2.3.2 圆的一般方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2,3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为(　　) A．4，－6,3　　　　　 B．－4,6,3 C．－4，－6,3 D．4，－6，－3 解析：D　[由题意得，－＝－2，－＝3，＝4，解得D＝4，E＝－6，F＝－3.] 2．已知圆C的圆心坐标为(2，－3)，且点(－1，－1)在圆上，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 B．x2＋y2－4x＋6y－8＝0 C．x2＋y2－4x－6y＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＝0 解析：D　[易知圆C的半径为，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，展开得一般方程为x2＋y2－4x＋6y＝0.] 3．曲线x2＋y2＋2x－2y＝0关于(　　) A．直线x＝轴对称 B．直线y＝－x轴对称 C．点(－2，)中心对称 D．点(－，0)中心对称 解析：B　[原方程化为(x＋)2＋(y－)2＝4，表示以(－，)为圆心，半径长为2的圆．又圆过原点，故原点与圆心的连线方程为y＝－x，圆关于此直线轴对称，故应选B.] 4．当a取不同的实数时，由方程x2＋y2＋2ax＋2ay－1＝0可以得到不同的圆，则(　　) A．这些圆的圆心都在直线y＝x上 B．这些圆的圆心都在直线y＝－x上 C．这些圆的圆心都在直线y＝x或y＝－x上 D．这些圆的圆心不在同一条直线上 解析：A　[由题意知圆心为(－a，－a)，则圆心都在直线y＝x上．] 5．(多选)已知直线l与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋a＝0相交于A，B两点，弦AB的中点为M(0,1)，则实数a的取值可为(　　) A．1　　 B．2　　　C．3　　　D．4 解析：AB　[圆C的标准方程为：(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，故a<5.又因为弦AB的中点为M(0,1)，故M点在圆内，所以(0＋1)2＋(1－2)2<5－a即a<3.综上，a<3.故选：AB.] 6．动圆x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程为　____________　. 解析：设动圆圆心为(x，y)，由题意得整理得x－2y－1＝0. 答案：x－2y－1＝0 7．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作《圆锥曲线论》，该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题，其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”，简称“阿氏圆”．用解析几何方法解决“到两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为的动点M轨迹方程是：x2＋y2＋2x－3＝0”，则该“阿氏圆”的半径是　_____　. 解析：因为x2＋y2＋2x－3＝0，所以(x＋1)2＋y2＝4，所以半径为2. 答案：2 8．已知直线l在y轴上的截距为－2，且垂直于直线x－2y－1＝0. (1)求直线l的方程； (2)设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程． 解：(1)设直线l的方程为y＝kx－2. ∵直线x－2y－1＝0的斜率为，所以直线l的斜率k＝－2. 则直线l的方程为y＝－2x－2. (2)设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 由于△OAB是直角三角形， 所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为|AB|； 由A(－1,0)，B(0，－2)得C，|AB|＝； 故， 解得D＝1，E＝2，F＝0. 则圆C的一般方程为：x2＋y2＋x＋2y＝0. [能力提升练] 9．在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，点P在圆C：x2＋y2－4x－4y＋6＝0上运动，则向量与的夹角的取值范围是(　　 ) A. B. C. D. 解析：D　[圆C的方程：x2＋y2－4x－4y＋6＝0可以化为(x－2)2＋(y－2)2＝2， 圆心C(2,2)，半径r＝， 画出图像： 由图可知：向量与的夹角为∠AOP， 当P运动到OP与圆C相切的P1位置时，∠AOP最小， 当P运动到OP与圆C相切的P2位置时，∠AOP最大， 又由图可得∠AOC＝，sin∠P1OC＝＝＝ ∴∠P1OC＝∠P2OC＝，∴∠AOP1＝－＝，∴∠AOP2＝＋＝. 向量与的夹角的取值范围是] 10．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　) A．π　　 B．4π　　　C．8π　　　D．9π 解析：B　[设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.] 11．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是　________　. 解析：直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝＝，所以圆上任意一点到直线AB的最小距离为－1，S△ABC＝×|AB|×＝×2×＝3－. 答案：3－ 12．已知圆C∶x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)． (1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值． 解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上， ∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0， ∴a＝4，P(4,5)， ∴|PQ|＝＝2，kPQ＝＝. (2)∵圆心C坐标为(2,7)， ∴|QC|＝＝4， 圆的半径是2，点Q在圆外， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. [素养培优练] 13．(多选)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，点B是圆C：(x－2)2＋y2＝4上任一点，点P为AB的中点，若点M满足|MA|2＋|MO|2＝58，则线段PM的长度可能为(　　) A．2　　 B．4　　　C．6　　　D．8 解析：BC　[设P(x，y)，点P为AB的中点，所以B(2x＋4,2y)，代入圆C：(x－2)2＋y2＝4， 可得：(2x＋4－2)2＋(2y)2＝4，整理得：点P的轨迹方程为：(x＋1)2＋y2＝1. 设M(x，y)，则(x＋4)2＋y2＋x2＋y2＝58，∴(x＋2)2＋y2＝25，则易知当两圆心和PM共线时取得最大值和最小值即3≤|PM|≤7.故选：BC.] 14．已知A(－2,0)，B(2,0)，动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是　_______________　；又若·＝0，此时△MAB的面积为　___________　. 解析：A(－2,0)，B(2,0)，设M(x，y)，由|MA|＝2|MB|，得， ＝2， 整理得：3x2＋3y2－20x＋12＝0；以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4， 联立，解得|y|＝.即M点的纵坐标的绝对值为. ∴此时△MAB的面积为S＝×4×＝. 答案：3x2＋3y2－20x＋12＝0　 学科网（北京）股份有限公司 $$