1.3正方形的性质与判定第1课时（教学课件）数学北师大版九年级上册

北师大版·九年级上册 1.3 正方形的性质与判定 第1课时 第一章 特殊平行四边形 学 习 目 标 1.理解正方形的定义； 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点） 知识回顾 平行四边形 菱形 矩形 对称性 边 角 对角线 中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行，四边都相等 对角相等,邻角互补 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等互相平分 对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 平行四边形、菱形、矩形的性质： 情境引入 上面这些物品都是正方形的。正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 问题1：观察下面的物体，你有什么发现？ 情境引入 问题2：图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 正方形是如何定义的呢？结合我们刚复习的平行四边形、矩形、菱形，大家觉得正方形和它们有什么联系与区别呢？ 1.准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，得到一个四边形. 做一做 矩形 展开 新知探究 探究一：正方形的定义 问题1：折叠后得到的特殊四边形是什么四边形？ 正方形 2.把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状. 菱形 新知探究 问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 正方形 你能总结出正方形的定义吗？ 新知探究 正方形的定义: 知识归纳 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠A=90°， ∴四边形ABCD是正方形. A D C B 新知探究 已知四边形 ABCD 是平行四边形，若要使它成为正方形，则需要增加的条件是（ ）​ A. AB=BC 且∠A=90°​ B. AB=CD 且∠A=90°​ C. AB∥CD 且 AB=BC​ D. AB∥CD 且∠A=90° A D C B A 新知探究 探究二：正方形的性质 正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. （1）正方形是矩形吗？是菱形吗？ （2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流. 议一议 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 请完成这两个定理的证明. 已知：如图，四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等，四个角都是直角. A D C B 新知探究 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形ABCD是平行四边形. ∴正方形ABCD是矩形（矩形的定义）, 正方形ABCD是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 1.求证：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD相交于点O. 求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 新知探究 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 2.求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 新知探究 知识归纳 正方形的性质定理： 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D, AB=BC=CD=AD. 几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD，AC=BD, OA=OB=OC=OD. A B C D O 2.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AD＝AO C．DO＝CO D．∠DAO＝∠BAC 新知探究 B 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.  正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 想一想 A B C D 新知探究 新知探究 正方形的对称性： 知识归纳 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 新知探究 议一议 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流． 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系： 平行四边形 矩形 菱形 正方形 正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 新知探究 平行四边形 正方形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一个角是直角 有一组邻边相等 概念拓展 新知探究 3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　 ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等 A 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. 例1 A B D C F E 典例分析 解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： （1）∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF. ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF. 典例分析 A B D C F E M (2)延长BE交DE于点M(如图), ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90° , ∴∠CDF +∠F =90°. ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. 如图，在正方形ABCD中， △BEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 例2 典例分析 证明：∵ △BEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 巩固练习 基础巩固题 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A.四条边相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角 D.对角线相等 B D 3.如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个便得到正方形． a．两组对边分别相等；b.一组对边平行且相等； c.一组邻边相等；d.有一个角是直角． 顺次添加的条件：①a→c→d；②a→b→c；③b→d→c. 则其中正确的是(　　) A．仅① B．①② C．①③ D．②③ 巩固练习 基础巩固题 C 4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是（　　） A.2cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.8cm2 A A D B C O E 6.在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 . 5．在正方形ABC中,∠ADB= ，∠DAC= ，∠BOC= . A D B C O 巩固练习 基础巩固题 45° 90° 22.5° 45° 7.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 巩固练习 基础巩固题 解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm. ∵EF⊥AC， ∴∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵∠ECF＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∴EF＝FC. ∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴△ABE≌△AFE， ∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF. ∴FC＝BE. 在Rt△ABC中，, ∴FC＝AC－AF＝(－1)cm， ∴BE＝(－1)cm． 8.如图，点E，F是正方形的对角线AC上的两点，AE＝CF＝1，EF＝2，求四边形BEDF的周长． 巩固练习 基础巩固题 解：如图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD为正方形， ∴BD⊥AC， BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC. ∵AE＝CF， ∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF. ∴四边形BEDF为平行四边形． 又∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形． ∴DE＝DF＝BE＝BF. 课堂小结 正方形的性质与判定1 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形的性质 正方形既是矩形也是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质. 对称性：即是轴对称图形(4条对称轴),也是中心对称图形. 性质定理： 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 作业布置 1.必做题：习题1.7第1-3题。 2.探究性作业：习题1.7第4题。 感谢聆听! $$