第1章 集合（知识清单）数学苏教版2019必修第一册

第1章 集合 清单01 集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做 ，简称 ，其中各事物叫做集合的 或简称 ，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母 表示.集合的元素通常用小写字母 表示. 清单02 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为 ，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母 ，集合一般用大写字母 表示，两者之间的关系是 与 关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1） ：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2） （考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3） ：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 清单03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素 （不考虑元素的顺序），并且写在 ，这种表示集合的方法叫做 ，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的 ，再划一条 ，在竖线后面写上集合中元素所 ，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做 ．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 清单04 图（维恩图） 在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图形称为 。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 清单05 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中 都是集合中的元素，我们就说这两个集合 有 关系，称集合为集合的 （1）记法与读法：记作 ，读作 （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 清单06集合相等 一般地,如果集合的 都是集合的元素,同时集合的 都是集合的元素,那么集合与集合 ,记作 .也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 清单07 真子集的含义 如果集合，但 元素 ，且 ，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作 ，读作 （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 清单08 空集的含义 我们把 的集合，叫做 ，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即 ; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 清单09 交集 一般地，由 集合又 集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的 ，记作 .记作： . 交集的性质：,,,,. 清单10 并集 一般地，由所有属于集合 属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的 ，记作 .记作： . 并集的性质：,,,,. 清单11全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的 ，记作 . 补集的性质： , , . 易错点1 忽略集合元素互异性 错误：元素与集合关系中，求解出参数忽视了回代检验集合元素的互异性 注意：集合元素互异性是集合的重要特征，求解时要特别注意代入参数检验是否满足集合元素的互异性 例题1-1 已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 例题1-2已知集合，且，求x的值. 易错点2 混淆点集，数集 错误：在用描述法表示集合时特别注意判断一般元素代表：如表示的是数集，表示的是点集 注意：注意看清一般元素代表 例题2-1下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 例题2-2有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 易错点3 忽视了空集 错误：包含关系，最容易忽视空集，空集是任何集合的子集 注意：包含关系，空集优先 例题3-1已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 易错点4 集合运算时混淆了端点可取等（不可取等） 错误：在包含关系中，最容易混淆端点是否可以取到等号 注意：可采用①先确定大范围②单独验证端点能否取到 例题4-1已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题4-2已知集合． （Ⅰ）若，，求实数的取值范围； （Ⅱ）若，，求实数的取值范围． 1．若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 2．方程组的解集不可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 5．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6． ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若集合,则实数的取值范围是    (　　) A． B． C． D． 8．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 9．已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 10．（多选）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．（多选）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 13．已知集合，且，则 ． 14．已知集合，且，则实数的值为 ． 15．若，的值为 . 16．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合 清单01 集合的含义 集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示. 清单02 元素与集合 1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A． 2、集合中元素的三大特征： （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 3.集合相等 若，且，则. ①若，且，则. ②欲证，只需证，且. 清单03 集合的表示方法 1.常用数集及其记法 ①自然数集 （包含和正整数） ②正整数集 或 ③整数集 ④有理数集 ⑤实数集 2.集合的表示方法 将集合中的元素一一列举出来（不考虑元素的顺序），并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法，例如，方程的解的集合，可表示为，也可表示为 在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的解的集合可表示为． 集合可以用封闭的图形或数轴表示，有限集一般用文氏图表示，无限集一般用数轴表示． 区间：在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成 的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念． 闭区间在数轴上表示 开区间在数轴上表示 半开半闭区间在数轴上表示 这里的实数a,b统称为这些区间的端点． 清单04 图（维恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 清单05 子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 清单06集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 清单07 真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 清单08 空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 清单09 交集 一般地，由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合即由集合和集合的相同元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作（读作：交）.记作：. 交集的性质：,,,,. 清单10 并集 一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作 （读作：并）.记作：. 并集的性质：,,,,. 清单11全集与补集 全集：在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫做全集，常用表示，全集包含所有要研究的这些集合. 补集：设是全集，是的一个子集（即）,则由中所有不属于集合的元素组成的集合，叫做中子集的补集，记作 ，即. 补集的性质： , , . 易错点1 忽略集合元素互异性 错误：元素与集合关系中，求解出参数忽视了回代检验集合元素的互异性 注意：集合元素互异性是集合的重要特征，求解时要特别注意代入参数检验是否满足集合元素的互异性 例题1-1 已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 例题1-2已知集合，且，求x的值. 【答案】或 【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，结合集合元素的互异性，可得答案. 【详解】∵，∴或，∴或. 当时，，满足集合元素的互异性，∴符合题意； 当时，，也满足集合元素的互异性，∴也符合题意. 综上，x的值为或. 易错点2 混淆点集，数集 错误：在用描述法表示集合时特别注意判断一般元素代表：如表示的是数集，表示的是点集 注意：注意看清一般元素代表 例题2-1下列各组中的、表示同一集合的个数是（    ） ①，； ②，； ③， ④，. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】利用集合相等的概念判断. 【详解】在①中，是数集，是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，，表示的不是同一个点，故②错误； 在③中，，，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，表示数集，表示点集，故④错误. 故选：B. 例题2-2有两组集合（1），；（2），其中集合相等的是第 组． 【答案】（1） 【分析】根据集合相等的概念判断即可. 【详解】两个集合的元素完全相同就是相等集合. 对于（1），集合与集合中均为数集，且它们的元素完全相同，是相等的集合，体现了集合的无序性； 对于（2），集合与集合中均为点集，点和点是不同的点， 所以集合与集合的元素不同，不是相等的集合. 故答案为：（1）. 易错点3 忽视了空集 错误：包含关系，最容易忽视空集，空集是任何集合的子集 注意：包含关系，空集优先 例题3-1已知集合，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的包含关系，对集合是否是空集分类讨论即可求解． 【详解】当时，， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 故选：C 例题3-2已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，，即，满足； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 易错点4 集合运算时混淆了端点可取等（不可取等） 错误：在包含关系中，最容易混淆端点是否可以取到等号 注意：可采用①先确定大范围②单独验证端点能否取到 例题4-1已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 例题4-2已知集合． （Ⅰ）若，，求实数的取值范围； （Ⅱ）若，，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）先求出集合，再利用集合与集合的包含关系，列出不等式组，即可求出的取值范围. （Ⅱ）先求出集合，再利用集合与集合的包含关系，列出不等式组，即可求出的取值范围，注意对空集的讨论． 【详解】集合， （Ⅰ）， ，解得：， 实数的取值范围为：； （Ⅱ）， ①当时，，即， ②当时，，解得：， 综上所述，实数的取值范围为：． 【点睛】本小题主要考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 1．若，则a的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意得，或，或，分别求解，再由集合元素的互异性验证即可. 【详解】因为， 所以，或，或， 当时，得，此时集合为，不合题意，舍去， 当时，得，此时集合为， 当时，得无解， 综上，. 故选：A 2．方程组的解集不可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由方程组判断集合为点集，结合选项判断错误. 【详解】解方程组得：， 方程组的解集是，的一对值， 用集合表示为点集， 选项，，是正确的；选项是数集，不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查判断集合是否为同一集合，属于基础题. 3．下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质可判断. 【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 4．已知集合，，若，则a的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．0，1或 【答案】D 【分析】按照Q为空集和Q不是空集分类讨论，利用集合关系及方程的解列式求解即可. 【详解】，， 由题意，当Q为空集时，，满足； 当Q不是空集时，， 由得或，解得或． 综上，a的值是0，1或. 故选：D 5．已知集合，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分情况讨论集合是否为空集，再根据集合间的包含关系列出不等式组求解，最后综合两种情况得出的取值范围. 【详解】当为空集时，时.解不等式，可得. 因为空集是任何集合的子集，所以当时，. 当不为空集时，时，解不等式，可得. 此时，要使，那么集合中的元素都要满足集合的范围.    已知，，所以需满足. 解不等式，可得. 综合可得，又因为前提是，所以取交集得. 综合两种情况，将和两种情况综合起来，取并集可得. 能使成立的所有组成的集合为， 故选： C. 6． ，，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可得，从而可讨论B是否为空集建立不等关系解出的范围即可． 【详解】已知集合，， ，， ①当时，满足，此时，故； ②当时，因，则，解得． 综上，． 故选：A. 7．若集合,则实数的取值范围是    (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要考虑两种情况，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数的取值范围． 【详解】设 当时，，满足题意 当时，时二次函数 因为 所以恒大于0，即 所以，解得． 【点睛】本题考查的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论． 8．已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 9．已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得到，构造不等式求解即可. 【详解】因为，所以，又， 所以解得： 故选：D 10．（多选）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【分析】根据元素与集合的关系，结合集合中元素的互异性求解. 【详解】由，则或， 若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 综上，的可能取值为或. 故选：AD. 11．（多选）下列表示不是同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ABD 【分析】A选项两个集合的元素不同，BD选项两个集合一个是点集一个是数集. 【详解】A选项：，分别表示两个点集，不是同一个点，表示不是同一集合； B选项：表示直线上的点的坐标，表示直线上的点的纵坐标，表示不是同一集合； C选项：，两个集合相同； D选项：是数集，是有序数对构成的集合，表示不是同一集合. 故选：ABD 12．(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【详解】当时，满足，此时； 当时，，此时， 因为，所以或， 即；或 综上所述，或或， 故选：BCD. 13．已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 14．已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 15．若，的值为 . 【答案】2 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因为， 所以或3或， 当时，，此时集合中元素有1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故答案为：2 16．已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$