2.2.1 直线的倾斜角与斜率 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．已知直线l经过A(1,2)，B(3,5)，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(2,3)　　　　 B．(3,2) C．(1,5) D．(－3,2) 解析：A　[∵直线经过A(1,2)，B(3,5)，∴＝(3－1,5－2)＝(2,3)，∴直线l的一个方向向量为(2,3)．] 2．已知，过A(1,1)、B(1，－3)两点的直线与过C(－3，m)，D(n,2)两点的直线互相垂直，则点(m，n)有(　　) A．1个　 B．2个　　C．3个　　D．无数个 解析：D　[∵由条件知过A(1,1)，B(1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB⊥CD，∴kCD＝0，即＝0，得m＝2，n≠－3，∴点(m，n)有无数个．] 3. (多选)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是(　　) A．k1<k3<k2 B．k3<k2<k1 C．α1<α3<α2 D．α3<α2<α1 解析：AD　[如题图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，且α1为钝角．] 4．过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是(，)，则实数m的取值范围是　　 A．0<m,2 B．0<m<4 C．2，m<4 D．0<m<2或2<m<4 解析：B　[由直线的倾斜角α的范围是(，)，得直线的斜率存在时，有k<－1或k>1.又kAB＝＝，∴<－1或>1，解得0<m<2或2<m<4. 当直线的斜率不存在时，m＝2.综上，实数m的取值范围是(0,4)．] 5．(多选题)下列说法中，不正确的有(　　) A．任何一条直线都有唯一的斜率 B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C．任何一条直线都有唯一的倾斜角 D．任何一条直线都能找出方向向量 解析：AB　[A错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；B错，因为当0°<α<90°时，k>0，当90°<α<180°时， k<0；C对，D对．] 6．若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是　_________　. 解析：直线过点(1,2)，(4,2＋)则直线的斜率k＝＝， 设倾斜角为α，根据斜率与倾斜角关系可得tan α＝，由直线倾斜角α∈[0°，180°)可得α＝30°. 答案：30° 7．已知直线l上的两个点M(1,2)，N(5,4)，则直线l的一个法向量为　________　. 解析：∵直线经过M(1,2)，N(5,4)，∴＝(4,2)， ∴是直线l一个方向向量，又直线的法向量与方向向量互相垂直，所以直线l的一个法向量为(2，－4)． 答案：(2，－4)(答案不唯一) 8．已知坐标平面内两点M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1)． (1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？ (2)当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？ (3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？ 解：(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于0， 即k＝＝>0，解得m>－2. (2)若倾斜角为钝角，则斜率小于0， 即k＝＝<0，解得m<－2. (3)当直线MN垂直于x轴时直线的倾斜角为直角，此时m＋3＝m－2，此方程无解，故直线MN的倾斜角不可能为直角． [能力提升练] 9．(多选)下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有　　 A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率 C．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为α D．若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α 解析：AD　[∴平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A正确； 但由于和x轴垂直的直线倾斜角等于90°，故它的斜率不存在，故B错误； 若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为不一定是α，如α＝330°时，此时，直线的倾斜角为30°. 若一条直线的倾斜角为α(α≠90°)，则该直线的斜率为tan α，故D正确．] 10．(多选)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率可能是(　　) A．－2　 B.　　 C．1　　 D. 解析：ACD　[当直线l过点B时，设直线的倾斜角为k1，则k1＝＝－，当直线l过点A时，设直线的倾斜角为k2，则k2＝＝1，故要使直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：k≥1或k≤－，故选：ACD.] 11．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(，0)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角α的取值范围分别为　________　；　________　. 解析：由斜率公式可得，kAP＝＝，kBP＝＝1，故直线l的斜率的取值范围为，由斜率与倾斜角的公式可得，直线AP的倾斜角为，直线BP的倾斜角为，故直线l的倾斜角α的取值范围为.故答案为：；. 答案：； 12.如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率． 解析：因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝； 又因为DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0； 由菱形的性质可得∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC的倾斜角为30°，斜率kOC＝tan 30°＝， 直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率kBD＝tan 120°＝－. [素养培优练] 13．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数y＝f(x)在x＝x1，x＝x2，x＝x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1 ＝f(x1)，y2＝f(x2)，y3＝f(x3)，则在区间[x1，x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：f(x)＝y1＋k1(x－x1)＋k2(x－x1)(x－x2)，其中k1＝，k＝，k2＝.若令x1＝0，x2＝，x3＝π，请依据上述算法，估算sin的值是(　　) A.　 B.　　 C. 　　D. 解析：C　[设y＝f(x)＝sin x，且x1＝0，x2＝，x3＝π，则有y1＝0，y2＝1，y3＝0；所以k1＝＝，k＝＝－，k2＝－， 由f(x)≈y1＋k1(x－x1)＋k2(x－x1)(x－x2)＝－x2＋x， 可得sin x≈－x2＋x，sin ≈－×()2＋×＝.] 14．已知点A(1,0)，P为抛物线y＝x2＋2x－3上一点，若直线PA的倾斜角为45°，点P的坐标为　_____　.. 解析：设点P(x1，y1)(x1≠1)，则y1＝x＋2x1－3，因为A(1,0)，所以kPA＝＝＝x1＋3，又直线PA的倾斜角为45°，所以kPA＝1，所以x1＋3＝1，即x1＝－2. 当x1＝－2时，y1＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，所以点P的坐标为(－2，－3)． 答案：(－2，－3) 学科网（北京）股份有限公司 $$