2.3.1 圆的标准方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋y2＝5　　　 B．x2＋(y－2)2＝5 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5 解析：A　[(－2,0)关于原点P(0,0)对称的点为(2,0)．故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.] 2．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　) A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 解析：A　[圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为M(1,0)．因为直线MP与AB垂直， 所以kAB＝－＝－＝1.又因为直线AB过点P(2，－1)， 所以直线AB方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.] 3．点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(0,1) C. D. 解析：D　[因为点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以(2a)2＋(a－1－1)2<5，整理得5a2－4a－1<0，解得－<a<1.] 4．方程y＝表示的曲线是(　　) A．一个圆 B．两条射线 C．半个圆 D．一条射线 解析：C　[由y＝两边平方可化为x2＋y2＝36(y≥0)，故表示圆x2＋y2＝36在x轴上方的半圆．] 5．(多选)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则(　　) A．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 B．圆心C1到直线x－y－1＝0的距离为 C．圆C2的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝4 D．圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4 解析：AD　[根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)， 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4的圆心为(－1,1)，半径为2，所以圆心C1到直线x－y－1＝0的距离d＝＝. 若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与圆C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.] 6．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为　________　. 解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，所以(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，所以dmax＝74. 答案：74 7．自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线，切点为B，则AB的长为　________　. 解析：点A到圆心C(2,3)的距离为＝，所以切线长为＝3. 答案：3 8．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解： (方法一)如图所示，由题设|AC|＝r＝5， |AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝3. 设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，所以a＝±3. 所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. (方法二)由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25. 因为圆截y轴线段长为8，所以圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，所以a＝±3. 所以所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25. [能力提升练] 9．已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)． A．4　　 B．5 　 　C．6　　　D．7 解析：A　[设圆心C(x，y)， 则＝1，化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆， 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.] 10．(多选)以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程可能为(　　) A．x2＋(y－4)2＝20 B．(x－4)2＋y2＝20 C．x2＋(y－2)2＝20 D．(x－2)2＋y2＝20 解析：AD　[令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以设直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)．B(2,0)．|AB|＝＝2，以A为圆心，过B点的圆的方程为：x2＋(y－4)2＝20.以B为圆心，过A点的圆的方程为：(x－2)2＋y2＝20.故选AD.] 11．已知点(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝ 　________　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　________　. 解析：由题意，2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1， 解得a＝－2或－6. 当点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2. 答案：－2或－6　a<－6或a>－2 12．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． (1)证明：坐标原点O在圆M上； (2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程． 解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2. 由可得y2－2my－4＝0， 则y1y2＝－4. 又x1＝，x2＝故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB. 故坐标原点O在圆M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4. 故圆心M的坐标为，圆M的半径r＝. 由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0， 由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4. 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为， 圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10. 当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝. [素养培优练] 13．(多选)实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是(　　) A.的最大值为 B.的最小值为－ C.的最大值为 D.的最小值为－ 解析：CD　[由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0为圆心是C(－1,0)，半径为1的圆，由为圆上的点与定点P(1,0)的斜率的值，设过P(1,0)点的直线为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0， 圆心到直线的距离d＝r，即＝1，整理可得3k2＝1解得k＝±， 所以∈[－，]，即的最大值为，最小值为－.故选CD.] 14．瑞士数学家欧拉(LeonhardEuler)1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－4,0)，B(0，4)，其欧拉线方程为x－y＋2＝0，则顶点C的坐标可以是　_________　. 解析：设C(x，y)，AB的垂直平分线为y＝－x，△ABC的外心为欧拉线方程为x－y＋2＝0 与直线y＝－x的交点为M(－1,1)，∴|MC|＝|MA|＝，∴(x＋1)2＋(y－1)2＝10，① 由A(－4,0)，B(0,4)，△ABC重心为(，)，代入欧拉线方程x－y＋2＝0，得x－y－2＝0，②，由①②可得x＝2，y＝0或x＝0，y＝－2. 答案：(2,0)或(0，－2) 学科网（北京）股份有限公司 $$