专题09 构造等腰三角形的四种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题09 与等腰三角形有关的常见辅助线作法 目录 1 类型一、三线合一法 1 类型二、截长补短法 4 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 7 类型四、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 9 12 类型一、三线合一法 口诀：遇等腰，先画高，三线合一马上好。 1. 画等腰△ABC(AB=AC)。 2. 取底BC中点D，连AD。 3. AD同时是高、中线、角平分线：可得BD=DC，∠BAD=∠CAD，∠ADB=90°。 4. 用RT△ABD勾股或角关系，把未知边或角转化为已知量即可。 例1．如图，已知等边中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且，，垂足为M． (1)求证：M是的中点； (2)若，则的长为__________． 变式1-1 如图，在中，，，、相交于点．连接，求证 变式1-2．如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 变式1-3．下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，．求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． 类型二、截长补短法 口诀：缺长就“截”，多余就“补”，三线合一当“桥”。 1. 遇等腰△ABC(AB=AC)，求证或求值时，若某线段“少一截”，在腰AB上取点D使AD=目标长，连DC；若“多一截”，延长AB到E使AE=目标长，连EC。 2. 利用等腰底角相等，得△ADC或△AEC与已知三角形全等(SAS)。 3. 由全等得对应边相等，把未知量转到已知边，一步写出答案。 例2．如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 变式2-1．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ； (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 变式2-2．如图，在中，，，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究、与之间的数量关系，并说明理由． (3)若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．请直接写出，与之间的数量关系，并说明理由． 变式2-3．已知线段和点，相交于点． (1)如图1，若点在线段上， ①求证：； ②若，求的度数； (2)如图2，点是线段上方的一点，且保持，连接，请问之间有什么关系？请证明． 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例3．在等边中，点D在边上（不与A，C重合），延长至点E，使，连接． (1)如图1，当点D是边中点时，求证：； (2)如图2，当点D是边上任意一点时，（1）中线段与的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 变式3-1．如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且．    若，求证：． 变式3-2如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 变式3-3已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 类型四、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 例4．如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 变式4-1如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 变式4-2如图 (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 变式4-3小红学习完平行线的证明后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】（1）如图1，平分，E是上任意一点，过点E作，交于点F．请直接写出一个与相等的角； 【拓展延伸】（2）如图2．在（1）的条件下，G为上一点，连接．且．求证：； 【操作探究】（3）如图3，为锐角，射线在内部，，E是边上任意一点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，以点F为圆心，的长为半径画弧，交射线于点M，连接，根据题意补全图形，并直接写出直线与的位置关系． 一、解答题 1．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 2．学习完平行线的知识后，数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下： 【探究】（1）方法1：过的顶点作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点作，求证：． 【论证】（2）方法2：如果将顶点这个特殊的位置换成边上的任意一点，过点分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，是边上的任意一点，求证：． 请聪明的你利用以上探究的结论解决： 【应用】（3）如图3，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①设，则________（用含的代数式表示）； ②设，的度数为________．（用含的代数式表示） 3．如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 4．如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． (3)若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 5．如图，，作的平分线，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，作的角平分线交于点， (1)如图1，当点与点重合时， ①在图1中完成图形； ②直接写出的度数； (2)如图2，当点在线段上时，，求的度数； (3)当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 6．如图，直线，点为直线上的动点，点为直线之间的定点，点为直线上的定点． (1)当与互余（如图）时，与的位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，作，使，，平分，交直线于点平分，交直线于点，将绕点转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围． (3)点为直线上一点，使得，的平分线交直线于点，当点移动时，写出的值． 7．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 8．如图1、2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在等腰中，，平分交于点，求证：． 9．已知等边，在射线上，． (1)如图1，当时，过点作于，交于点．求证：； (2)如图2，点在的延长线上，，，求的值； (3)若点在射线上，在直线上，，那么　　　　　　（用含n的式子表示）． 10．（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 与等腰三角形有关的常见辅助线作法 目录 1 类型一、三线合一法 1 类型二、截长补短法 7 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 16 类型四、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 23 32 类型一、三线合一法 口诀：遇等腰，先画高，三线合一马上好。 1. 画等腰△ABC(AB=AC)。 2. 取底BC中点D，连AD。 3. AD同时是高、中线、角平分线：可得BD=DC，∠BAD=∠CAD，∠ADB=90°。 4. 用RT△ABD勾股或角关系，把未知边或角转化为已知量即可。 例1．如图，已知等边中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且，，垂足为M． (1)求证：M是的中点； (2)若，则的长为__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）连接，根据等边三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质推出，从而得到为等腰三角形，利用等腰三角形三线合一的性质即可得证, （2）根据角直角三角形的性质，即可求解， 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，角直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在等边中，点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 又∵， ∴点是的中点， （2）解：∵，， ∴是直角三角形， ∴． 变式1-1 如图，在中，，，、相交于点．连接，求证 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和等腰三角形的三线合一的性质解答即可． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 变式1-2．如图，在中，，过的中点作，，垂足分别为、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关键． （1）连接，根据“三线合一”得出平分，再根据角平分线的性质定理，即可求证； （2）先根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据“等边对等角”得出，最后根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，D是的中点， 平分， ，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ． 变式1-3．下面是琪琪同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，．求证：． 方法一 证明：如图，延长至点，使，连接． 方法二 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质； （1）根据条件证明是等边三角形，根据三线合一的性质即可证明； （2）根据条件证明是等边三角形，从而再证明即可． 【详解】解：方法一：如图：延长到点，使得，连接， ， ， ，， 又， 是等边三角形， ， ， ， ； 方法二：如图，在线段上取一点，使得，连接， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 即． 类型二、截长补短法 口诀：缺长就“截”，多余就“补”，三线合一当“桥”。 1. 遇等腰△ABC(AB=AC)，求证或求值时，若某线段“少一截”，在腰AB上取点D使AD=目标长，连DC；若“多一截”，延长AB到E使AE=目标长，连EC。 2. 利用等腰底角相等，得△ADC或△AEC与已知三角形全等(SAS)。 3. 由全等得对应边相等，把未知量转到已知边，一步写出答案。 例2．如图，，，，，垂足为F．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． （1）根据证明即可； （2）根据，，求出，根据全等三角形性质得出，根据，得出，即可求出； （3）延长到，使得，连接，由得，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， ， ； （3）解：；理由如下： 延长到G，使得，连接，如图所示： ， ， ， ， ，， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ．    变式2-1．如图，在四边形中，，，平分． (1)如图，若，，则 ； (2)问题解决：如图，求证：； (3)问题拓展：如图，在等腰中，，平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定义及外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）若，可得， ，再根据角平分线的性质即可求解； （2）如图，过点分别作于，的延长线于点，由角平分线的性质可得，再由，可得，即可证明，得到； （3）如图3，在上取，由等腰三角形的性质可得，进而得到，再得到，即得，再由（2）可得，然后根据三角形外角性质可得，可得到，进而得到，即得，据此即可求证． 【详解】（1）解：若，则，， ，， 平分， ， 故答案为：； （2）证明：如图，过点分别作于，的延长线于点，则， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，在上取， 是等腰三角形，， ， 平分， ， ， ， ， 由（2）可得，， ， ， ， ， ， ， 即． 变式2-2．如图，在中，，，是的角平分线，于点． (1)如图1，连接，求证：是等边三角形； (2)点是线段上的一点（不与点，重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究、与之间的数量关系，并说明理由． (3)若点是射线上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．请直接写出，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据等角对等边得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，推得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可证明； （2）延长使得，连接，根据直角三角形的性质得出，结合对顶角相等和有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得出是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等得出，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等推得，即可得出； （3）延长至，使得， 根据直角三角形的性质得出，推得，根据等边三角形的判定和性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，即可推得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示：    在中，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：，理由如下： 如图2所示：延长使得，连接， ∵，，于点， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 延长至，使得， 由（1）得，， ∵于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质、等腰三角形的性质，对顶角相等，角平分线的定义等，根据已知做出正确辅助线是解题关键． 变式2-3．已知线段和点，相交于点． (1)如图1，若点在线段上， ①求证：； ②若，求的度数； (2)如图2，点是线段上方的一点，且保持，连接，请问之间有什么关系？请证明． 【答案】(1)①见解析；②； (2)，见解析； 【分析】（1）①证明即可； ②由即可求解； （2）连接，则是等边三角形；设交于点N，在上截取，连接；与（1）同理可得，进而得，则是等边三角形，证明，则，从而可证明结论成立． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴； （2）解：； 证明如下：如图，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 设交于点N，在上截取，连接； 与（1）同理可得； ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和，三角形外角的性质，证明三角形全等是解题的关键． 类型三、过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 例3．在等边中，点D在边上（不与A，C重合），延长至点E，使，连接． (1)如图1，当点D是边中点时，求证：； (2)如图2，当点D是边上任意一点时，（1）中线段与的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立；，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，准确作出辅助线是解题关键． （1）由是等边三角形，可得，由D是的中点，可得平分，， ，由，可得，可求，可得即可； （2）过点D作交于F，证明是等边三角形，得出，证明得出结论即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵D是的中点， ∴平分，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：成立；，理由如下： 过点D作交AB于F， ∵是等边三角形 ∴，， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式3-1．如图，在中，，以为边作，使得，E为边上一点，连接，，且．    若，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．过点A作交于点M．证明．得到，则，即可得到结论； 【详解】证明：如图1，过点A作交于点M．    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，即． 变式3-2如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．    (1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________； (2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点) (3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定． （1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案； （2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ． ∵点为中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，交于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于点，    则， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 变式3-3已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． (1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． (2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质； （1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论； （2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， 为等边三角形， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ， ， ∵ ， ； （2）解：，理由如下： 过点E作交于点F，如图， ∵， ∴， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ． 类型四、利用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC,由“ASA”易得△ABD≌△ACD，从而得AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形． 例4．如图，在中，平分，E是上一点，，且． (1)如果，则的度数为______； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义求出，根据三角形内角和计算，得到答案； （2）作于，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：， ， ∵平分， ， ∵，即， ， 故答案为：． （2）解：． 证明：过点作于点， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 变式4-1如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 变式4-2如图 (1)【问题情境】 利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据 　　证明，则，（即点C为的中点）． (2)【类比解答】 如图2，在中，平分 ，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得　　． (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (4)【实际应用】 如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 (4)的面积是 【分析】（1）证（），得，即可； （2）延长交于点F，由问题情境可知，，再由等腰三角形的性质得，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （3）拓展延伸延长、交于点F，证（），得，再由问题情境可知，，即可得出结论； （4）实际应用延长交于E，由问题情境可知，，，则，再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， 故答案为：； （2）解：如图2，延长交于点F， 由可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，证明如下： 如图3，延长、交于点F， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， 由问题情境可知，， ∴； （4）解：如图4，延长交于E， 由问题情境可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：的面积是． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 变式4-3小红学习完平行线的证明后，对三角形的内角和定理及外角进行了如下探究： 【问题解决】（1）如图1，平分，E是上任意一点，过点E作，交于点F．请直接写出一个与相等的角； 【拓展延伸】（2）如图2．在（1）的条件下，G为上一点，连接．且．求证：； 【操作探究】（3）如图3，为锐角，射线在内部，，E是边上任意一点，以点E为圆心，的长为半径画弧，交射线于点F，以点F为圆心，的长为半径画弧，交射线于点M，连接，根据题意补全图形，并直接写出直线与的位置关系． 【答案】（1）（或）；（2）证明见解析；（3）当点在线段上时，补全图形见解析，此时；当点在射线上时，补全图形见解析，此时 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）延长，交于点，先根据等腰三角形的判定可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，根据等腰三角形的判定可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （3）分两种情况：①当点在线段上时，设，则，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得；②当点在射线上时，先根据等腰三角形的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，从而可得，然后根据等量代换可得，根据平行线的判定即可得． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 所以与相等的角是（或）． （2）证明：如图，延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 由（1）已得：，， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当点在线段上时，补全图形如下： 延长，交于点， 设，则， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴； ②当点在射线上时，补全图形如下： 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 综上，当点在线段上时，；当点在射线上时，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． 一、解答题 1．（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 2．学习完平行线的知识后，数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下： 【探究】（1）方法1：过的顶点作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明． 如图1，在中，过顶点作，求证：． 【论证】（2）方法2：如果将顶点这个特殊的位置换成边上的任意一点，过点分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明． 如图2，在中，是边上的任意一点，求证：． 请聪明的你利用以上探究的结论解决： 【应用】（3）如图3，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①设，则________（用含的代数式表示）； ②设，的度数为________．（用含的代数式表示） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①；② 【分析】（1）如图1，在中，过顶点作，由两直线平行，内错角相等得到，由三点共线，即可得到； （2）如图2，在中，是边上的任意一点，过点作、，由平行线性质得到，由三点共线，即可得到； （3）①由角平分线定义，结合三角形内角和定义，数形结合将表示出来即可得到答案；②过点作于点，如图所示，由等腰三角形判定与性质得到，且是平分线，再由，等量代换即可得到，结合①中，得到，在中，由直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，在中，过顶点作， ， 三点共线， ， 则； （2）证明：如图2，在中，是边上的任意一点，过点作、， ， 三点共线， ， 则； （3）解：①如图所示： 是的平分线， ， 是的平分线， ， 在中，，则由三角形内角和定理可得， ， 在中，由三角形内角和定理可得， 故答案为：； ②过点作于点，如图所示： ， 为等腰三角形，且， 由等腰三角形三线合一性质可知，且是平分线， ， ， ， 由①知， ， 在中，，则， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明及应用，涉及平行线的性质、平角定义、角平分线定义、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，根据问题构造辅助线并灵活运用是解决问题的关键． 3．如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键． 4．如图，在等边中，点D为边上一点，将沿翻折得到，连接并延长，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)过点D作交于点G，连接交于点H，求证：． (3)若，，则的长为______（用含a，b的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证出．设，则，由三角形外角的性质可得答案； （2）连接．证明是等边三角形，得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）过点A作于点M，证出，得出，求出，则可得出答案． 【详解】（1）解：由折叠得，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 设，则， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点A作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 5．如图，，作的平分线，过射线上一点作交射线于点，点是直线上一点，连接，作的角平分线交于点， (1)如图1，当点与点重合时， ①在图1中完成图形； ②直接写出的度数； (2)如图2，当点在线段上时，，求的度数； (3)当点在直线（不与，重合）上时，，直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①见解析；②； (2)； (3)的度数为或或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质三角形内角和定理以及三角形的外角性质． （1）①根据题意画出图形即可；②利用角平分线的定义结合平行线的性质求得，推出，再利用等腰三角形的性质求解即可； （2）利用平行线的性质求得，利用三角形的外角性质求得，利用角平分线的定义求得，再利用三角形内角和定理求解即可； （3）分三种情况讨论，同理，求解即可． 【详解】（1）解：①如图1所示， ②∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； （3）解：当点在线段上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； 当点在射线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； 当点在射线上时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，是的平分线， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 6．如图，直线，点为直线上的动点，点为直线之间的定点，点为直线上的定点． (1)当与互余（如图）时，与的位置关系是 ． (2)在（1）的条件下，作，使，，平分，交直线于点平分，交直线于点，将绕点转动，且始终在的内部时，的值是否发生变化？若不变，求其值，若变化，求其变化范围． (3)点为直线上一点，使得，的平分线交直线于点，当点移动时，写出的值． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，余角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交直线于点，得到，求出，即可得到； （2）不变化，理由如下，过点作，得到，得出，求出，即可得到答案； （3）延长交于点，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质求出，即可得到． 【详解】（1）解：如图，延长交直线于点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：不变化，理由如下， 如图，过点作， ，， ， ， ，，， 平分， 平分， ， ， ， ； （3）解：如图，延长交于点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 7．如图，是等边三角形，过点的直线，点是直线上一动点． (1)如图1，作，交延长线于点，求证：． (2)如图2，点在边上（点不与点、重合），连接，作，交直线于点，连接． ①若，，当周长最小时，求的长； ②当点在直线上运动的过程中（点不与点重合），猜想、、之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①1；②或或，理由见解析 【分析】（1）由等边三角形的性质结合平行线的性质证明，即可得出结论； （2）①在上作，连接，易证是等边三角形，结合平行线的性质可证，即得出，判断出为等边三角形，即说明当最短时，周长最小．过点作于点E，根据垂线段最短可知此时最短，由全等三角形的性质又可证，得出，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时和ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，分别作出辅助线构造全等三角形解答即可． 【详解】（1）证明： 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ； （2）解：①如图，在上作，连接， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ． 直线， ， ， ． ，， ，即， ， ， ∴为等边三角形， ∴当最短时，周长最小． 如图，过点作于点E，即此时最短， ∵， ∴此时， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴； ②分类讨论：ⅰ当点E在下方时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅱ当点E在上方，点G在点B的左侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴； ⅲ当点E在上方，点G在点B的右侧时，如图，在上截取，连接． ∵， ∴为等边三角形， ∴，． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． 综上可知、、之间的等量关系为：或或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理，正确作出辅助线构造全等三角形． 8．如图1、2，在四边形中，，，平分． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，求证：； (3)如图3，在等腰中，，平分交于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由题意可得出，，再由角平分线的性质定理即可得出． （2）过点分别作于，于，由角平分线的性质定理得出，再证明，再证明 ，由全等三角形的性质即可得出． （3）由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，在上取，连接，再利用等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求出， 由（2）可知，，由三角形外角的定义以及性质得出，由等角对等边得出， 进而可得出，进而可得出 ． 【详解】（1）解：， ，， ，， 平分， ； （2）解：证明：如图2，过点分别作于，于， 则， 平分， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）证明：是等腰三角形，， ， 平分， ， 如图3，在上取，连接， ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质，三角形外角的定义以及性质，三角形内角和定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 9．已知等边，在射线上，． (1)如图1，当时，过点作于，交于点．求证：； (2)如图2，点在的延长线上，，，求的值； (3)若点在射线上，在直线上，，那么　　　　　　（用含n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)的值为； (3)或或 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，过某一点作已知等边三角形某边的平行线构造一个新的等边三角形，这是解决等边三角形常用的方法之一． （1）根据等边三角形的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，从而得到，根据等角对等边可得，然后根据求出，再求出，从而得到； （2）过作交的延长线于，然后求出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等，然后求出，再求出即可得解； （3）与（2）的求解相同求出，列出的表示，然后整理即可得到的值． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，而， ， ； （2）解：如图2，过作交的延长线于． 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）解：①当点在线段的延长线上，如图3， 与（2）方法相同求出， 所以，， ． ②当点在线段上，如图4， 过作交的延长线于． 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ③在线段上，在射线上， 设．则，，，，． 综上所述，或或． 故答案为：或或． 10．（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 【答案】（1）全等；理由见解析；（2）；理由见解析；（3） 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先根据等角对等边证明，再根据证明三角形全等即可； （2）延长，交于点G，证明，得出，证明，得出； （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，证明，得出，证明，得出，求出即可． 【详解】解：全等；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）；理由如下： 延长，交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$