专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 1 类型一、角的和与差多解问题 1 类型二、单条角平分线问题 2 类型三、双条角平分线问题 4 类型四、多条角平分线问题 6 8 类型一、角的和与差多解问题 口诀：看方向，分锐钝，画两图。 1. 题中给“角α±β”，先判断两角终边在0°~180°内可能的位置：同名相加、异名相减各画一草图。 2. 用“三角形内角和180°”列出等式：α+β=已知角 或 |α−β|=已知角。 3. 若出现两种结果，分别检验是否满足“角大于0°小于180°”，保留合理解并列作答。 例1．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 变式1-1．把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 变式1-2．平面内有公共端点的三条射线，构成的角，则的度数是 ． 变式1-3 从点O出发的三条射线、、，使得，且，则的度数为 ． 类型二、单条角平分线问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 例2．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 变式2-1．已知，平分，，则的度数为 ． 变式2-2．【问题背景】已知，是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含a的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系． 类型三、双条角平分线问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 例3．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 变式3-1．已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 变式3-2 已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ． 变式3-3如图，在一个平面内有四条射线，射线平分，射线平分．                                     备用图1                  备用图2 (1)当时，求与的度数； (2)如备用图1，求的度数； (3)如备用图2，确定与之间的数量关系，并说明理由． 类型四、多条角平分线问题 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 例4 如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 变式4-1 阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边所组成的两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 变式4-2 已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 一、单选题 1．如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 二、填空题 4．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 5．已知，，则的度数为 ． 6．如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 7．如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 三、解答题 8．如图，已知，画射线，试求． 9．按要求完成下列问题： (1)如图，已知平面上三点A，B，C； （ⅰ）画直线、线段、射线； （ⅱ）用圆规在射线BC上截取线段，则有线段 （填“”、“”或“”）； （ⅲ）若，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． (2)（ⅰ）如图、，已知，，用尺规作图在图上比较它们的大小； （ⅱ）在图中，若，，且是的角平分线，请直接写出的度数． 10．根据以下素材，探索完成任务． “数”说时钟 素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间． 素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为． 素材3 作息时间表 第一节 第五节 第二节 第六节 大课间 眼保健操 第三节 第七节 眼保健操 体育活动 第四节 课后服务 解决问题 任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数． 任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？ 任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示） 11．【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 12．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 13．如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 14．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 1 类型一、角的和与差多解问题 1 类型二、单条角平分线问题 5 类型三、双条角平分线问题 9 类型四、多条角平分线问题 15 21 类型一、角的和与差多解问题 口诀：看方向，分锐钝，画两图。 1. 题中给“角α±β”，先判断两角终边在0°~180°内可能的位置：同名相加、异名相减各画一草图。 2. 用“三角形内角和180°”列出等式：α+β=已知角 或 |α−β|=已知角。 3. 若出现两种结果，分别检验是否满足“角大于0°小于180°”，保留合理解并列作答。 例1．如图，点O在直线上，过O作射线，一块三角板的直角顶点与点O重合，边在射线上，边在直线的下方．若三角板绕点O按每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为（　　） A．5 B．6 C．5或23 D．6或24 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角平分线的定义，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由与互补，可求出的度数，结合角平分线的定义，可得出与的度数，由与互余，结合对顶角相等，可求出的度数，根据“在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角”，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 如图，平分，当旋转到直线上时，满足题意， ∴． ∵，， ∴． 根据题意得：或， 解得：或， ∴t的值为6或24． 故选：D． 变式1-1．把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【详解】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 变式1-2．平面内有公共端点的三条射线，构成的角，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要查角的和与差．分两种情况讨论：射线在的内部时，射线在的外部时，即可求解． 【详解】解：射线在的内部时， ∵， ∴； 射线在的外部时， ∵， ∴． ∴的度数为或． 故答案为：或 变式1-3 从点O出发的三条射线、、，使得，且，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】此题考查角的和差倍分，根据射线的位置不明确，所以本题难点在于要分两种情况讨论；因为两角的位置关系不明确，所以分射线在的内部和外部两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴． 如图，当在的内部时， ∴； 如图，当在的外部时， ∴． 故的度数为或或． 故答案为：或或 类型二、单条角平分线问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 例2．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）画出符合的两种图形，再根据平角等于，列方程求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：30； （2）解：平分， ， ， ，， ， 所在射线是的平分线； （3）解：设，则， 有两种情况：①如图1，在内部时， ，，， ， 解得， 即． ； ②如图2，在的内部时，如图2， ，，，，， ， 解得：， 即， ， ， 的度数为或． 变式2-1．已知，平分，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算，先由角平分线的定义得出，再分两种情况：如答图①，当在的同侧时，如答图②，当在的异侧时，分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵，平分， ∴． 分两种情况：如答图①，当在的同侧时， ， 此时； 如答图②，当在的异侧时， ， 此时． 综上，的度数为或， 故答案为：或． 变式2-2．【问题背景】已知，是直线上的一点，，平分． 【问题再现】（1）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数； 【问题推广】（2）如图1，射线，均在直线上方，若，求的度数；（用含a的式子表示） 【拓展提升】（3）如图2，射线在直线上方，射线在直线下方，探究和的之间的关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了角平分线的计算以及角的和差，熟练掌握以上知识，学会用类比的方法解决问题是解题的关键． （1）先根据平角的定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据即可求出的度数； （2）先根据平角的定义将用含有的式子表示出来，再根据角平分线的定义将用含有的式子表示出来，再根据即可将用含有的式子表示出来； （3）先根据平角的定义得出与的关系，再根据角平分线的定义得出与的关系，再根据即可得出与的关系． 【详解】解：（1）且， ． 平分， ， ； （2），且， ． 平分， ， ； （3），理由如下： ， ． 平分， ， ． 类型三、双条角平分线问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 例3．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 变式3-1．已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 变式3-2 已知射线是的三等分线，射线为的平分线，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的三等分线、角平分线以及平面图形中角的运算，解题的关键是掌握角的三等分线有两条．根据三等分线的定义可得或，画出图形，进行分类讨论即可． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴或， 当时，如下图， ∵，， ∴， ∵射线为的平分线， ∴， ∴； 当时，如下图， ∵，， ∴， ∵射线为的平分线， ∴， ∴， 综上所述， 或． 故答案为：或． 变式3-3如图，在一个平面内有四条射线，射线平分，射线平分．                                     备用图1                  备用图2 (1)当时，求与的度数； (2)如备用图1，求的度数； (3)如备用图2，确定与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查的是角的和差运算及角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）设，，求解，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得，，，表示，求解，可得 ，结合角平分线再进一步求解即可； （3）由（1）得，，，可得 ；表示，表示，，结合平分，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由（1）得，，， ∵， ∴ ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴． 类型四、多条角平分线问题 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 例4 如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 变式4-1 阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边所组成的两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)是三等分线，理由见解析 (3) 【分析】（）根据“外邻余线”的定义得，进而得，即可求解； （）根据“外邻余线”及余角性质得，进而可得，得到 ，即可求解； （）由平角定义得，进而由角平分线的定义得，，再根据“外邻余线”的定义得，即得，即可求解； 本题考查了余角的定义及性质，角平分线的定义，角的三等分线，掌握余角的定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：因为是的“外邻余线”， 即与互余， 所以， 即， 因为， 所以， 所以； （2）解：是三等分线，理由如下： 因为是的“外邻余线”， 即与互余， 所以， 又因为， 所以， 所以； 因为是的“外邻余线”， 即与互余， 所以， 所以， 所以， 所以． 所以， 所以是的三等分线； （3）解：因为点在同一条直线上，， 所以， 所以． 因为平分， 所以， 因为平分， 所以， 因为是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， 即与互余，与互余， 所以， 所以． 即， 又因为， 所以， 所以， 所以． 变式4-2 已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 一、单选题 1．如图，是平角，，分别是的平分线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】几何图形中角度计算问题、角的概念理解、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的性质，求一个角度数可以看成两个或者多个角度的和求解是解题的关键 ．、分别是、的平分线，结合，可得，再由平角的定义即可求得的度数． 【详解】解：、分别是、的平分线，，, , , ． 故选：B． 2．如图，C为直线上一点，平分，平分，平分．有下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角和补角，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据角平分的定义，互为余角、互为补角的定义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：与互补；故②正确； ∵， ∴，故③错误； ∵，故④正确； 综上：正确的有3个； 故选C． 3．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 二、填空题 4．如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 5．已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算．通过分析，可知有两种情况：①在左边；②在右边，画图后分别计算即可． 【详解】解：①在左边，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②在右边，如图， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：或． 6．如图，已知，平分，且，则的度数为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的和差计算，正确运用角平分线推理论证进行角度的和差计算是解题的关键．根据角平分线的定义求出的度数，根据可求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵，平分，且， ∴，， ∴， 故答案为：20． 7．如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 8．如图，已知，画射线，试求． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，垂线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先进行分类讨论以及作图，根据垂线的定义，得出，再运用数形结合思想以及角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：当在的上方时， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴； 当在的下方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 综上：的度数为或． 9．按要求完成下列问题： (1)如图，已知平面上三点A，B，C； （ⅰ）画直线、线段、射线； （ⅱ）用圆规在射线BC上截取线段，则有线段 （填“”、“”或“”）； （ⅲ）若，点E、F分别是线段、的中点，求线段的长． (2)（ⅰ）如图、，已知，，用尺规作图在图上比较它们的大小； （ⅱ）在图中，若，，且是的角平分线，请直接写出的度数． 【答案】(1)（ⅰ）见解析；（ii）见解析，；（iii）； (2)（i）见解析；（ii）或． 【分析】本题考查作图一基本作图，直线，射线，线段，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （ⅰ）根据，直线，射线，线段的定义画出图形； （ii）根据图形判断大小即可； （iii）利用线段中点的定义求解即可； （2）（ⅰ）在图中，利用作图法比较大小； （ii）分两种情形作出图形求解． 【详解】（1）解：（ⅰ）如图所示， （ⅱ）如图所示， ，， ； 故答案为：； （ⅲ） ， ， 点E、F分别是线段、的中点， ，， ； （2）解：（ⅰ）如图所示， 　　　　　　图 （ii）如图所示， 是的角平分线， ， 当在内部时， ， 当在外部时， ， 综上所述，的度数为或． 10．根据以下素材，探索完成任务． “数”说时钟 素材1 时钟在我们日常生活中时常可见．时钟表盘中的数字是均匀分布的，其中分针60分钟转动，时针60分钟转动．因此，分针转速为每分钟转6度，时针转速为每分钟转0.5度．定义：钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如右图所示，即为某一时刻的钟面角，我们规定的度数在至之间． 素材2 当时钟显示时，钟面角为多少度呢？要解决这个问题，可以先考虑时，钟面角为，时针经过10分钟转了，分针经过10分钟转了，因此时，钟面角为． 素材3 作息时间表 第一节 第五节 第二节 第六节 大课间 眼保健操 第三节 第七节 眼保健操 体育活动 第四节 课后服务 解决问题 任务1 （1）求作息时间表中第三节课后开始做眼保健操时（即）钟面角的度数． 任务2 （2）根据素材3中作息时间表的安排，在第五节课（）时间段内，请问：上课铃声（即）响后几分钟时恰好存在钟面角为的情况？ 任务3 （3）记钟面上刻度为3的点为，在作息时间表的第六节课时间段内，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，请直接写出此时对应的时刻．（结果用“几时几分”的形式表示） 【答案】（1） （2）分钟或分钟 （3）时分或时分 【分析】本题主要考查了钟面角，一元一次方程的应用（几何问题），角平分线的有关计算等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． （1）依题意直接列式可得，计算可得答案； （2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，分两种情形构建方程求解即可； （3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（），然后分三种情况讨论：①当为和所成角的平分线时；②当为和所成角的平分线时；③当为和所成角的平分线时；分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）时钟面角的度数为： ； （2）设上课铃声响后经过分钟时恰好存在钟面角为的情况，则： ， 解得：， （分）； 或， 解得：， （分）； 答：上课铃声响后经过分钟或分钟时恰好存在钟面角为的情况； （3）令时针所在射线为，分针所在射线为，设此时对应的时刻是时分（）， 分三种情况讨论： ①当为和所成角的平分线时， ， 解得：（不符合题意，故舍去）； ②当为和所成角的平分线时， ， 解得：； ③当为和所成角的平分线时， ， 解得：； 综上，当钟面角的两边，所在射线与射线中恰有一条射线是另两条射线所成角的平分线时，此时对应的时刻为时分或时分． 11．【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致； （2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可； （3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 平分， ， ， ， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ， ； （3）解：①当在外时，如图1， 设， 由（1）知； ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在内时，如图2， 由（2）可知， ， ，， ． 综上，的度数为或． 12．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 13．如图，已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线． (1)若平分，求的度数． (2)小明说：“不论射线在的内部哪个位置，的度数始终保持不变．”你认为小明的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，理由见解析 【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差． （1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案； （2）正确，按照（1）的思路计算即可． 【详解】（1）∵，平分， ∴， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴， ， ∴； （2）小明是说法正确， ∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线， ∴，， ∴． 14．已知直线与相交于点O，且平分． (1)如图1，若平分，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的平分线的计算； （1）根据平角的定义，角的平分线的意义计算即可； （2）设，则，，， 整体代入计算即可． 熟练掌握角的倍分关系，角的和等是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ， ∵， ∴． （2）解：∵，， 设， 则，，即， ∴， ∴， 解得：， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$