专题09 角的动态问题（压轴题专项训练）数学湘教版2024七年级上册

专题09 角的动态问题 目录 1 类型一、几何图形中动角求定值问题 1 类型二、几何图形中动角探究数量关系问题 9 类型三、几何图形中动角求运动时间问题 17 类型四、几何图形中动角之新定义型问题 25 36 类型一、几何图形中动角求定值问题 口诀：动中取静，先标定角。 1. 画图形，把动角顶点、两边起点标出，设旋转角θ。 2. 找出与θ始终共角的定角（如顶角、对顶角），用“三角形内角和”或“外角定理”列式。 3. 化简后θ必与定角成固定差或和，即得所求定值。 例1．如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 变式1-1．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 变式1-2．已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 变式1-3 已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 类型二、几何图形中动角探究数量关系问题 口诀：设角参，定关系，三步得。 1. 设动角为α，用平行、对顶、三角形内角和把其余角全用α表示。 2. 按题意列“和、差、倍、比”式，如α+β=90°或2α=β+γ。 3. 化简后只剩α与已知数，解出α或消去α得定值，回图检验。 例2．如图，，是一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点O重叠，边和边重合，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，边和边重合，三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板绕点O逆时针旋转α，即，且．请根据条件完成探究： ①探究三角板旋转过程中，的大小是否改变？若有改变，请直接用含α的式子表示；若没有改变，请直接写出定值的度数； ②在三角板旋转过程中，是否存在α使得？若存在，请求出α的值，若不存在，请说明理由． 变式2-1．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 变式2-2．问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 猜想： （1）若，则______． 计算说明： （2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． 问题解决： （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 类型三、几何图形中动角求运动时间问题 口诀：角动化线，定速度，三步求时。 1. 把动角看成一条射线绕顶点匀速旋转，设角速度ω°/s，则t秒后转ωt°。 2. 用平行、三角形内角和把目标角写成ωt与已知角的和差式。 3. 列ωt=目标角，解t=目标角/ω，秒为单位，再检验范围即可。 例3．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式3-1．【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 变式3-2 在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 变式3-3数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 类型四、几何图形中动角之新定义型问题 技巧口诀：拆定义→定顶点→列角式。 1. 把新定义中的“动角”翻译成旋转射线，标出旋转中心O与始边、终边。 2. 设旋转角速度为k°/s，t秒后角大小=kt；按定义写出与已知角的数量关系。 3. 用三角形或平行线内角和列方程，解t后回代，检验t≥0且角度在0°~180°内。 例4 请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线在的内部，且，则称是的“内半角”．请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，．若是的“内半角”，则 ． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，即，其中．若是的“内半角”，求α与β的数量关系． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线构成“内半角”时，请直接写出t的值． 变式4-1 定义：若两个共顶点的角满足：一个角的大小为另一个角的5倍，则称这对角互为“和合角”．如图所示，已知直角三角板和直角三角板，，．将两块三角板摆放在一起，且点重合，，为的角平分线．请回答以下问题： (1)如图1，点A和点E重合时． ①求的度数； ②图中是否存在“和合角”？若有，请直接写出，若没有，请说明理由． (2)如图2，固定三角板的位置，将三角板绕着点按每秒3度的速度逆时针旋转一周，假设旋转的时间为．在整个过程中，是否存在某个时刻，使得和互为“和合角”？请求出对应的时刻． 变式4-2 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． (3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． 变式4-3 已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． (1)、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； (3)如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； (4) 在（2）的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 一、填空题 1．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数）， ． 2．某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 二、解答题 3．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 4．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 5．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 6．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 7．如图1，在同一条直线上依次有A，O，B三点，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，其中，． (1)将三角板绕点O旋转到图2的位置，在的内部，，有怎样的数量关系？请写出来，并说明理由； (2)若将三角板绕点O转动，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．若，求的度数； (3)若将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，射线，，中的一条射线，是否可以成为另两条射线组成的夹角的平分线？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 8．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 9．如图，将一副三角尺的两个角的顶点重叠在处，其中，，两条直角边落在直线上．将三角尺从图1的位置绕点以度/秒的速度顺时针旋转t秒．在旋转过程中，若为的角平分线，为的角平分线． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，三角尺旋转过程中，若，当时，求t的值． (3)三角尺旋转过程中，当 秒时，． 10．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 11．点为直线上一点，作射线，一个直角三角板的直角顶点与点重合． (1)如图1，点在射线上，，求的大小； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，使得平分，试说明平分； (3)若（大于0而小于90），则再将直角三角板绕点逆时针转动，当时，直接写出的大小（用的代数式表示） 12．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由． (2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值． ②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 13．已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数． (3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 14．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且． ①当旋转到图3的位置，若，求的度数； ②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 角的动态问题 目录 1 类型一、几何图形中动角求定值问题 1 类型二、几何图形中动角探究数量关系问题 9 类型三、几何图形中动角求运动时间问题 17 类型四、几何图形中动角之新定义型问题 25 36 类型一、几何图形中动角求定值问题 口诀：动中取静，先标定角。 1. 画图形，把动角顶点、两边起点标出，设旋转角θ。 2. 找出与θ始终共角的定角（如顶角、对顶角），用“三角形内角和”或“外角定理”列式。 3. 化简后θ必与定角成固定差或和，即得所求定值。 例1．如图1，点为直线上一点，将两个含角的三角板和三角板如图摆放，使三角板的一条直角边、在直线上，其中． (1)将图1中的三角板绕点按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边在的内部且平分，，求实数的值； (2)三角板在绕点按逆时针方向旋转时，若在的内部．与大小的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请说明理由； (3)如图3，将图1中的三角板绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板绕点以每秒的速度按逆时针方向旋转，将射线绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线记为，射线平分，射线平分，当射线、重合时，射线改为绕点以原速按顺时针方向旋转，在、第二次相遇前，当时，求旋转时间的值． 【答案】(1) (2)与的差是定值，该定值为 (3)或或或69 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，则，再求出的度数即可得到答案； （2）分在上方和在下方两种情况画出对应的示意图，讨论求解即可； （3）先求出旋转前与的夹角，然后再求出与第一次和第二次相遇所需要的时间，再设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t，再分在的左侧和在的右侧两种情况解答即可． 【详解】（1）解： 平分， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解；如图所示，当在上方时， ∵，， ∴； 如图所示，当在下方时， ∵，， ∴； 综上所述，与的差是定值，该定值为； （3）解：射线平分，射线平分， ，， 旋转前与的夹角为， 与第一次相遇的时间为秒，此时旋转的角度为， 此时OC与OE的夹角为， 与第二次相遇的时间为（秒）， 设在与第二次相遇前，当时，需要旋转时间为t， ①当相遇前，解得，； ②当第一次相遇后，解得，； ③当第一次相遇后，相遇前，解得； ④当第一次相遇后，相遇后，解得，； 在与第二次相遇前，当时，旋转时间t为或或或69. 【点睛】本题考查了角的运算，角的旋转，角的平分线，余角和补角等知识，掌握角的平分线、余角、补角等概念合理运用“等量代换”及旋转时会出现多种情况运用，清楚“旋转前后的图形是完全相等的，各边旋转角度相同，”是解题关键． 变式1-1．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 变式1-2．已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 变式1-3 已知一副直角三角尺和，，，，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点在边上，则 ； (2)将直角三角尺从图1位置绕点逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点任意转动（均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不发生变化，始终等于，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． （1）根据即可得出答案； （2）根据角平分线性质得，再根据可得出答案； （3）先求出，再根据角平分线定义得，由此可得得度数． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，恰好平分， ∴， ∴； （3）解：的度数不发生变化，始终等于，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 类型二、几何图形中动角探究数量关系问题 口诀：设角参，定关系，三步得。 1. 设动角为α，用平行、对顶、三角形内角和把其余角全用α表示。 2. 按题意列“和、差、倍、比”式，如α+β=90°或2α=β+γ。 3. 化简后只剩α与已知数，解出α或消去α得定值，回图检验。 例2．如图，，是一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点O重叠，边和边重合，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，边和边重合，三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板绕点O逆时针旋转α，即，且．请根据条件完成探究： ①探究三角板旋转过程中，的大小是否改变？若有改变，请直接用含α的式子表示；若没有改变，请直接写出定值的度数； ②在三角板旋转过程中，是否存在α使得？若存在，请求出α的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①为定值，且；②存在，， 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用； （1）利用角平分线的含义与角的和差运算计算即可； （2）①分当时，如图所示：表示，，可得；当时，如图所示， 表示，，可得，当时，如图所示：表示，，结合； ②分当时，当时，当时，再分别表示，再利用解方程即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）解：①为定值，且；理由如下： 当时，如图所示： ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 当时，如图所示：此时， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， 当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴； 综上：为定值，且； ②存在；当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ，， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示：此时， ∵平分，平分， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 此时，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ， ∵， ∴， 解得：（不符合题意舍去）； 综上分析可知，，． 变式2-1．【问题情境】O为直线上一点，过点O在直线上方任意作射线，一直角三角板的直角顶点放在点O处，且三角板可以围绕点O旋转． 【操作探究】如图1，将三角板的一边与射线重合时． （1）若，______°； （2）若，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转一定角度，如图2，当恰好是的平分线时，求旋转角是多少度； 【归纳总结】设，在旋转的过程中当边恰好是的平分线时，通过观察和测量猜想和有怎样的数量关系，试着说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求出，即可得出结论； （2）由角平分线的定义可得，再根据，从而可求解； （3）用分别求出和，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为； （2）因为恰好是的平分线，， 所以， 因为 所以； 所以旋转角是50度； （3） 理由：因为恰好是的平分线 因为， 所以． 因为， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解题的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 变式2-2．问题情境：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点不超过点，点不超过点），点和点分别是的中点． 猜想： （1）若，则______． 计算说明： （2）线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由． 问题解决： （3）我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______． ②请你直接写出和三个角之间的数量关系． 【答案】（1）16 （2）不变， （3）①90 ② 【分析】（1）先求出，再根据线段中点定义得，，然后根据即可得出答案； （2）先求出，再根据线段中点定义得，则，然后根据即可得出答案； （3）①先求出，再根据角平分线定义得，，则，然后根据即可得出答案； ②先根据角平分线定义设，，则，，进而得，，据此即可得出，和之间的数量关系． 【详解】解：（1），，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ； 故答案为：16； （2）线段运动时，线段的长度不发生变化，始终为，理由如下： ，， ， 点和点分别是，的中点， ， ， ； （3）①，， ， 射线和射线分别平分和， ，， ， ， 故答案为：90； ②，和之间的关系是：，理由如下： 射线和射线分别平分和， 设，， ，， ， 又， ， ， ， 即． 【点睛】此题主要考查了两点间的距离，角的计算，准确识图，理解线段中点的定义，角平分线的定义，熟练掌握线段的计算，角的计算是解决问题的关键． 类型三、几何图形中动角求运动时间问题 口诀：角动化线，定速度，三步求时。 1. 把动角看成一条射线绕顶点匀速旋转，设角速度ω°/s，则t秒后转ωt°。 2. 用平行、三角形内角和把目标角写成ωt与已知角的和差式。 3. 列ωt=目标角，解t=目标角/ω，秒为单位，再检验范围即可。 例3．一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①；②存在，或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． （1）根据三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，进行计算； （2）①由旋转知，，由角平分线的定义可得，再由列方程求解； ②分两种情况，当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算可得到答案． 【详解】（1）当时，绕点P顺时针旋转了， 又， 边经过的量角器刻度线对应的度数为． （2）①如图1所示： 由旋转知，， 平分，， ， 又， ， ， 解得， 当时，边平分． ②当或时，，理由如下： 由旋转知，， 当在左侧时，如图2， ， ， ， 若，则， 解得． 当在右侧时，如图3， ， ， ， 若，则， 解得． 综上可知，当或时，． 变式3-1．【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3）存在，或 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的有关计算，一元一次方程，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用角平分线的概念即可解答； （2）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （3）分两种情况，即重合前或重合后，两种情况，逐一解答即可． 【详解】解：（1）、分别是三角板和三角板的角平分线， ， ， 故答案为：； （2）①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或； （3）存在， ， 解得， 当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转， ， 当重合前， 可得， 解得； 当重合前， 可得， 解得； 综上，存在点使，或． 变式3-2 在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 变式3-3数学活动课上，老师带领学习小组利用一副直角三角尺进行“玩转尺”的探究活动． (1)老师将三角尺和三角尺按如图①所示的方式摆放在直线上，边落在直线上，，，，则____________； (2)第一小组同学将图①中三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，设三角尺的旋转时间为t秒，提出下列问题： ①当____________秒时，边首次落在直线上； ②当____________秒时，； (3)如图②，第二小组同学受第一小组同学的启发继续进行探究，将三角尺绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时将三角尺绕点C以每秒的速度按逆时针方向旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．当时，求t的值． 【答案】(1) (2)①10 ；②6或8 (3)4.5或6 【分析】本题考查了与三角板有关的角度计算，一元一次方程的应用等知识，数形结合是解题的关键，注意分类讨论． （1）利用三个角的和为一个平角即可求解； （2）①求出的度数即可求解； ②分两种情况求解：当边在的外部；当边在的内部；求出旋转t秒后，由已知即可求解； （3）分两种情况：边相遇前与相遇后考虑即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：． （2）解：①边首次落在直线上，旋转了， 则旋转的时间为：（秒）； 故答案为：10； ②当边在的外部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 当边在的内部时； 顺时针旋转t秒，则，； 则， 解得：； 综上，当或8时，； 故答案为：6或8； （3）解：当边相遇前，如图， ∵，， ∴， 解得：； 当边相遇后，如图， ∵，， ∴， 解得：； 综上，t的值为4.5或6． 类型四、几何图形中动角之新定义型问题 技巧口诀：拆定义→定顶点→列角式。 1. 把新定义中的“动角”翻译成旋转射线，标出旋转中心O与始边、终边。 2. 设旋转角速度为k°/s，t秒后角大小=kt；按定义写出与已知角的数量关系。 3. 用三角形或平行线内角和列方程，解t后回代，检验t≥0且角度在0°~180°内。 例4 请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线在的内部，且，则称是的“内半角”．请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，．若是的“内半角”，则 ． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（）至，即，其中．若是的“内半角”，求α与β的数量关系． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合，如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)4秒或36秒 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出结论； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， ∴α与β的数量关系是或 （3）解：①如图④，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得： ； ②如图⑤，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为4秒或36秒． 变式4-1 定义：若两个共顶点的角满足：一个角的大小为另一个角的5倍，则称这对角互为“和合角”．如图所示，已知直角三角板和直角三角板，，．将两块三角板摆放在一起，且点重合，，为的角平分线．请回答以下问题： (1)如图1，点A和点E重合时． ①求的度数； ②图中是否存在“和合角”？若有，请直接写出，若没有，请说明理由． (2)如图2，固定三角板的位置，将三角板绕着点按每秒3度的速度逆时针旋转一周，假设旋转的时间为．在整个过程中，是否存在某个时刻，使得和互为“和合角”？请求出对应的时刻． 【答案】(1)①；②存在，与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角” (2)存在，t的值为20或90或114 【分析】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）①分别求出和的度数，即可求解； ②先求出的度数，即可求解； （2）分两种情况，由“和合角”的定义列出方程可求解． 【详解】（1）解：①，，，为的角平分线． ，， ， ； ②存在，理由如下： ，， ， ∵，为的角平分线， ∴， 与是“和合角”，与是“和合角”，与是“和合角”； （2）解：如图3，当在的右侧时， 和互为“和合角”， ， 旋转角度为， ， 如图4，当在的左侧时， 和互为“和合角”， 或， 旋转角度为或， 或， 综上所述：的值为20或90或114． 变式4-2 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的奇妙线． (1)如图1，若，，求． (2)如图2，若，射线从射线位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当射线与射线重合时停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． (3)如图3，若，射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转．设旋转的时间为t秒，当射线是的奇妙线时，求t的值． 【答案】(1) (2)秒或秒或秒； (3)或或或或 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，实际问题与一元一次方程：几何问题(一元一次方程的应用)，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据角的关系，列式，解得，即可作答． （2）根据奇妙线的定义要进行分类讨论：或，然后列式计算，即可作答． （3）先得出停止旋转时所需时间为秒，然后逐个情况作图，运用数形结合思想以及根据几何图形中角度关系进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得； （2）解： ∵当射线与射线重合时停止旋转，，且绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴停止旋转时所需时间：（秒）， ∵射线是的奇妙线， ∴当时，则 解得， 则（秒）， ∴当时，则 解得， ∴， 则（秒）， 当是的角平分线，则， ∴（秒）， 综上：t的值为秒或秒或6秒； （3）解：∵射线旋转与射线重合时两条射线都停止旋转． ∴停止旋转时所需时间：（秒）， 即射线旋转就停止了， ∵射线分别从位置同时出发，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转， ∴当射线都在的内部时，， 故， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时，即 ∴， 解得（秒）； ∴当射线都在的内部时，且时， ∴， 则， 解得（秒）； 当与重合时，（秒）， ∴， 此时在直线上， ∴当射线都在的外部时， ， ∴， ∵射线是的奇妙线， ∴当射线都在的外部时，且时 ∴， 解得（秒）， 或当时， ∴， 解得（秒）， ∵射线不在的内部，故舍去； 当时，即 ∴， 解得∴（秒）， 当时， 则， 即， 解得 ∴（秒）， ∵秒，运动停止，不存在， 综上：当射线是的奇妙线时，则t的值为或或或或． 变式4-3 已知、、为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，则称点是点的“倍距点”．如图1中，点表示的数为1，点表示的数为4，点表示的数为3，点表示的数为2，则点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”，点是点的“倍距点”但不是点的“倍距点”．对于角，我们定义角的一条三等分线为这个角的两边的“倍角线”．如图2，射线，是的三等分线，即，则称射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”，射线是射线的“倍角线”但不是射线的“倍角线”． (1)、、为数轴上三点，点表示的数是，点表示的数是4，点在点，点之间，若点是点的“倍距点”，求点表示的数； (2)在（1）的条件下，动点从点出发，沿数轴向右以2个单位长度／秒的速度运动，设点的运动时间为秒，当点是点的“倍距点”时，求的值； (3)如图3，，平分，射线是射线的“倍角线”． ①求的度数； ②绕点以/秒的速度按顺时针方向旋转，在旋转的过程中，射线，对应的射线分别为，，当射线与射线重合时，停止旋转，设旋转的时间为秒，当射线是射线的“倍角线”时，求的值； (4)在（2）的条件下，当射线，，三条射线中，有一条射线是另外两条射线的“倍角线”时，直接写出的值． 【答案】(1)点表示的数是2； (2)的值为或； (3)①；②10； (4)，，， 【分析】本题考查几何变换的综合应用，主要考查角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用，新定义的问题，掌握角平分线的定义，角的计算，一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据“倍距点”的定义，设点表示的数为，列方程求解即可； （2）在点运动的过程中，点表示的数为．分情况讨论，①当点在点，点之间时，②当点在点右侧时，列方程求解即可； （3）根据角平分线的定义和“倍角线”的定义，分类讨论，即可解答； （4）根据“倍角线”的定义，分类讨论，即可解答； 【详解】（1）解：设点表示的数为， 点在点，点之间，点是点的“倍距点”，， 解得， 点表示的数是2； （2）解：在点运动的过程中，点表示的数为． ①当点在点，点之间时， 点是点的“倍距点”， ， 解得； ②当点在点右侧时， 点是点的“倍距点”， ， 解得． 综上所述，的值为或． （3）解：①，平分， ， 射线是射线的“倍角线”， ， ， ②射线是射线的“倍角线”， ， ， ， ， 的值为10； （4）解：如图1，是射线的“倍角线”时， ，则，此时和重合， ， ；    如图2，当是射线的“倍角线”时，， ， ， ；    如图3，当是射线的“倍角线”时，， ， ；    如图4，当是射线的“倍角线”时，， ， ．    答：的值为，，，． 一、填空题 1．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数）， ． 【答案】19 【分析】本题考查了角的和差计算，一元一次方程的应用等知识点，难度较大． 先求出当时，在内部，得出，，代入式子计算确定，求解即可． 【详解】解：如图： 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，在内部， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：19． 2．某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 二、解答题 3．【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 4．如图1，点在直线上，过点引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时同为秒． （1）的度数是______． （2）①三角尺的边旋转的度数可表示为______（用含的代数式表示）； ②求为何值时． 【操作二】：如图2，射线与射线重合．如图3，在三角尺绕着点以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，射线绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当三角板完成旋转一周时停止，射线也停止旋转，设旋转的时间为秒， （3）试探索：在三角尺与射线旋转的过程中，为何值时，与中其中一个角是另一个角的两倍？请直接写出所有满足题意的的值______． 【答案】（1）（2）①②或（3）或或 【分析】（1）根据平角定义即可求得； （2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为或即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，分别用含的代数式表示出与的度数，利用或，列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案是：； （2）①旋转的速度是每秒， ∴旋转的度数表示为， ②， 当在左侧时：， ∴，解得， d当在右侧时：， ∴，解得， 故答案是：或； （3）当在左侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：； （ⅱ），如图， 由题意得：， 解得：． ②当在右侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：． （ⅱ）， 则：，此方程无解，不符合题意； 综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍． 【点睛】本题考查角度旋转问题，解题的关键是根据角度旋转的速度设出旋转角的度数，再根据题意列出与时间有关的方程进行求解，需要掌握分类讨论的思想． 5．【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）60；（2）的度数不会发生变化，始终为，理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 故答案为：60． （2）的度数不发生变化，理由如下： 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为． （3）为或，分析如下： 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得，； 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得， 所以， 综上所述，所以为或． 6．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（注：） (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_________； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是的平分线； (3)如图3，将三角板绕点逆时针转动到某个位置时，若恰好，求的度数． 【答案】(1)30 (2)见解析 (3)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）代入求出即可； （2）求出，根据求出，，推出，即可得出答案； （3）画出符合的两种图形，再根据平角等于，列方程求出即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：30； （2）解：平分， ， ， ，， ， 所在射线是的平分线； （3）解：设，则， 有两种情况：①如图1，在内部时， ，，， ， 解得， 即． ； ②如图2，在的内部时，如图2， ，，，，， ， 解得：， 即， ， ， 的度数为或． 7．如图1，在同一条直线上依次有A，O，B三点，，将一个三角板的直角顶点放在点O处，其中，． (1)将三角板绕点O旋转到图2的位置，在的内部，，有怎样的数量关系？请写出来，并说明理由； (2)若将三角板绕点O转动，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方．若，求的度数； (3)若将图1中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，射线，，中的一条射线，是否可以成为另两条射线组成的夹角的平分线？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或． (3)存在，或14或26 【分析】（1）设，可得，可得，从而可得结论； （2）如图，当在的右边时，设，如图，当在的左边时，结合，再建立方程求解即可； （3）如图，当平分时，则，当平分时，则，如图，当平分时，则，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：如图，当在的右边时， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：，即， 如图，当在的左边时， 则，， ∵， ∴， 解得：，即； （3）解：存在，理由如下： 如图，当平分时，则， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当平分时，则， 同理可得：， ∴， 解得：， 如图，当平分时，则， 同理可得：， ∴， 解得：， 综上：当的值为或或时，射线，，中的一条射线，可以成为另两条射线组成的夹角的平分线. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的动态定义，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键. 8．如图1，，过点在的内部作射线，使得，射线从射线开始以每秒的速度绕着点顺时针转动，当为平角时停止转动，设转动的时间为秒． (1)当射线位于射线的左侧时，_____________（用含的式子表示）； (2)当射线平分时，求的值． (3)如图2，射线从射线开始以每秒的速度与射线同时开始绕着点顺时针转动，同时停止． ①当时，求的值． ②在转动过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)21 (3)①10.8或54；② 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含的代数式表示相关角的度数． （1）由，求出，，故当射线位于射线的左侧时，， （2）根据得：，即可解得的值为21； （3）①当到达所在的位置前，，当到达所在的位置后，，解方程可得答案； ②分两种情况可求得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 根据题意，， 当射线位于射线的左侧时，， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得， 的值为21； （3）解：由题意可得， ①当到达所在的位置前，， 解得； 当到达所在的位置后，， 解得； 的值为10.8或54； ②当与重合时，， ， 此时与重合； 当到达所在的位置前，，， ； 当到达所在的位置后，，， ； 综上所述，． 9．如图，将一副三角尺的两个角的顶点重叠在处，其中，，两条直角边落在直线上．将三角尺从图1的位置绕点以度/秒的速度顺时针旋转t秒．在旋转过程中，若为的角平分线，为的角平分线． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，三角尺旋转过程中，若，当时，求t的值． (3)三角尺旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)（1） (2) (3)或或 【分析】（1）利用角的和差解题即可； （2）根据角平分线得到和的度数，然后根据题意列方程解题即可； （3）分为三种情况画图，然后利用角平分线和角的和差得到和的度数，然后列方程求出t值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：旋转t秒时，，， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∵， ∴， 解得：； （3）①当时， 如图，， ， ∵， ∴，解得； ②当时， 如图，， ， ∵， ∴，解得； ③当时， 如图，，，， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 综上所述，t的值为：或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查角的和差，角平分线的定义，旋转的性质，一元一次方程，利用分类讨论画图，列一元一次方程是解题的关键． 10．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)、或 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算及一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义，利用角的和差关系计算即可得答案； （2）根据，，利用等量代换列式即可得答案； （3）分当顺时针旋转时，当逆时针旋转，在上方时，当逆时针旋转，在下方时三种情况，分别用表示出和，根据列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵若直角三角板的一边放在射线上，，， ∴． 故答案为： （2）解：如图所示，在内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当顺时针旋转时， ∵的速度为3度/秒，的速度为1度/秒， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在上方时， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在下方时， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述：、或. 11．点为直线上一点，作射线，一个直角三角板的直角顶点与点重合． (1)如图1，点在射线上，，求的大小； (2)如图2，将直角三角板绕点逆时针转动，使得平分，试说明平分； (3)若（大于0而小于90），则再将直角三角板绕点逆时针转动，当时，直接写出的大小（用的代数式表示） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由，，再利用角的和差运算可得答案； （2）先证明，，，再进一步可得结论； （3）分三种情况讨论：如图，时，题意可得：，，，当时，题意可得：，，，如图，当在的下方时，题意可得：，，，再结合，建立方程求解，并检验即可. 【详解】（1）解：∵点在射线上，，， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴平分； （3）解：如图，时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即； 当时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即； 如图，当在的下方时， 由题意可得：， ，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴此时不符合题意，舍去； 综上：或. 【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义，一元一次方程的应用，本题难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键. 12．如图1，直线上有一点O，过点O在直线上方作射线．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方．将直角三角板绕着点O按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒． (1)若射线保持位置不变，当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，此时，与之间有何数量关系？并说明理由． (2)若射线的初始位置不变，且． ①在直角三角板旋转的过程中，若射线保持位置不变，当边与射线相交时（如图3），求的值． ②在直角三角板旋转的过程中，将射线绕着点O按每秒的速度顺时针旋转（随三角板旋转停止而停止），是否存在某个时刻，使得射线，与中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，，， 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角平分线的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能进行分类讨论是解题的关键． （1）由知、，根据可得答案； （2）①根据 ，即可求解； ②当平分时、当平分时分别列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：与之间的数量关系为，理由如下： ， ，， 平分， ， ． （2）①∵， ∴ ； ②由题意得： 当平分时，，即，解得； 当在上方，第一次平分时，，即，解得； 当在下方，第二次平分时，，即，解得； 当第二次平分时，，即，解得：． 综上，的值为，，，． 13．已知，在下列各图中，点为直线上一点，，直角三角板的直角顶点放在点处． (1)如图1，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方，求的度数． (2)如图2，三角板一边恰好在的角平分线上，另一边在直线的下方，求的度数． (3)延长线段得到射线，如图3，求、的度数． (4)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值． 【答案】(1) (2) (3)， (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的运算以及角平分线的定义，解题关键：一是理解角平分线的定义，二是确定旋转到某一条件时旋转的度数． （1）利用两角互补，即可得出结论； （2）根据平分， 可得出，由可求得的度数； （3）根据直角三角板MON各角的度数以及图中各角的关系即能得出结论. （4）根据题中条件算出旋转到射线和射线的延长线恰好平分锐角时所旋转的度数，再除以速度即可得的值. 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵三角板一边恰好在的角平分线上，， ， 又∵， ∴， （3）解：∵，， ∴， 又∵， ∴ （4）解：当直线恰好平分锐角，此时则从图中的位置旋转到射线恰好平分锐角时所旋转的度数为： ， ∵速度为每秒， ∴， 解得； 当射线的反向延长线恰好平分时， 此时旋转的角度为：， ∵速度为每秒， ∴， 解得． 14．如图1，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺（其中）的顶点放在夹角为的两条直线、的交点处，并使两条直角边落在直线、上，将绕着点顺时针旋转（即）． (1)如图2，若，则______，_____； (2)若射线是的角平分线，且． ①当旋转到图3的位置，若，求的度数； ②在旋转过程中，若，且，则此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②的值为或 【分析】本题主要考查角的平分线，角的计算，分类讨论是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，利用角的和差可求解； （2）①根据余角的定义可求的度数，结合角平分线的定义可求得即，再根据得关于的方程，解方程即可； ②可分两种情况：当位于内部时，当位于内部时，结合角平分线的定义，利用角的和差倍分变换可求解角的度数． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①∵，， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； ②当位于内部时， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当位于内部时，如图， ∵，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， 综上所述，若，β的值为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$