2.3.3 直线与圆的位置关系 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．(多选)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是(　　) A．相交　 B．相切　　C．相离　　D．不能确定 解析：AB　[根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．] 2．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　) A.或－　　　　　 B．－或3 C．－3或 D．－3或3 解析：C　[圆的方程为(x－1)2＋y2＝3 ，圆心(1,0)到直线的距离等于半径⇒＝⇒|＋m|＝2⇒m＝或m＝－3，故选C.] 3．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　 ) A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4 解析：D　[依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋2a－11＝0，a＝4. 故＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5， (1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4.] 4．已知圆(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a＝(　　) A．－2　　 B．－4　　　C．－6　　　D．－8 解析：B　[圆心(－1,1)，r＝，设圆心到直线的距离为d， ∴d＝＝＝，d＝＝，∴＝，∴a＝－4.] 5．(多选题)若过点A(3,0)的直线l与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率可能是(　　) A．－1　　 B．－　　　C.　　　D. 解析：BC　[由题意知直线l的斜率必存在，设为k，则l的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，圆心C(1,0)．半径r＝1.直线与圆有公共点，需≤1，所以|2k|≤，得k2≤，所以－≤k≤，对照选项知B，C适合．] 6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为　________　. 解析：直线方程为y＝x，圆方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线的距离d＝＝，弦长l＝2＝2＝2. 答案：2 7.如图所示，一座圆拱桥，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　________　m. 解析：如图所示，以圆拱拱顶为坐标原点， 以过拱顶的竖直直线为y轴， 建立直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B， 则由已知得A(6，－2)，B(－6，－2)． 设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2. 将点A的坐标(6，－2)代入圆的方程，解得r＝10. 所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100. 当水面下降1 m后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)．将A′的坐标(x0，－3)代入圆的方程，求得x0＝.所以水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2(m)． 答案：2 8．已知两点O(0,0)，A(6,0)，圆C以线段OA为直径， (1)求圆C的方程； (2)若直线l1的方程为x－2y＋4＝0，直线l2平行于l1，且被圆C截得的弦MN的长是4，求直线l2的方程． 解：(1)依题意知：圆C的半径r＝＝3， 圆心坐标为(3,0)，故圆C的方程为(x－3)2＋y2＝9. (2)∵直线l2平行于l1，直线l1的方程为x－2y＋4＝0， ∴设直线l2的方程为x－2y＋C＝0， 又∵ 弦长|MN|＝4，圆的半径为3，故圆心C到直线l2的距离d＝＝＝， ∴|3＋C|＝5，得C＝2或C＝－8， ∴直线l2的方程为x－2y＋2＝0或x－2y－8＝0. [能力提升练] 9．(多选)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是(　　) A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4 解析：AB　[x2＋y2－4x＝0，∴(x－2)2＋y2＝4，过P所作的圆的两条切线相互垂直，所以P，圆心C，两切点构成正方形，且|PC|＝2，即(x－2)2＋y2＝8，P在直线y＝k(x＋1)上，圆心距d＝≤2，计算得到－2≤k≤2，故答案选AB.] 10．点P在直线2x＋y＋10＝0上，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点， O为坐标原点，则四边形PAOB面积的最小值为(　　) A．24　　 B．16　　　C．8　　　D．4 解析：C　[因为切线PA，PB的长度相等，所以四边形PAOB面积为△APO的面积的2倍．因为PA⊥AO, 所以要求四边形PAOB面积的最小值，应先求|PA|的最小值．当|OP|取最小值时，|PA|取最小值．|OP|的最小值为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离d＝＝2，因为圆x2＋y2＝4的圆心坐标为O(0,0)，半径为r＝2.进而可求切线PA的长度的最小值，最小值为＝4.可求四边形PAOB面积的最小值S＝2S△APO＝2××|PA|×|AO|＝4×2＝8.] 11．已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为　______________　. 解析：所求圆的圆心在直线x＋y＝0上， 设所求圆的圆心为(a，－a)．又因为所求圆与直线x－y＝0相切， 所以半径r＝＝|a|.又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为， 圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝， 所以d2＋2＝r2，即＋＝2a2， 解得a＝1，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2. 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2 12．已知圆M过C(1，－1)，D(－1,1)两点，且圆心M在x＋y－2＝0上． (1)求圆M的方程； (2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值． 解：(1)设圆M的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 根据题意得⇒， 故所求圆M的方程为： (x－1)2＋(y－1)2＝4 (2)如图 四边形PAMB的面积为S＝S△PAM＋S△PBM 即S＝(|AM||PA|＋|BM||PB|) 又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|, 而|PA|＝，即S＝2. 因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可， |PM|的最小值即为点M到直线3x＋4y＋8＝0的距离，所以|PM|min＝＝3， 四边形PAMB面积的最小值为2＝2. [素养培优练] 13．(多选题)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，|AB|＝|AC|＝4，点B(－1,3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是(　　) A．圆M上点到直线x－y＋3＝0的最小距离为2 B．圆M上点到直线x－y＋3＝0的最大距离为3 C．若点(x，y)在圆M上，则x＋y的最小值是3－2 D．圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8与圆M有公共点，则a的取值范围是[1－2，1＋2] 解析：ACD　[由|AB|＝|AC|可得△ABC外心、重心、垂心均在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的“欧拉线”即为线段BC的垂直平分线，由点B(－1，3)，点C(4，－2)可得线段BC的中点为，且直线的BC的斜率kBC＝＝－1，所以线段BC的垂直平分线的斜率k＝1，所以线段BC的垂直平分线的方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，又圆M：(x－3)2＋y2＝r2的圆心为(3,0)，半径为r，所以点(3,0)到直线x－y－1＝0的距离为＝＝r，所以圆M：(x－3)2＋y2＝2，对于A、B，圆M的圆心(3,0)到直线x－y＋3＝0的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线x－y＋3＝0的最小距离为3－＝2，最大距离为3＋＝4，故A正确，B错误；对于C，令z＝x＋y即x＋y－z＝0，当直线x＋y－z＝0与圆M相切时，圆心(3,0)到直线的距离为＝，解得z＝3＋2或z＝3－2，则x＋y的最小值是3－2，故C正确；对于D，圆(x－a－1)2＋(y－a)2＝8圆心为(a＋1，a)，半径为2，若该圆与圆M有公共点，则2－≤≤2＋即2≤(a－2)2＋a2≤18，解得1－2≤a≤1＋2，故D正确．故选：ACD.] 14.如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约　________　秒(精确到0.1). 解析：以点O为坐标原点，建立所示的平面直角坐标系，可设点P(－10，－10＋1.5t)，Q(10,10－t)， 可得出直线PQ的方程y－10＋t＝(x－10)， 圆O的方程为x2＋y2＝1，由直线PQ与圆O有公共点，可得≤1，化为3t2＋16t－128≤0，解得0≤t≤，而≈4.4，因此，点Q在点P的盲区中的时长约为4.4秒． 答案：4.4 学科网（北京）股份有限公司 $$