专题07 等腰三角形的性质与判定的五种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题07 等腰三角形的性质与判定的五种考法 目录 1 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 1 类型二、等腰三角形的折叠问题 3 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 11 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 17 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 24 32 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 口诀：先锁腰，再分讨。 读题先圈“等腰”二字，把已知的两条相等腰用红笔描粗，第三边暂叫底。 若已知腰长 a 和底长 b，周长＝2a＋b，直接算。 若只知腰长 a 与周长 P，底＝P－2a，记得检查“三角形任意两边和大于第三边”：2a＞底即可。 若只知底 b 与周长 P，腰＝(P－b)÷2，同样要验：2×腰＞底。 一步检验，两步得数，再也不怕漏解！ 例1．若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系等知识点，根据题意列出方程式求得a、b的值是解答本题的关键． 根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据a是腰长和底边长两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形周长为． 所以三角形的周长为20， 故答案为：20． 变式1-1．（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 变式1-2．已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰长为时，底边长为，三角形的三边长为，，，不能构成三角形； 当底边长为时，腰长为，三角形的三边长为，，，能构成三角形； 所以等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 变式1-3等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，关键是求出的值后根据三角形三边关系进行验证． 设腰长为，得出方程或，求出后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图所示, 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：，， 或2， ①三角形三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理； ②三角形三边是2、2、5，，不符合三角形三边关系定理； 故选：B． 类型二、等腰三角形的折叠问题 等腰三角形折叠技巧： 1. 先画原图，把两腰用同色标出，底边放水平。 2. 折痕总在对称轴上，先连顶点与底边中点，得高＋中线＋角平分线“三线合一”。 3. 折后重合部分就是全等形，利用“腰不变、底被平分”列式：若折到腰上，折后两段腰之和＝原腰；若折到顶点，折后两段底之和＝原底。 4. 最后写“三角形两边之和大于第三边”检验，答案就安全。 例2．如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的性质，折叠性质，熟练相关性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点和易错点．先求出，由折叠的性质得出，再分三种情况：①当时；②当时；③当时分别进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， 由折叠的性质得：， 当为等腰三角形时，有以下三种情况： ①当时，如图1所示： ， ， ， ； ②当时，此时点与点C重合，如图2所示： ， ， ， ； ； ③当时，如图3所示： ， ， ， ， 综上所述：的度数为或或， 故答案为：或或． 变式2-1．如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边．分两种情况讨论，当点D与点A的左侧时，证明，推出，利用三角形内角和定理求解即可；当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点，同理即可求解． 【详解】解：当点D与点A的左侧时，如图， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点D与点A的右侧时，如图，延长交于点， 由旋转的性质得，，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 变式2-2．点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和和外角定理，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 分为顶角或底角进行分类讨论，结合等边对等角以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：对于，当为顶角，则， ∵点D在的边上， ∴对于，只能为， ①时，如图： ∵， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②时，如图： 设， 此时， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴； 对于，当为底角，时， 时，如图： 则此时， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 当时，则此时， ∴， ∵ ∴； 对于，当为底角，时,,如图： ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或或， 故答案为：或或或． 变式2-3．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．    【答案】或或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质．令，根据轴对称的性质及三角形的外角定理用表示出三个内角的度数，再对等腰进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：，， ． 令， 和关于直线对称， ，， ． ，且平分， ． ，， ． 同理可得，， ． 当时， ，即， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， ． 综上所述，的度数为：或或． 故答案为：或或． 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 技巧口诀：读定义→找两腰→标记号→套性质。 1. 读新定义，先圈“等腰”两字，再把已知的两条相等边用同一符号标出，底边另标。 2. 若题目给出角度，用“等边对等角”得底角相等；若给边长，用“腰=腰”列方程。 3. 遇折叠、旋转，抓住折痕或旋转后重合的腰，先证全等再求边或角。 4. 最后画草图，用“三角形两边之和大于第三边”检验答案。 例3．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，先根据三边关系确定等腰三角形的底和腰，再根据“优美比”的定义，求解即可． 【详解】解：∵等腰的两边长分别是3和9， 当腰长为3时，，不能组成三角形，不符合题意， ∴腰长为9，底边为3， ∴； 故答案为：． 变式3-1．定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 【答案】12或16 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的定义，先根据题意判断，再分两种情况进行讨论：当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：∵将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，且为等腰三角形， ∴， 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，连接，如图所示： 根据折叠可知：垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当折叠后，分别为四边形 ，的 “通径”时，如图所示： ∴， ∴； ∵为等腰的最短边， ∴不可能是“通径”． 综上分析可知：或16． 故答案为：12或16． 变式3-2定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键． 【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形； 当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形； 故答案为：． 变式3-3概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形. (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则_______度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数. 【答案】(1) (2)的度数为或或或 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理及外角性质等知识，理解题中定义和等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据题中定义得，是等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质，结合三角形的内角和定理求解即可； （2）分①当为这个三角形的特异线时，②当为这个三角形的特异线时，③当为这个三角形的特异线时，三种情况，分别利用等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理及外角性质求解即可． 【详解】（1）解：是的一条特异线， ，是等腰三角形， ，，， 的角平分线是， ， 是等腰锐角三角形， ， 内角和为， ， ， ， 故答案为：； （2）解：的度数为或或或． 理由：是特异三角形， ∴分以下几种情况： ①当为这个三角形的特异线时， 和都是等腰三角形， I、当，时，如图， 则， ，此时； II、当，时， 同理，， ， ， ， ，与三角形内角和定理矛盾， 不成立； III、当，时，同理，不成立； IV、当，时，如图， 则， ， ， ， 此时； V、当，时， 则， 此时，不符合题意，舍去； VI、当，时， 则，此时，不合题意，舍去； VII、当，时， 则，， 则，此时； VIII、当，时， 同理，， ， ，， ，与三角形内角和定理矛盾， 不成立； VIII、当，时， 同理，不成立； ②当为这个三角形的特异线时， 和都是等腰三角形， 为钝角，，， ，， ， ， （不符合题意）； ③当为这个三角形的特异线时， 和都是等腰三角形， 为钝角， ，， ，， 设，则， ，， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 口诀：先找三线合一，再证全等。 1. 画等腰△ABC，AB=AC，标顶点A。 2. 作底边BC上的高AD，高、中线、角平分线三线合一。 3. 用“HL”证Rt△ABD≌Rt△ACD：AB=AC，AD公共，直角。 4. 得BD=DC，∠BAD=∠CAD。 5. 求边或角时，用等腰性质或全等结论即可。 例4．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】①利用角平分线的定义和三角形外角的性质，即可得到结论；②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论；③根据线段垂直平分线的性质即可得结果；④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果；⑤由④的结论得，根据平分与平行条件可得，则可得出． 【详解】解：， 故①正确； ∵平分， ∴P到，的距离相等， ∴， 故②正确； ∵，平分， ∴垂直平分 (三线合一)， 故③正确； ∵与的平分线相交于点P， ∴点P到，的距离相等，点P到，的距离相等， ∴点P到，的距离相等， ∴点P也位于的平分线上， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 故④正确； 由④得：， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ， 故⑤正确； 综上可知，①②③④⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等，能够综合运用上述知识是解题的关键． 变式4-1如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】①根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠C；②再根据等角的余角相等可以求出∠AEF＝∠AFE；③只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C；④根据等腰三角形三线合一的性质求出AG⊥EF． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴∠C＋∠ABC＝90°， ∠BAD＋∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝∠C，故①正确； ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE＋∠AEF＝90°， ∠CBE＋∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， 又∵∠AFE＝∠BFD（对顶角相等）， ∴∠AEF＝∠AFE，故②正确； ∵∠ABE＝∠CBE， ∴只有∠C＝30°时∠EBC＝∠C，故③错误； ∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF， ∵AG平分∠DAC， ∴AG⊥EF，故④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，同角的余角相等的性质以及等角的余角相等的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 变式4-2阅读下面材料，完成(1)-(3)题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．” 小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．” 小伟：“通过作辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．” ...... 老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．” （1）求∠DFC的度数； （2）在图1中探究线段EF、AF、CF之间的数量关系，并证明； （3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析． 【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数； （2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC； （3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论． 【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α， 又△ABE为等边三角形， ∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β， 在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°， ∴α＋β＝60°， ∴∠DFC=α＋β＝60°； （2）EF=AF+FC，证明如下： ∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°， ∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°， ∴CF＝2DF， 在EC上截取EG＝CF，连接AG， 又AE=AC， ∴∠AEG=∠ACF， ∴△AEG≌△ACF（SAS）, ∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF， 又∠CAF=∠BAD， ∴∠EAG=∠BAD， ∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°， ∴△AFG为等边三角形， ∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC， 即EF=AF+FC； （3）补全图形如图所示， 结论：AF=EF+2DF．证明如下： 同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β， ∴∠CAE＝180°－2β， ∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°， ∴∠AFC=β－α＝60°， 又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°， ∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF， 在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF， 又AB=BE， ∴△ABG≌△EBF（SAS）， ∴BG＝BF， 又AF垂直平分BC， ∴BF=CF， ∴∠BFA=∠AFC=60°， ∴△BFG为等边三角形， ∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF， ∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型． 变式4-3已知，在中，，，，垂足为点，且，连接. （1）如图①，求证：是等边三角形；    （2）如图①，若点、分别为，上的点，且，求证：； （3）利用（1）（2）中的结论，思考并解答：如图②，为上一点，连结，当时，线段，，之间有何数量关系，给出证明.    【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3），理由详见解析. 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一定理，得到，即可得到结论成立； （2）由（1）得，，然后证明，即可得到结论成立； （3）在上取一点，连接，使.，由（2）得，则，，然后得到，即可得到. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴； （3）； 理由如下：如图②，在上取一点，连接，使.    由（1）（2）可得， ∴， 在和中 ∴ ∴ ∴； 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形进行证明. 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 口诀：先看边再看角，边等腰定角等，角等腰定边等。 1. 若已知两边相等→直接标“腰”，用“等边对等角”得底角相等。 2. 若已知两角相等→用“等角对等边”得对边相等，先标腰再求边。 3. 遇折叠、旋转，先找重合边或角，证全等得新等腰。 4. 最后画草图，用三角形两边之和大于第三边检查答案。 例5．如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，根据题意得出是等腰直角三角形，根据三角形面积公式可得当最大时，的值最大，观察图形可得当旋转角时，三点共线时，取得最大值为，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于的对称点为， ，， 又∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， 当最大时，的值最大， 当旋转角时，此时最大且， 面积的最大值是 故选：D． 变式5-1 如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴， ，为的中点， ， ， ∴； （2）证明：平分， ， 又∵， ∴， ∴， ， 是等腰三角形； （3）解：的周长为15， ， ， ， 即， 平分的周长， ， 的周长． 变式5-2 如图，中，点是边上的一点，与共于直线成轴对称，点与点对应． (1)如图1，点在边上，，，求的度数； (2)如图2，点在外，若，，垂足为点，求证：； (3)在（2）的条件下，为上一动点，为上一动点，若，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由轴对称性质得，得，由三角形内角和性质得,得，由三角形外角性质即得； （2）由垂直得，由三角形外角性质得，∴由平角性质得，由折叠性质得，，即得； （3）连接，由折叠知性质得，，得，当点M在上时，取得最小值，就取得最小值，可得，由，得，得，由，即得． 【详解】（1）解：由轴对称性质知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 由轴对称性质知，， ∵， ∴， ∴； （3）解：连接， 由轴对称性质知，， ∴， 当点M在上时， ， 当时， 取得最小值，就取得最小值， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质，三角形内角和性质，三角形外角性质，垂线段性质，三角形面积公式，此题属等腰三角形综合题目．熟练掌握等腰三角形的判定和性质、轴对称的性质是解题的关键． 变式5-3 已知：如图①，且，，，点E为上一点，将沿直线翻折，使点B落在边上，记作点F． (1)当，时， ． (2)当时，如果再将图①中的沿直线向右翻折，使点A落在射线上，记作点G，当线段时，请根据题意画出图形，并求出m的值． (3)在（2）的条件下，连接，再将沿直线翻折，得到，直线交射线于点H，若的面积为a，请直接写出的长(用含有a的代数式表示)． 【答案】(1)2 (2)图见解析，；图见解析， (3)或 【分析】本题是四边形综合题，折叠的性质，平行线的性质． （1）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （2）分两种情况：当点G在点D的左边时；当点G在点D的右边时；分别画出图形，根据，可列关于m的方程求解； （3）根据（2）中结论，由折叠的性质可得， ，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）解：分以下两种情况： 如图，当点G在点D的左边时， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得； 如图，当点G在点D的右边时， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵沿直线翻折得到， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 分以下两种情况： 如图，当时，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，即， ∴； 如图，当时，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，或． 一、单选题 1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可得：，，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（    ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】①根据三角形的内角和定理判定∠CAM=∠CMA，由等腰三角形的判定和三线合一的性质可得结论正确；②根据BN=AB=6，CM=AC=5，及线段的和与差可得BC的长；③根据三角形的内角和定理及角的和与差可得结论；④要想得到AM=AN，必有∠AMN=∠ANM，而AB≠AC，可知∠ABC≠∠ACB，从而得AM≠AN． 【详解】解：①∵CE平分∠ACE， ∴∠ACP=∠MCP， ∵AM⊥CE， ∴∠APC=∠MPC=90°， ∴∠CAM=∠CMA， ∴AC=CM， ∴AP=PM，①正确； ②同理得：BN=AB=6， ∵CM=AC=5， ∴BC=BN+CM-MN=6+5-2=9，②正确； ③∵∠BAC=∠MAC+∠BAN-∠MAN=110°， 由①知：∠CMA=∠CAM，∠BNA=∠BAN， △AMN中，∠CMA+∠BNA=180°-∠MAN=∠BAN+∠MAC， ∴180°-∠MAN-∠MAN=110°， ∴∠MAN=35°，③正确； ④当∠AMN=∠ANM时，AM=AN， ∵AB=6≠AC=5 ∴∠ABC≠∠ACB， ∴∠AMN≠∠ANM，则AM与AN不相等，④不正确； 所以本题不正确的有④， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 二、填空题 3．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，点F为上方一点，连接，点M、N分别是延长线上的点，已知，下列结论：①与为内错角；②；③；④平分，其中所有正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平线的定义，三线八角的判定等知识，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据三线八角的定义结合图形可判定①；根据垂线的定义，平行线的判定方法可判定②③；根据角平分线的定义，角的和差计算，数量关系的可判定④，由此即可求解． 【详解】解：根据图示，与为直线被直线截得的内错角， 故①正确； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故③错误； ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 4．如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论．分或或三种情况根据等腰三角形的性质求出，再求出，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】解：由题意知与均为等腰三角形， 对于可能有 ，此时， ∴， 此时只有， ∴， ，此时， ∴， 此时只有， ∴； ，此时，， ∴， 此时只有， ∴； 综上所述，度数可以为或或， 故答案为：或或． 5．如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ． 【答案】120 【分析】作点O关于的对称点，关于的对称点，由轴对称的性质可得点E和点F在线段上时，的周长最小，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，作点O关于的对称点，连接，作点O关于的对称点，连接，    则，， 的周长， 即点E和点F在线段上时，的周长最小，如图： ，， ，， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是找出的周长最小时点E和点F的位置． 6．在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及三角形内角和定理等知识点，解题的关键是分情况讨论点与线段的位置关系。 因为以为边作等边，所以需要分两种情况讨论点的位置，分别计算的度数。 【详解】解：当点与点在同侧时， 在中，， 。 又 是等边三角形， ，。 ； 当点与点在两侧时： 在中，， ． 又 是等边三角形， ， ， ， ， ； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 7．如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案． 【详解】解：如图，当时， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ； 如图，当时， 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 三、解答题 8．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 【答案】(1)与，与，与 (2)见解析 (3)或或或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等角三角形的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等角三角形的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据等角三角形的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴与，与，与是等角三角形； （2）证明：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为的等角分割线； （3）解：当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴； 当是等腰三角形，如图，时，，    ∴， ∴， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在， 当是等腰三角形，如图，时，    ∴， 当是等腰三角形，如图，时，，    设，则，， 由题意得，， 解得，， ∴， 当是等腰三角形，的情况不存在， ∴的度数为或或或． 9．已知直线，现有2个三角板和，，，，边交直线于点．    (1)将这两块三角板摆成如图1的形式，点与重合，求的度数； (2)如图2所示，将图1中的固定，把从图1中的位置绕着点顺时针方向旋转，其中． ①运动中，当为轴对称图形时，求的度数； ②在旋转的过程中，设，，则的取值范围为___________． 【答案】(1) (2)①的度数为或或；② 【分析】（1）根据两角差即可计算； （2）①根据当为轴对称图形时，为等腰三角形，分三种情况，当时，当时，当时，分别画出图形求出结果即可； ②根据三角形外角的性质得出，得出，求出，根据，得出，从而求出范围． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵当为等腰三角形时，为轴对称图形， ∴当时，，为等腰三角形，即此时为轴对称图形，    ∴此时， ∵， ∴， ∴此时； 当时，，为等腰三角形，即此时为轴对称图形，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴此时； 当时，，为等腰三角形，即此时为轴对称图形，    ∵， ∴， ∴此时； 综上分析可知：当为轴对称图形时，求的度数为或或； ②∵为的外角， ∴， ∴， 化简得：， ∵旋转角， ∴， 即， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了角度的计算、旋转角、三角形外角的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解不等式组，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，并取的中点，连接，，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：，，三点在同一直线上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，于是得到； （2）由题意知，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到结论； （3）设，交于，根据三角形的内角和定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：由旋转的性质知， ； （2）证明：由题意知， ，F是的中点， ， ， ， ； （3）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， 设，交于M， ， ， ， ， ， F，C，E三点在同一直线上． 11．在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1) (2)①或；②的度数为或或或 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质可得，由等腰三角形的性质可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得，可得，由余角的性质可求解； ②分别求出的三个内角，由等腰三角形的性质列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∵将沿翻折至， ， ， ， ； （2）①如图，当点在下方时， ， ， ， ， ， ； 当点在上方时， ， ， 由折叠可得， ； ②当点在下方时， 设，则， ， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 当点在上方时， 设， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 若时，则， ， ， 若时，则， ， ， 当时，则， ，则方程无解， 同理可得：的度数为或． 综上所述：的度数为或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质等知识点，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 12．如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)点G为上一点，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三线合一： （1）证明，即可得证； （2）取的中点，连接，证明，进而得到，，推出，，进而得到，得到两点重合，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：取的中点，连接，则：， ∵，， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即：， ∴， ∵，且都在上， ∴点重合， ∴， ∴． 13．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，． (1)若，，则的度数为________； (2)若是的中点，，求证：； (3)若，分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连接，若， 当是边上的高，且时，则的度数为________； 当不是边上的高时，请判断与之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)；，证明见解析 【分析】（1）利用等边对等角可求出，利用三角形的内角和定理可求出，进而可求出； （2）利用三线合一及三角形的内角和定理可证明，根据可证得，于是可证明； （3）利用三线合一可求出，根据等边对等角可得，利用三角形的内角和定理可求出，然后利用角平分线的定义即可求出； （4）利用三线合一可求出，利用等边对等角及三角形的内角和定理可求出，进而可求出；根据等边对等角可知，，利用三角形外角的性质可得，，然后利用各个角之间的关系，通过等量置换即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：，是的中点， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：，是的中线， ，， ， ， 是的角平分线， ； （4）解：，理由如下： 是边上的高，且， ，是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：； ，证明如下： ，， ，， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质（三线合一，等边对等角），三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握并灵活运用上述知识点是解题的关键． 14．课本再现： （1）在证明“三角形内角和定理”时，小慧的想法是把三个角“凑”到A处，于是她过点A作直线，这样她的“凑”角想法得以实现． 已知：如图1，． 求证：．请你写出辅助线的作法和证明过程． 类比迁移： （2）如图2，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，求的度数． 方法应用： （3）将一块含的直角三角板（，）的顶点G放在直线上，将三角板绕点G旋转，并保持点E在直线的上方，然后过点E作．请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）当点F在直线的上方时，；当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定该与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）过点A作，根据平行得到内错角相等，转化为平角求证； （2）过点B作，则，由等腰三角形结合三角形内角和定理得到，而，则，由，得到； （3）分三种情况讨论，过点作，则，当点F在直线的上方时；当点F在直线与直线之间时；当点F在直线的下方时，利用平行线的性质即可探究与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：过点A作， ， ， ； （2）过点B作， ， ， ∴， ，， ， ， ， ∵， ； （3）①如图，当点F在直线的上方时，， 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴； ②如图中，当点F在直线与直线之间时，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； ③如图3-2中，当点F在直线的下方时，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：当点F在直线的上方时，；当点F在直线与直线之间时，；当点F在直线的下方时，． 15．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”． 理解概念应用： (1)如图1，在中，，，请写出图中的“形似三角形”（写出两对即可）． (2)如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的形似分割线． (3)在中，若，是的形似分割线，直接写出的度数． 【答案】(1)与，与，与； (2)见解析； (3)或或或． 【分析】本题是三角形综合题，考查了“形似三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1） 根据“形似三角形”的定义进行解答即可； （2）根据题意证明为等腰三角形，的各个内角等于的各个内角即可证明结论； （3）分是等腰三角形：或；是等腰三角形：或；四种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：与，与，与是“形似三角形”． （2）解：∵在中，，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵在中，，， ∴， ∴． ∵， ， ，， ∴为的形似分割线． （3）解：当是等腰三角形，时，如图： ∴， ∴， 当是等腰三角形，时，如图： ∴， ∵， ∴； 当是等腰三角形，的情况不存在； 当是等腰三角形，时，如图： ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当是等腰三角形，时，如图： ， ∴， 当是等腰三角形，时不存在， 综上所述，的度数为或或或． 16．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”．    (1)请在图（2）中，作出的“双等腰线”，并标注相等角的度数    ①，     ②，． (2)直角三角形的______就是它的“双等腰线” (3)如果一个顶角是锐角的等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是______． (4)已知中，，和分别是的“三等腰线”，点在边上，点在边上，且，，请根据题意写出度数的所有可能的值______． 【答案】(1)见解析 (2)斜边中线 (3)或 (4)、、、、 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （2）根据直角三角形斜边中线推导即可； （3）设底角度数为，分三种情况利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可； （4）设，根据题意表示三个内角，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图，    取，则， ， ， ， ， 和是等腰三角形； 如图，    作的垂直平分线，交于，交于，连接， ， ， ， ， ， ， 和是等腰三角形； （2）直角三角形斜边中线把直角三角形分成两个等腰三角形， 故答案为：斜边中线； （3）①设是以、为腰的锐角三角形，为“双等腰线”，如图5，    当，时， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ②设是以、为腰的钝角三角形，为“双等腰线”，如图6，    当，时， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 此时顶角不是锐角，排除； ③设是以、为腰的直角三角形，为“双等腰线”，如图7，    当，时，为的垂直平分线， 设，则，， ， ， ， ， 此时顶角不是锐角，排除； ④设顶角为，    可得， 解得：， ， 故答案为：或； （4）如图，    设， ∵，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∵和分别是的“三等腰线”， ∴或是等腰三角形， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，，则； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得； 综上所述，度数的所有可能的值为、、、、． 故答案为：、、、、． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 等腰三角形的性质与判定的五种考法 目录 1 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 1 类型二、等腰三角形的折叠问题 2 类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 3 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 4 类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 6 9 类型一、根据等腰三角形腰定义求第三边或周长 口诀：先锁腰，再分讨。 读题先圈“等腰”二字，把已知的两条相等腰用红笔描粗，第三边暂叫底。 若已知腰长 a 和底长 b，周长＝2a＋b，直接算。 若只知腰长 a 与周长 P，底＝P－2a，记得检查“三角形任意两边和大于第三边”：2a＞底即可。 若只知底 b 与周长 P，腰＝(P－b)÷2，同样要验：2×腰＞底。 一步检验，两步得数，再也不怕漏解！ 例1．若是等腰三角形，是其两边，且满足，则周长为 ． 变式1-1．（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 变式1-2．已知等腰三角形的一边长为，它的周长为，则它的底边长为 ． 变式1-3等腰三角形的底边长为，连接一腰的中点和它所对的顶点，把其周长分为两部分，两部分的差为，则腰长为（　　） A． B． C．或 D．以上结论全不对 类型二、等腰三角形的折叠问题 等腰三角形折叠技巧： 1. 先画原图，把两腰用同色标出，底边放水平。 2. 折痕总在对称轴上，先连顶点与底边中点，得高＋中线＋角平分线“三线合一”。 3. 折后重合部分就是全等形，利用“腰不变、底被平分”列式：若折到腰上，折后两段腰之和＝原腰；若折到顶点，折后两段底之和＝原底。 4. 最后写“三角形两边之和大于第三边”检验，答案就安全。 例2．如图，在三角形纸片中，，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与，分别相交于点、，当为等腰三角形时，的度数为 ． 变式2-1．如图，中，，，将绕点A旋转到（点D与点B对应），且使直线，直线交直线于点G，那么的度数为 ． 变式2-2．点D在的边上，连接，当图中存在三个等腰三角形时，则的度数是 ． 变式2-3．如图，在中，，，和关于直线对称，的平分线交于点，连接，当为等腰三角形时，的度数为 ．    类型三、利用等腰三角形的定义解决新定义型问题 技巧口诀：读定义→找两腰→标记号→套性质。 1. 读新定义，先圈“等腰”两字，再把已知的两条相等边用同一符号标出，底边另标。 2. 若题目给出角度，用“等边对等角”得底角相等；若给边长，用“腰=腰”列方程。 3. 遇折叠、旋转，抓住折痕或旋转后重合的腰，先证全等再求边或角。 4. 最后画草图，用“三角形两边之和大于第三边”检验答案。 例3．定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰的两边长分别是3和9，则这的“优美比”为 ． 变式3-1．定义：点P、Q是图形上任意两动点，线段的最大值称为该图形的“通径”．已知中，，是等腰的最短边，将沿翻折得到，四边形的“通径”是8，将沿翻折得到，四边形的“通径”也是8，则 ．（提示：直角三角形中，若两直角边长为3、4，则斜边长为5） 变式3-2定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰的长为4，则底边的长为 ． 变式3-3概念学习：如果一个三角形被一条线段分割后，得到两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形. (1)【概念应用】如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点D，且是的一条特异线，则_______度； (2)【类比猜想】如图2，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数. 类型四、根据等腰三角形三线合一进行求解及证明 口诀：先找三线合一，再证全等。 1. 画等腰△ABC，AB=AC，标顶点A。 2. 作底边BC上的高AD，高、中线、角平分线三线合一。 3. 用“HL”证Rt△ABD≌Rt△ACD：AB=AC，AD公共，直角。 4. 得BD=DC，∠BAD=∠CAD。 5. 求边或角时，用等腰性质或全等结论即可。 例4．如图，在中，内角与外角的平分线相交于点P，，D在延长线上，交于F，交于G，连接．下列结论：①；②；③垂直平分；④；⑤，其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 变式4-1如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC，给出下列结论：①∠BAD＝∠C；②∠AEF＝∠AFE；③∠EBC＝∠C；④AG⊥EF．其中正确的结论是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 变式4-2阅读下面材料，完成(1)-(3)题． 数学课上，老师出示了这样一道题： 如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向AB左侧作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F．请探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法： 小明：“通过观察和度量，发现∠DFC的度数可以求出来．” 小强：“通过观察和度量，发现线段DF和CF之间存在某种数量关系．” 小伟：“通过作辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．” ...... 老师：“若以AB为边向AB右侧作等边△ABE，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．” （1）求∠DFC的度数； （2）在图1中探究线段EF、AF、CF之间的数量关系，并证明； （3）在图2中补全图形，探究线段EF、AF、DF之间的数量关系，并证明． 变式4-3已知，在中，，，，垂足为点，且，连接. （1）如图①，求证：是等边三角形；    （2）如图①，若点、分别为，上的点，且，求证：； （3）利用（1）（2）中的结论，思考并解答：如图②，为上一点，连结，当时，线段，，之间有何数量关系，给出证明.    类型五、等腰三角形的性质和判定综合问题 口诀：先看边再看角，边等腰定角等，角等腰定边等。 1. 若已知两边相等→直接标“腰”，用“等边对等角”得底角相等。 2. 若已知两角相等→用“等角对等边”得对边相等，先标腰再求边。 3. 遇折叠、旋转，先找重合边或角，证全等得新等腰。 4. 最后画草图，用三角形两边之和大于第三边检查答案。 例5．如图，，；射线从开始绕点逆时针旋转，旋转角为（且），点关于的对称点为，直线与交于点，连接，，则面积的最大值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 变式5-1 如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． (3)若平分的周长，的周长为15，求的周长． 变式5-2 如图，中，点是边上的一点，与共于直线成轴对称，点与点对应． (1)如图1，点在边上，，，求的度数； (2)如图2，点在外，若，，垂足为点，求证：； (3)在（2）的条件下，为上一动点，为上一动点，若，，，直接写出的最小值． 变式5-3 已知：如图①，且，，，点E为上一点，将沿直线翻折，使点B落在边上，记作点F． (1)当，时， ． (2)当时，如果再将图①中的沿直线向右翻折，使点A落在射线上，记作点G，当线段时，请根据题意画出图形，并求出m的值． (3)在（2）的条件下，连接，再将沿直线翻折，得到，直线交射线于点H，若的面积为a，请直接写出的长(用含有a的代数式表示)． 一、单选题 1．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（      ） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，AM⊥CE于P，交BC于M，AN⊥BD于Q，交BC于N，∠BAC＝110°，AB＝6，AC＝5，MN＝2，结论①AP＝MP；②BC＝9；③∠MAN＝35°；④AM＝AN．其中不正确的有（    ）   A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 3．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，点F为上方一点，连接，点M、N分别是延长线上的点，已知，下列结论：①与为内错角；②；③；④平分，其中所有正确结论的序号为 ． 4．如图，有一三角形纸片中，，点D是边上一点，沿方向剪开三角形纸片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是 ． 5．如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ． 6．在中，，，以为边作等边，连接，则的度数为 ． 7．如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ． 三、解答题 8．【阅读】规定：如果一个三角形的三个内角分别与另一个三角形的三个内角对应相等，那么称这两个三角形互为等角三角形．从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是等角三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等角分割线． (1)【理解】如图1，在中，，，请求出图中三对等角三角形． (2)【尝试】如图2，在中，平分，，．求证：为的等角分割线． (3)【应用】在中，，是的等角分割线，请求出的度数． 9．已知直线，现有2个三角板和，，，，边交直线于点．    (1)将这两块三角板摆成如图1的形式，点与重合，求的度数； (2)如图2所示，将图1中的固定，把从图1中的位置绕着点顺时针方向旋转，其中． ①运动中，当为轴对称图形时，求的度数； ②在旋转的过程中，设，，则的取值范围为___________． 10．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，并取的中点，连接，，． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：，，三点在同一直线上． 11．在中，，． (1)如图1，D为边上一定点（不与点B，C重合），将沿翻折至，连结，求与的数量关系． (2)如图2，当点D在边上运动时，仍将沿翻折至，连结． ①当时，求的度数． ②当为等腰三角形时，求的度数． 12．如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接． (1)求证：； (2)点G为上一点，连接，若，求证：． 13．如图，在中，，，分别是边，上的点，连接，． (1)若，，则的度数为________； (2)若是的中点，，求证：； (3)若，分别是的中线和角平分线，，求的度数； (4)连接，若， 当是边上的高，且时，则的度数为________； 当不是边上的高时，请判断与之间的数量关系，并加以证明． 14．课本再现： （1）在证明“三角形内角和定理”时，小慧的想法是把三个角“凑”到A处，于是她过点A作直线，这样她的“凑”角想法得以实现． 已知：如图1，． 求证：．请你写出辅助线的作法和证明过程． 类比迁移： （2）如图2，在中，，，直线，顶点C在直线b上，直线a交于点D，交于点E，若，求的度数． 方法应用： （3）将一块含的直角三角板（，）的顶点G放在直线上，将三角板绕点G旋转，并保持点E在直线的上方，然后过点E作．请直接写出在旋转过程中与之间的数量关系． 15．规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“形似分割线”． 理解概念应用： (1)如图1，在中，，，请写出图中的“形似三角形”（写出两对即可）． (2)如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的形似分割线． (3)在中，若，是的形似分割线，直接写出的度数． 16．定义：如果1条线段将一个三角形分割成2个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这2条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图（1），是的“双等腰线”，、是的“三等腰线”．    (1)请在图（2）中，作出的“双等腰线”，并标注相等角的度数    ①，     ②，． (2)直角三角形的______就是它的“双等腰线” (3)如果一个顶角是锐角的等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是______． (4)已知中，，和分别是的“三等腰线”，点在边上，点在边上，且，，请根据题意写出度数的所有可能的值______． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$