最小值，即可求出的值，进而求解. 【详解】因为，不妨设，，， 又，，， 则，所以，即， 而， 当且仅当，即时，等号成立． 此时，． 当时，，； 当时，，． 综上所述，. 故选：D． 7. 设为的内心，满足．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在和中，分别用正弦定理表示出，从而得到角的关系即，再根据内心的性质，解出的值，从而得到. 【详解】因为是的内心，设，， 则有，． 在中，由正弦定理得，故． 同理，在中，由正弦定理得，可得． 故，即，整理得， 因为，所以， 从而，故， 故选：A. 8. 如图，正三棱柱中，，，平面截该三棱柱形成截面．若为直角三角形，则不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，，，令，，再分类讨论结合勾股定理求出关于的关系式，进而求出的取值范围即可. 【详解】设，，，， 令，， 则，， 则在直角梯形中， 在直角梯形中， 在直角梯形中， （1）若，则，得， 显然，则，解得， 则； （2）若，则，整理得， 显然，则， 因函数在、上单调递减， 、上单调递增，且，， 故或， 因可得，或，则； （3）若，则，得， 不妨设，则，， 则，得，则， 综上，，只有B选项不在此范围内. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，且满足，另一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过举例可排除AD；分n为奇数、偶数可确定中位数确定B；利用平均值的计算公式可计算确定C. 【详解】对于A，反例：3，4，5，5，8，，， 满足，而，A错误． 对于B，若n为奇数，则；若n为偶数，则，B正确． 对于C，由，C正确． 对于D，反例：1，2，3，4，5，，，满足， ，，，D错误． 故选：BC． 10. 已知抛物线：的焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则（ ） A. 点的轨迹是抛物线的一部分 B. 点的轨迹是直线的一部分 C. 外心的轨迹是直线的一部分 D. 外心的轨迹是抛物线的一部分 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AB：设，建立起与，斜率的关系式，消元得到关于，的方程，即为点的轨迹方程；对于CD：先证明，可得到，由弦切角定理逆定理可知与外接圆相切，再由抛物线的定义可得到外心的轨迹. 【详解】对AB：不妨设，由已知, 设直线的斜率为①，倾斜角为， 切线斜率为，倾斜角为， 由正切和差公式：， ②， 设切线方程为，联立， 得，由得③， 将①③代入②得：， 化简并因式分解有：， 再代入回③，得：，又，则，故B正确，A错误； 对CD：设外心为，由选项B可知在的一条切线上，切点为； 把代入到中， 可得，得，所以； 又，，所以， ，， ， ， ， ， ，， 故，由弦切角定理逆定理可知与外接圆相切， 又，故其外心在为焦点，为准线的抛物线上，故C错误，D正确. 故选：BD 11. 整数列满足，，其中，则（ ） A. 若，则为常数列 B. 的前3项和为3的倍数 C. 若，则为偶数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据推出，又，故，则为常数列；B选项，举出反例；C选项，设为奇数，，根据得到方程，分和两种情况进行求解，再设为偶数，，同理可得，得到答案；D选项，，则，假设，分为奇数和偶数两种情况，均推出矛盾，从而. 【详解】A选项，若，则，则， 又，可推得对任意的n有，则为常数列，A正确； B选项，前3项和为， 取，则不是3的倍数，B错误； C选项，设为奇数，，则，， 若，则，整理得，无解； 若，则，无解，故不为奇数， 设为偶数，，则，， 若，则，整理得， 解得，负值舍去，故符合条件； 若，则，，无解． 综上为偶数，C正确； D选项，，则． 假设，则， 若为奇数，则，，，此时， 所以，即， 若奇数，则，，解得，矛盾； 若为偶数，则，，解得， 所以， 当时，，，矛盾；当时，，矛盾， 于是，不可能成立，即， 若为偶数，，故，无解，舍去．故假设不成立，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合满足，，则中元素个数的和为________． 【答案】13 【解析】 【分析】先求出，再结合利用容斥原理计算即可. 【详解】由题意，，， 则3，5，6均只属于A、B中的一个，一共3个数， 不妨设有x（）个属于A，则有个属于B， A中元素个数为， B中元素个数为， 所以A、B中元素个数的和为； 故答案为：13. 13. 已知椭圆C：的右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】又题设，则，，则，可得到，且等号需成立，即可得到离心率. 【详解】 由题意，． 设，则，．P在椭圆上，则， 故， 即．而，故， 整理得， 所以，，． 由题意，最大值可取到，即等号须成立，否则不存在使得． 故，，C的离心率为. 故答案为：. 14. 已知△ABC的面积为1，D，E为△ABC内部两点，满足A，B，C，D，E中任意三点不共线．记以上述五点中任意三点为顶点构成的三角形面积的最小值为S，则S的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设面积的最小值为，再结合面积公式计算应用不等式的性质及最小值性质计算求解. 【详解】如图，设直线DE交AB于M，交AC于N，记， ，，，，， 则． 不妨设， 于是得到， ，， 所以，， 由此可得， 所以有， 于是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲，乙两家工厂生产同一种产品，该产品在同一工厂生产流程分为相互独立的制造和检测两步：在制造环节，可能会生产出次品；在检测环节，可能会将合格品检测为次品或将次品检测为合格品．现已知甲，乙工厂的次品率分别为，，检测正确（合格品最终检测为合格品，次品最终检测为次品）率分别为，，已知． （1）若，，设一件产品在两家工厂分别经过检测后检测正确的产品数量为X，Y，试比较E（X）和E（Y）的大小关系； （2）为提高产品质量，两家工厂决定将产品检测环节转移至对方工厂进行．以各自合格品经过检测，并经过对方工厂检测后的检测正确率计，若，试判断该方案能否有效提高生产质量． 【答案】（1） （2）若两工厂的次品率均大于（或等于），则该方案对此无帮助； 若两工厂的次品率均小于，则该方案对此有帮助； 若两工厂的次品率一个大于（或等于），一个小于（或等于），则该方案对前者无帮助，对后者有帮助．（两个等号不能同时成立） 证明见详解. 【解析】 【分析】（1）根据题干列出分布列利用公式求出期望即可； （2）先计算两个工厂变化之前的正确率，在计算变化之后的正确率，两者作差讨论即可. 【小问1详解】 由题意得产品数量X，Y的取值为0，1， 甲，乙工厂的次品率分别为，，检测正确率分别为， 故产品数量X的分布列为 ， 产品数量的分布列为 ， ，，，，又 ． 【小问2详解】 交换前检测正确率为 ，， 设甲工厂的合格品经过乙工厂检测后的正确率为，乙工厂的合格品经过甲工厂检测后的正确率为， 则， ， ， ，，， 当时，，； 当时，，； 综上所述：若两工厂的次品率均大于（或等于），则该方案对此无帮助； 若两工厂次品率均小于，则该方案对此有帮助； 若两工厂的次品率一个大于（或等于），一个小于（或等于），则该方案对前者无帮助，对后者有帮助．（两个等号不能同时成立） 16. 已知正整数列的前项和为，满足，． （1）求通项公式； （2）设，求使得成立的最小正整数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对条件等式取对数，利用，计算得到通项公式；（2）结合（1）计算出，根据对分类讨论，计算，进而得到最小正整数； 【小问1详解】 法1： 令，则，所以，显然，． 两边同时取对数，得． 当时，， 两式相减得， 所以， 与条件相加可得，所以， 累加得， 所以．又符合上式，故通项公式为． 法2：取对数得， 直接对累加， 得①，又②， 令，则，所以，显然，． 式①变为， 所以， 即． 【小问2详解】 ， 当，显然， 当，，所以， 当，， 综上，的最小正整数值为2027． 17. 如图，在四面体ABCD中，平面，，的面积为2，设二面角的大小为θ，，且． （1）若是直角三角形，证明：； （2）记的面积为S，若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作于H，设，由题设易得，可得，，进而根据两角和的正切公式化简可得，可得，进而结合是直角三角形得到，可得与重合，，再证明，可得为二面角的平面角，即可得到，进而求证即可； （2）连接DH，先根据题设结合三角形的面积公式可得，进而得到，结合（1）可得，即H与A重合，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 作于H，设， 由， 则，， 所以 ， 又，所以， 由是直角三角形，，则， 故，则，所以与重合，即， 所以，则， 又平面，平面，所以． 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，则， 所以，， 综上可得． 【小问2详解】 连接DH，因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角，则， 由题意，，的面积为S， 则， 而， ， 则， 所以， 则， 由（1）得，所以， 所以， 由（1）知，解得或2， 又，故，即H与A重合． 由（1）可知，平面， 以A为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面ABD的一个法向量， 则，即，取，则， 设平面BCD的一个法向量， 则，即，取，则， 设二面角的大小为， 则， 则， 所以二面角的正弦值为． 18. 已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． （1）若P为C的右焦点，求直线AB的方程； （2）求的取值范围； （3）若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）法1，先求出，设，根据得到，设直线AB：，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，得到直线方程； 法2：定比点差法，变形得到，设，根据得到，故，联立得到相应的方程组的解，分两种情况，得到直线方程； （2）在（1）的基础上，得到，，当，无解，舍去；当，根据求出答案； （3）变形为．T、A、P、B四点共线，则直线，又，故，根据比例关系得到，又由（2）得两根之和，两根之积，代入整理得，解得，与矛盾．故不存在这样的． 【小问1详解】 法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）： 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 因为， 所以，代入，解得， 故直线AB的方程为， （或者直线AB的方程为或）． 法2（定比点差法）： 因为A、B在C上，于是，即， 两式相减得， 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 故， 联立解得，或，． 第一种情况，得； 第二种情况，同理得． 故直线AB的方程为或． 【小问2详解】 设，则，，， ，所以，即， 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 又，故， 故， 当，即时，，无解，舍去； 当，即时，整理得， 解得或． 综上所述，的取值范围是； 【小问3详解】 不存在，理由如下： 假设存在，等价于． 由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线， 则直线，又，故， 从水平方向上看，有，整理得． 从竖直方向上看，有，整理得． 所以， 又由（2）得，， ，， 所以，，代入整理得． 而，所以，整理得， 所以，解得，与矛盾． 故不存在这样的． 19. 已知函数． （1）过曲线上一点作其切线，其斜率为1，求a； （2）若方程的三个不等实根，，成等差数列． （ⅰ）求该数列的公差； （ⅱ）求，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可得，且，联立整理可得，令，再利用导数求的零点即可； （2）（ⅰ）先利用导数求出的大致图象可得，又，取对数得，利用等差数列的性质，，代入和解出即可；（ⅱ）将代入解出，利用和的取值范围即可证明不等式. 【小问1详解】 由可得， 切点为，由题意，且， 所以，解得， 所以，即， 两边同时取对数，得， 令， 则， 令，则， 令，解得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即，在上单调递增， 又， 所以是在上的唯一零点， 故． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意，有3个不等实根， 由（1）可知当，时，单调递减，当时，单调递增， 令，，则， 令，则， 当时，恒成立，即单调递增， 因为，所以恒成立，即单调递增， 又，所以恒成立，即单调递增， 因为且当时单调递增，所以恒成立，即， 所以， 所以当，， 所以，即， 又，且， 取对数得， 设数列的公差为d（），则，， 因为，所以，解得， 又，所以，解得， 令，所以， 整理得，解得（舍负）， 所以，． （ⅱ）由（ⅰ）得， 因为， 又，所以， 即，证毕． 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B. 2 C. D. 3 3. 在的正因数中任取1个数，这个数是完全平方数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某地大气压强p（单位：kPa）与海拔h（单位：m）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，k为常数．已知某季节该地海拔为5000m，8000m两处的大气压强分别为54kPa，36kPa．下表为该地不同季节平均标准大气压强的范围，则此时该地为（ ） 季节 春季 夏季 秋季 冬季 （参考数据：，） A. 春季 B. 夏季 C. 秋季 D. 冬季 5. 实数α，β满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 向量，，满足，，，．当最小时，（ ） A. B. C. D. 7. 设为的内心，满足．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正三棱柱中，，，平面截该三棱柱形成截面．若为直角三角形，则不可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，且满足，另一组数据，，…，方差为，平均数为，中位数为，则一定有（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线：的焦点为，过向第一象限作射线，过点作的切线，切点为，且，则（ ） A. 点的轨迹是抛物线的一部分 B. 点的轨迹是直线的一部分 C. 外心的轨迹是直线的一部分 D. 外心的轨迹是抛物线的一部分 11. 整数列满足，，其中，则（ ） A. 若，则为常数列 B. 的前3项和为3的倍数 C. 若，则为偶数 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合满足，，则中元素个数的和为________． 13. 已知椭圆C：右焦点为F，P为C上一点，∠OPF的最大值为．则C的离心率为________． 14. 已知△ABC的面积为1，D，E为△ABC内部两点，满足A，B，C，D，E中任意三点不共线．记以上述五点中任意三点为顶点构成的三角形面积的最小值为S，则S的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲，乙两家工厂生产同一种产品，该产品在同一工厂生产流程分为相互独立的制造和检测两步：在制造环节，可能会生产出次品；在检测环节，可能会将合格品检测为次品或将次品检测为合格品．现已知甲，乙工厂的次品率分别为，，检测正确（合格品最终检测为合格品，次品最终检测为次品）率分别为，，已知． （1）若，，设一件产品在两家工厂分别经过检测后检测正确的产品数量为X，Y，试比较E（X）和E（Y）的大小关系； （2）为提高产品质量，两家工厂决定将产品检测环节转移至对方工厂进行．以各自合格品经过检测，并经过对方工厂检测后检测正确率计，若，试判断该方案能否有效提高生产质量． 16. 已知正整数列的前项和为，满足，． （1）求通项公式； （2）设，求使得成立的最小正整数． 17. 如图，在四面体ABCD中，平面，，的面积为2，设二面角的大小为θ，，且． （1）若是直角三角形，证明：； （2）记的面积为S，若，求二面角的正弦值． 18. 已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． （1）若P为C的右焦点，求直线AB的方程； （2）求的取值范围； （3）若T在直线AB上，且，否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数． （1）过曲线上一点作其切线，其斜率为1，求a； （2）若方程的三个不等实根，，成等差数列． （ⅰ）求该数列的公差； （ⅱ）求，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$