专题08 等边三角形的性质与判定的五种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题08 等边三角形的性质与判定的五种考法 目录 1 类型一、利用等边三角形的性质求角度 1 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 7 类型三、等边三角形中的动点问题 11 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 19 类型五、等边三角形中旋转综合问题 31 41 类型一、利用等边三角形的性质求角度 口诀：等边三角形，三边相等，三角都60°。 1. 先标“等边”得三边同长。 2. 遇求角，直接写60°。 3. 若与其他图形拼合，用“外角=不相邻两内角和”或全等转移角。 4. 画草图，标已知60°，再按三角形内角和180°列式即可。 例1．如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 变式1-1．等腰中，，，分别以为边作等边、等边，直线交于点，直线交于点，则的度数是 ． 变式1-2．如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    变式1-3如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 口诀：先定边长，再分步量。 1. 画等边△ABC，标“三边相等”。 2. 若已知一边为a，其余两边直接写a。 3. 与平行线、全等拼合时，找60°角证全等，把未知段转成已知边长即可。 例2．如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，已知等边，，为边上一动点，为边上一动点，且，连结，则的最小值为 ． 变式2-2．如图，中，，以为边作等边，过D作延长线于E，若，，则 ． 变式2-3．如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 ． 类型三、等边三角形中的动点问题 口诀：定等边→标60°→设路程→找全等。 1. 画等边△ABC，边长a，三内角60°。 2. 动点P从顶点A沿AB或折线AB→BC匀速走，路程=速度×时间t，用a表示。 3. 若求AP=BP，用“AB=AC，∠A=60°”证△APC≌△BPC，得对应边相等列式。 4. 作高AD，利用30°-60°-90°边角关系，把未知段转化成已知的a，解t。 例3．在等边中，线段为边上的中线，动点在直线（点与点重合除外），以为一边且在的下方作等边，连接． (1)若，则______度， ______度； (2)判断与是否相等，请说明理由； (3)如图2，若，点两点在直线上且，求的长 变式3-1．如图，是边长为6厘米的等边三角形，点从点出发沿方向在线段上以厘米/秒的速度运动，点从点出发沿方向在射线上以厘米/秒的速度运动，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达点后，两点停止运动连接交（或延长线）于点．    (1)如图1，若，则__________； (2)如图2，若，当时，求的值； (3)如图3，点在线段上运动，但不与端点重合，当点运动到点右侧时，连接，以为边向右上方作等边，连接，请直接写出的值（结果用含的式子表示）． 变式3-2如图，在等边中，，点从点出发沿边向点点以的速度移动，点从点出发沿边向点以速度移动．、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟． (1)请用的代数式表示和的长度：___________，___________． (2)若点在到达点后继续沿三角形的边长向点移动，同时点也在继续移动，请问在点从点到点的运动过程中，为何值时，直线把的周长分成两部分？ (3)若、两点都按顺时针方向沿三边运动，请问在它们第一次相遇前，为何值时，点、能与的一个顶点构成等边三角形？ 变式3-3如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 技巧口诀：“三边相等三角60°，缺一补二可判定”。 1. 先画等边△ABC，标三边同为a，三角都是60°。 2. 若已知两边相等且夹角60°，用“边角边”直接判定等边。 3. 若已知两角均为60°，第三角必60°，再用“三角相等推三边相等”得等边。 4. 遇折叠或旋转，先找60°角或等边，证全等后把未知线段转化为已知边长即可。 例4．在中，，，点关于直线的对称点为点，连接，以为边，作等边，且点与点在直线的同侧，作射线，交直线于点，连接． (1)如图，若， ①当时，则________，________； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明； (2)如图，若，直接用等式表示线段，与之间的数量关系． 变式4-1如图，在等边中，为边上一点，延长至使得，过作于，与的延长线交于点． (1)若为，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知为的中点，且，求的长． 变式4-2已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 变式4-3如图，在中，，，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究、与之间的数量关系，并说明理由． (3)若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．请直接写出，与之间的数量关系，并说明理由． 类型五、等边三角形中旋转综合问题 口诀：定等边—找旋转—用全等。 1. 先画等边△ABC，标三边a、三角60°。 2. 旋转中心取A，旋转角60°，把B转到C，可知旋转后线段长度不变。 3. 若出现△ABP旋转后得△ACP′，则BP=CP′，∠BAP=∠CAP′；用“SAS”证全等。 4. 未知长度或角度直接利用“旋转前后对应边相等、对应角相等”列出等式即可。 例5．在等边中，，点E、F分别在和上，且，连接． (1)如图1，若D为上的点，且，连接，求证：； (2)若，将绕着点F顺时针旋转，得到，连接，设，直接写出的长（用含m的式子表示）； (3)如图2；M为的中点，连接，求的面积． 变式5-1 综合与实践 如图一，已知，，点、点分别在、上，，可得到． (1)如图二，将图一中的绕点顺时针旋转到如图二所示的位置，是否仍然成立，若成立请证明，若不成立请说明理由． (2)在（1）的条件下，在上截取，在上截取，连接、、，当旋转到如图三所示的位置时， ①若时，则______． ②若时，则．______． (3)若，，，，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当的面积为时，请直接写出旋转的角度． 变式5-2 如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合    (1)旋转中心是点 　 　； (2)若，旋转角是 　 　度； (3)若，请判断的形状并说明理由． 变式5-3 如图，点O是等边内一点，，等于，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)若，请探究：当为多少度时，是等腰三角形． 一、单选题 1．如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 二、填空题 3．如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为 ． 4．等边中，，，，，，则 ． 5．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 6．如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    7．如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论：    ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题 8．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 9．如图，是等边三角形，点D是边上一点（不与B，C重合），点P是点B关于直线的对称点，连接．平分的外角，过点A作的平行线，与交于点N，设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)过点D作的平行线，交的延长线于点Q，用等式表示线段的数量关系，并证明． 10．中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），使，交直线于点F，连接．    (1)如图1，若，则是______三角形； (2)若． ①如图2，当点D在线段上移动，判断的形状并证明； ②当点D在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 11．在中，点D在的边上．    (1)【探究发现】 如图①，当时． 若，则，， 若，则______°，______°； 请直接写出与的数量关系______； (2)【问题解决】 如图②，当，时，作，垂足为点E，若，，求的长． (3)【拓展延伸】 如图③，当平分，时，若与的面积之比为，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等边三角形的性质与判定的五种考法 目录 1 类型一、利用等边三角形的性质求角度 1 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 7 类型三、等边三角形中的动点问题 11 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 19 类型五、等边三角形中旋转综合问题 31 41 类型一、利用等边三角形的性质求角度 口诀：等边三角形，三边相等，三角都60°。 1. 先标“等边”得三边同长。 2. 遇求角，直接写60°。 3. 若与其他图形拼合，用“外角=不相邻两内角和”或全等转移角。 4. 画草图，标已知60°，再按三角形内角和180°列式即可。 例1．如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点的位置．如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，求出此时． 【详解】解：如图1，作，且，连接，连接， 是等边三角形，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 当为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，， ， 故选：B． 变式1-1．等腰中，，，分别以为边作等边、等边，直线交于点，直线交于点，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，如图，和是顶角相等的全等的等腰三角形，设，故，先证明，得，再证明，得，最后证明，得，再通过计算得；如图， 先证明，得，再证明，得，最后证明，得，又，得，故，掌握等边三角形的性质，找到全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴和是顶角相等的全等的等腰三角形， ∵， ∴设， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由，得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵， ∴， 故答案为：； 如图，连接、， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 变式1-2．如图，与是两个等边三角形，是直角三角形，则 ．    【答案】/150度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内外角关系，根据等边三角形得到，结合平角及三角形内外角关系求解即可得到答案； 【详解】解析：和是两个等边三角形， ∴， 在中，， ，， ， ∵，，， ． 变式1-3如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得，，由，，可求，由三角形外角性质可求． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是边上的中线， ，， ， ，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 类型二、利用等边三角形的性质求线段长 口诀：先定边长，再分步量。 1. 画等边△ABC，标“三边相等”。 2. 若已知一边为a，其余两边直接写a。 3. 与平行线、全等拼合时，找60°角证全等，把未知段转成已知边长即可。 例2．如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称—最短问题，等边三角形的性质等知识，连接交于点，，关于直线对称，推出当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长，可得答案．解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵直线，且与关于直线对称，等边的边长为， ∴，，共线，与都是等边三角形且边长为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，关于直线对称， ∵为线段上的一个动点， ∴（点与点重合时取“”）， 即当点与点重合时，的值最小，最小值为线段的长， ∵， ∴的最小值为． 故选：C． 变式2-1．如图，已知等边，，为边上一动点，为边上一动点，且，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作轴，设，则，，由等边三角形的性质得，，进而求得，根据两点间距离公式得，再利用二次函数的性质即可得解． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，过作轴，设，则， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∴当时，有最小值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，勾股定理，30度直角三角形的性质，等边三角形的性质，二次函数的性质，熟练掌握30度直角三角形的性质，等边三角形的性质及二次函数的性质是解题的关键． 变式2-2．如图，中，，以为边作等边，过D作延长线于E，若，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、含的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题关键是做辅助线构建两三角形全等．首先延长到点H使得，连接交延长线于点G，再证明，利用含直角三角形的性质求，进而求得，即可求解． 【详解】解：延长到点H使得，连接交延长线于点G，如图所示， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 变式2-3．如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的边长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，熟练掌握等边三角形的性质，等 腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】∵为等边三角形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为， 同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为， 故答案为：． 类型三、等边三角形中的动点问题 口诀：定等边→标60°→设路程→找全等。 1. 画等边△ABC，边长a，三内角60°。 2. 动点P从顶点A沿AB或折线AB→BC匀速走，路程=速度×时间t，用a表示。 3. 若求AP=BP，用“AB=AC，∠A=60°”证△APC≌△BPC，得对应边相等列式。 4. 作高AD，利用30°-60°-90°边角关系，把未知段转化成已知的a，解t。 例3．在等边中，线段为边上的中线，动点在直线（点与点重合除外），以为一边且在的下方作等边，连接． (1)若，则______度， ______度； (2)判断与是否相等，请说明理由； (3)如图2，若，点两点在直线上且，求的长 【答案】(1)15，15 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】（1）由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可； （2）证，即可得出结论； （3）过点作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：和是等边三角形， ， ∵线段为等边中边上的中线， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 故答案为：15，15； （2）解：， 理由如下： 和都是等边三角形， ，， ，即， ， ； （3）解：如图，过点作于点， ，， ， 是等边三角形，是中线， ，，， （全等三角形对应边上的高相等）， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解题的关键． 变式3-1．如图，是边长为6厘米的等边三角形，点从点出发沿方向在线段上以厘米/秒的速度运动，点从点出发沿方向在射线上以厘米/秒的速度运动，两点同时出发，运动时间为秒，当点到达点后，两点停止运动连接交（或延长线）于点．    (1)如图1，若，则__________； (2)如图2，若，当时，求的值； (3)如图3，点在线段上运动，但不与端点重合，当点运动到点右侧时，连接，以为边向右上方作等边，连接，请直接写出的值（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题可知，可以得到，，根据三角形的外角解题即可； （2）运用证明，既有，然后解题即可； （3）以 为边作等边三角形，连接，过M点作于点P，作于点Q，由，可以得到C、N、M三点共线，即，然后求出比值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 又∵是边长为6厘米的等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）是等边三角形 ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题可知，， ∴， 如图所示，以 为边作等边三角形，连接，过M点作于点P，作于点Q， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、N、M三点共线， ∴ 又∵，， ∴， ∴．    【点睛】本题考查全等三角形，角平分线的性质，等边三角形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及全等三角形，依据全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推导计算． 变式3-2如图，在等边中，，点从点出发沿边向点点以的速度移动，点从点出发沿边向点以速度移动．、两点同时出发，它们移动的时间为秒钟． (1)请用的代数式表示和的长度：___________，___________． (2)若点在到达点后继续沿三角形的边长向点移动，同时点也在继续移动，请问在点从点到点的运动过程中，为何值时，直线把的周长分成两部分？ (3)若、两点都按顺时针方向沿三边运动，请问在它们第一次相遇前，为何值时，点、能与的一个顶点构成等边三角形？ 【答案】(1)， (2)2s (3)s或s或s 【分析】（1）由等边三角形的性质可求得的长，用可表示出和的长； （2）由等边三角形的性质可知把的周长分成两部分，可得到关于的方程，可求得的值； （3）根据题意：在它们第一次相遇前，分3种情况讨论：为何值时，点、能与的一个顶点构成等边三角形，由条件可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：是等边三角形， cm， 点的速度为，时间为， ， 则cm； 点的速度为，时间为， ； 故答案为：，； （2）解：当点在到达点后继续沿三角形的边长向点移动，设时，直线把的周长分成两部分，如图， 第1部分周长为：， 第2部分周长为：， ①， 解得到的运动过程，所以舍去）， ②， 解得， 答：为时，直线把的周长分成两部分； （3）解：①若为等边三角形， 则有，即， 解得， 所以当时，它们第一次相遇前，点、能与的顶点构成等边； ②若为等边三角形， 则有，即， 解得， 所以当时，它们第一次相遇前，点、能与的顶点构成等边； ③当在上，在上，若为等边三角形， 则有，即． 解得， 所以当时，它们第一次相遇前，点、能与的顶点构成等边； 综上所述：当或或，点、能与的一个顶点构成等边三角形． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，是一道三角形综合探究型动点题，对于动点问题，常常化动为静，寻找特殊位置，即用时间和速度表示出线段的长是解题的关键． 变式3-3如图，等边中，于，，点、分别为、上的两个定点且，在上有一动点使最短，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值， 是等边三角形， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为5． 故答案为：5． 类型四、等边三角形的性质与判定综合问题 技巧口诀：“三边相等三角60°，缺一补二可判定”。 1. 先画等边△ABC，标三边同为a，三角都是60°。 2. 若已知两边相等且夹角60°，用“边角边”直接判定等边。 3. 若已知两角均为60°，第三角必60°，再用“三角相等推三边相等”得等边。 4. 遇折叠或旋转，先找60°角或等边，证全等后把未知线段转化为已知边长即可。 例4．在中，，，点关于直线的对称点为点，连接，以为边，作等边，且点与点在直线的同侧，作射线，交直线于点，连接． (1)如图，若， ①当时，则________，________； ②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明； (2)如图，若，直接用等式表示线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)①，；②，证明见解析 (2) 【分析】（1）①由点关于直线的对称点为点，得，，由是等边三角形，得，，进而，，从而即可得解；②在上截取，使，连接．先证，进而得是等边三角形，，，从而证明，再利用直角三角形的性质即可得解； （2）先证，进而得是等边三角形，，，从而证明，再利用直角三角形的性质即可得解； 【详解】（1）解：①∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：，； ②．理由如下： 在上截取，使，连接． ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，°， ∴． ∵，， ∴，° ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 在的延长线上截取，使，连接． ∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴． ∵是等边三角形， ∴，， ∴，°， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵，， ∴°， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键． 变式4-1如图，在等边中，为边上一点，延长至使得，过作于，与的延长线交于点． (1)若为，直接写出的度数；（用含的代数式表示） (2)求的度数； (3)已知为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）由是等边三角形，得到，，即可推出，再根据求解即可； （3）连接，，过点C作于M，证明，得出，设，则，得出，根据，，得出，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴ ； （3）解：如图所示，连接，，过点C作于M， ∵，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件． 变式4-2已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． (1)如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； (2)如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】(1)①②为等边三角形，理由见解析 (2)的度数为或，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的性质． （1）①根据，得，进而得，再根据题意得，进而得； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ， ，，， 为等边三角形； （2）的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即； ②当直线与的延长线交于点时，如图所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 变式4-3如图，在中，，，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究、与之间的数量关系，并说明理由． (3)若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．请直接写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可证明； （2）延长使得，连接，根据直角三角形的性质得出，结合对顶角相等和有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等推得，即可得出； （3）延长至，使得， 根据直角三角形的性质得出，推得，根据等边三角形的判定和性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可推得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示：    在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：，理由如下： 如图2所示：延长使得，连接， ∵，，于点， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 延长至，使得， 由（1）得，， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质、等腰三角形的性质，对顶角相等，角平分线的定义等，根据已知做出正确辅助线是解题关键． 类型五、等边三角形中旋转综合问题 口诀：定等边—找旋转—用全等。 1. 先画等边△ABC，标三边a、三角60°。 2. 旋转中心取A，旋转角60°，把B转到C，可知旋转后线段长度不变。 3. 若出现△ABP旋转后得△ACP′，则BP=CP′，∠BAP=∠CAP′；用“SAS”证全等。 4. 未知长度或角度直接利用“旋转前后对应边相等、对应角相等”列出等式即可。 例5．在等边中，，点E、F分别在和上，且，连接． (1)如图1，若D为上的点，且，连接，求证：； (2)若，将绕着点F顺时针旋转，得到，连接，设，直接写出的长（用含m的式子表示）； (3)如图2；M为的中点，连接，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证明，再证明即可得到结论； （2）根据旋转的性质，得到；过作，易得为等边三角形，推出，证明，得到，进而得到，再进一步即可得出结论； （3）延长至，使得，连接和，证明，推出为等边三角形，得到，求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：绕着点顺时针旋转， ． 为等边三角形． 如图，过作，则， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ． 即， ， ∵，， ∴； （3）解：延长至，使得，连接和， ∵是的中点， ∴， 又， ∴， ∴． ， 为等边三角形． ． 过点作，则：， ∴， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．化为最简二次根式，解题的关键是掌握等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形． 变式5-1 综合与实践 如图一，已知，，点、点分别在、上，，可得到． (1)如图二，将图一中的绕点顺时针旋转到如图二所示的位置，是否仍然成立，若成立请证明，若不成立请说明理由． (2)在（1）的条件下，在上截取，在上截取，连接、、，当旋转到如图三所示的位置时， ①若时，则______． ②若时，则．______． (3)若，，，，将绕点顺时针旋转一周，在旋转的过程中，当的面积为时，请直接写出旋转的角度． 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)①；② (3)或或或 【分析】（1）根据旋转的性质可得则，结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）①证明，进而证明是等边三角形，即可得出结论； ②同①的方法可得是等腰三角形，根据三角形内角和定理，即可求解； （3）根据题意可得点在以为圆心为半径的圆上运动，存在4个位置到的距离为，进而得出，画出图形，结合图形，即可求解． 【详解】（1）仍然成立， 证明：由旋转可知，， ∴， ，， ， ； （2）①由（1）知，， ，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ； ②同①可证明， ，， ， ， ， ； （3）解：∵，，，， ∴，都是等边三角形，且 ∵的面积为， ∴到的距离为， ∵，将绕点顺时针旋转一周， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动，如图所示，存在4个位置到的距离为， 过点作，则， 如图所示， 又∵，取的中点，则， ∵是直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 又∵ ∴ 当在的位置时，根据到的距离为，则 ∴，则 ∴ 根据对称性可得，则，则旋转点与重合， 同理可得，则旋转点与重合 综上所述，当的面积为时，请直接写出旋转的角度或或或 【点睛】本题考查了本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 变式5-2 如图，中，，点是内一点，将旋转后能与重合    (1)旋转中心是点 　 　； (2)若，旋转角是 　 　度； (3)若，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1)B (2)40 (3)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和得到，根据旋转的性质即可得到结论； （3）由已知条件得到是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，由旋转的性质得到，根据等边三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）旋转中心是点， 故答案为：； （2）， ， ， 将旋转后能与重合， ， ， ∴旋转角是40度， 故答案为：40； （3）是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 将旋转后能与重合， ， ， 是等边三角形． 变式5-3 如图，点O是等边内一点，，等于，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)求的度数； (3)若，请探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)当为或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质． （1）只要证明即可； （2）想办法求出即可解决问题； （3）分三种情形讨论求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：当为或或时，是等腰三角形， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴， ∵， ， ， ∵在中，， ， ∴， ∵是等腰三角形， ①当时， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∴， ∴， ∴， ∴当为或或时，是等腰三角形． 一、单选题 1．如图，是等边三角形，，于点D，则等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质推出，．本题考查等边三角形的性质，关键是由等边三角形的性质推出． 【详解】解：是等边三角形， ， 于点， ． 故选：A 2．如图，已知等边，点 是 上任意一点， 分别与两边垂直，等边三角形的高为 ，则 的值为（   ） A． B．1 C．2 D．不确 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键． 如图所示，连接，作于点，则，根据即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 二、填空题 3．如图，在中，，，为的角平分线，为边上的中点，为边上一点，将沿翻折，使点的对应点恰好落在角平分线上，连接并延长交于点，若，则点到的距离为 ． 【答案】// 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；过作交于，连接，从而可得，由由折叠的性质及等腰三角形的性质证明 ，再由可判定，由全等三角形的性质得，是的垂直平分线，进而得和是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质得，，在中由直角三角形性质求出，由即可求解； 掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作交于，连接， ， ， 为的角平分线， ， 由翻折得：， ， ， 是的中点， ， ， ， 在和中 ， （）， ， 是的垂直平分线， ∴， ∵ ， ，， ∴， ，， 和是等腰直角三角形，是等腰三角形， ， ∵，， ， ， 故答案为： 4．等边中，，，，，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质；在上取点，连接，使，证明，得到，，求出，则即可求出结果． 【详解】解：在上取点，连接，使， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 5．如图，等边中，，于点，点在线段上运动，点在上，且，当取最小值时， °． 【答案】30 【分析】根据等边三角形的对称性，等边三角形的性质，线段和最小原理计算即可． 本题考查了等边三角形的性质和对称轴，线段和最小，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形，，， ∴直线为的一条对称轴，，， 平分， ∴点B，点C关于直线对称， 连接，交于点，则点为取最小值时的位置点， ∵， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴点是等边三角形角平分线的交点， 连接 ∴平分， ∴， 故答案为：30． 6．如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    【答案】20 【分析】先确定点P是等腰对称轴上一点，再构造将军饮马模型得到的最小值为的长，从而使问题得到解决． 【详解】连接，    ∵是等腰三角形，，是的角平分线， ∴所在直线为等腰对称轴，点B与点C关于对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长． ∵是等边三角形， ∴， ∴的最小值为20． 故答案为：20． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，涉及等腰三角形，等边三角形的性质，确定问题是将军饮马模型问题是解题的关键． 7．如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论：    ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，交于，交于，连接，交于，交于，连接，，，由两点之间线段最短可判断①；根据轴对称的性质证明，是等边三角形，由垂线段最短可判断②、③，进而得结论． 【详解】解：作点关于的对称点， 点关于的对称点，交于，交于， 连接，交于，交于， 连接，，，， 根据轴对称的性质可得：，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 的周长， ， ， 与重合时，，即最小，故①错误；故②正确； 当时，点能在两个不同的位置取到相同的值， 分别在点两侧且关于点对称，故③正确，    故答案为：②③． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题、轴对称的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，熟知相关性质，做到数形结合是正确解决本题的关键． 三、解答题 8．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①1；②或或，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质结合平行线的性质证明，即可得出结论； （2）①在上作，连接，易证是等边三角形，结合平行线的性质可证，即得出，判断出为等边三角形，即说明当最短时，周长最小．过点作于点E，根据垂线段最短可知此时最短，由全等三角形的性质又可证，得出，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时和ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，分别作出辅助线构造全等三角形解答即可． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ； （2）解：①如图，在上作，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ， ∴为等边三角形， ∴当最短时，周长最小． 如图，过点作于点E，即此时最短， ∵， ∴此时， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知、、之间的等量关系为：或或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理，正确作出辅助线构造全等三角形． 9．如图，是等边三角形，点D是边上一点（不与B，C重合），点P是点B关于直线的对称点，连接．平分的外角，过点A作的平行线，与交于点N，设． (1)依题意补全图形； (2)求的度数（用含α的式子表示）； (3)过点D作的平行线，交的延长线于点Q，用等式表示线段的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，补全图形即可； （2）根据对称和等边三角形的性质得到为等腰三角形，等边对等角求出的度数，平行线的性质得到的度数，再用即可； （3）先证明，得到，再过点作，交于点，证明为等边三角形，得到，进而得到，再证明，得到，即可得出结论． 本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理和外角的性质，本题的综合性强，难度较大，属于压轴题，解题的关键是掌握等边三角形的性质，正确的画出图形，添加辅助线构造特殊三角形和全等三角形． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示： （2）解：连接，    ∵为等边三角形， ∴， ∵对称， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∵平分的外角， ∴， 又， ∴， ∴， 过点作，交于点，    则：， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．中，，点D为射线上一个动点（不与B、C重合），使，交直线于点F，连接．    (1)如图1，若，则是______三角形； (2)若． ①如图2，当点D在线段上移动，判断的形状并证明； ②当点D在线段的延长线上移动，是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形． 【答案】(1)等边； (2)①为等腰三角形，证明见解析；②为等腰三角形，图见解析． 【分析】（1）根据题意推出和为等边三角形，然后通过求证，结合平行线的性质，即可推出为等边三角形； （2）①根据（1）的推理依据，即可推出为等腰三角形； ②根据题意画出图形，然后根据平行线的性质，通过求证，推出等量关系，即可推出为等腰三角形． 【详解】（1）解：， 和为等边三角形， ，， ， ， ， ， ∵在中，， 为等边三角形； （2）解：①为等腰三角形， ， 和为等腰三角形， ， ， ， ， ， ∵在中，， 为等腰三角形； ②为等腰三角形， 如图，点D为射线上一个动点（不与B，以为一边向的左侧作，，交直线于点F． 为等腰三角形， ， 和为等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵在中，， 为等腰三角形．    【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，关键在于根据题意画出图形，通过求证三角形全等，推出等量关系，即可推出结论． 11．在中，点D在的边上．    (1)【探究发现】 如图①，当时． 若，则，， 若，则______°，______°； 请直接写出与的数量关系______； (2)【问题解决】 如图②，当，时，作，垂足为点E，若，，求的长． (3)【拓展延伸】 如图③，当平分，时，若与的面积之比为，求． 【答案】(1) (2)11 (3) 【分析】（1）根据等边对等角，三角形的内角和定理以及外角的性质，进行求解即可； （2）根据，得到是等腰三角形，三线合一求出的长，根据，推出，利用即可得解； （3）角平分线的定义以及外角的性质，得到，，进而得到，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而得到，作，交于点，证明为等边三角形，再利用三角形的内角和定理，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴， 作，交于点，则：，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理以及外角的性质．解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$