1.2.4 二面角 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为(　　) A.　　 B.　　　C.　　　D. 解析：C　[建立空间直角坐标系如图，设正方体的棱长为2，则D(2,0,0)，A1(0,0,2)，E(0,2,1)，则＝(2,0，－2)，＝(0,2，－1)． 设平面A1ED的法向量为n＝(x，y，z)，则 则即 令y＝1，得n＝(2,1,2)．易知平面ABCD的法向量为m＝(0,0,1)，则cos〈n，m〉＝＝.] 2．已知△ABC和△BCD均为边长为a的等边三角形，且AD＝a，则二面角A­BC­D的大小为(　　) A．30°　　 B．45°　　　C．60°　　　D．90° 解析：C　[如图取BC的中点为E，连接AE，DE， 由题意得AE⊥BC，DE⊥BC， 且AE＝DE＝a，又AD＝a， ∴∠AED＝60°，即二面角A­BC­D的大小为60°.] 3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角B－AD－D的大小为(　　) A．30°　 B．45°　　C．60°　　D．90° 解析：D　[如图所示，欲使得三棱锥体积最大， ∵三棱锥底面积一定，∴只须三棱锥的高最大即可， 即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥面积最大， ∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时， 二面角B－AC－D的大小为90°.] 4．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：B　[如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1， 则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．于是＝(0,1,0)，取PD的中点E，则E， ∴＝(0，，)，易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量， ∴cos〈，〉＝，∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°.] 5．(多选题)如图正方体的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论正确的是(　　) A．AC与BE所成角为45° B．三棱锥A­BEF的体积为定值 C．EF∥平面ABCD D．二面角A­EF­B是定值 解析：BCD　[选项A，AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD∩BB1＝B，可得AC⊥平面DD1B1B，即得AC⊥BE，此命题错误；选项B, 由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到平面DD1B1B距离是定值，故三棱锥A－BEF的体积为定值，此命题正确；选项C，由正方体ABCD－A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上且EF与平面ABCD无公共点，故EF∥平面ABCD，此命题正确；选项D，由于E、F为线段B1D1上的两个动点，故二面角A－EF－B的平面角大小始终是二面角A－B1D1－B的平面角大小，为定值，故正确；故选BCD.] 6．已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为　________　. 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，易知当E(6,3,0)，F(3,6,0)时，A1，E，F，C1四点共面．设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得 可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)．故平面A1DE与平面C1DF所成二面角的余弦值为＝. 答案： 7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角P­BC­A的大小为　________　. 解析：90°　[取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角P­BC­A的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°.] 8.如图所示，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1. (1)求SC与平面ASD所成角的余弦值； (2)求平面SAB和平面SCD夹角的余弦值． 解： (1)建立如图所示的空间直角坐标系，S(0,0,2)，C(2,2,0)，D(1,0,0)，＝(2,2，－2)， ∵AB⊥平面SAD，故平面ASD的一个法向量为＝(0,2,0)，设SC与平面ASD所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，故cos θ＝，即SC与平面ASD所成角的余弦值为. (2)平面SAB的一个法向量为m＝(1,0,0)，∵＝(2,2，－2)，＝(1,0，－2)，设平面SCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，由⇒令z＝1，可得平面SCD的一个法向量为n＝(2，－1,1)，设平面SAB和平面SCD的夹角为α，则cos α＝＝，即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为. [能力提升练] 9．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B－PA－C的余弦值是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[如图，在射线PA，PB，PC上分别取点A，B，C，使PA＝PB＝PC＝1，则在三棱锥A­PBC中，所有的棱长都等于1.取PA的中点M，连MB，MC，则有BM⊥PA， CM⊥PA，故∠BMC即为二面角B－PA－C的平面角．在ΔBMC中，BM＝CM＝，BC＝1，由余弦定理得cos∠BMC＝＝，即二面角B－PA－C的余弦值为.] 10．(多选)正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的有(　　) A．AD与BC所成的角为30° B．AC与BD所成的角为90° C．BC与面ACD所成角的正弦值为 D．平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是 解析：BD　[取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD， ∵正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，故平面ABD⊥平面BCD， 而平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，故AO⊥平面BCD. ∴以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设OC＝1，则A(0,0,1)，B(0，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)， ∴＝(0,1,1)，＝(0.1，－1)，＝(1,1,0)，＝(1,0，－1)，＝(0,2,0)． ∵cos〈，〉＝＝＝，因为〈，〉∈[0，π]， 故〈，〉＝，∴异面直线AD与BC所成的角为60°，故A错误； ∵·＝0，∴AC⊥BD，故B正确；设平面ACD的法向量为t＝(x，y，z)， 则取z＝1，得x＝1，y＝1，∴t＝(1,1,1)， 设BC与平面ACD面所成角为θ，则sin θ＝cos 〈，t〉＝＝＝，故C错误；易知平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1)， 设平面ABC的法向量为m＝(x′，y′，z′)，则取x′＝1 得y′＝－1，z′＝1∴m＝(1，－1,1)，设两个平面的夹角为α(α为锐角)，则cos α＝|cos〈m，n〉|＝＝，故sin α＝，故tan α＝. ∴平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是，故D正确．] 11．如图，在底面边长均为2，高为1的长方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别为BC、C1D1的中点，则异面直线A1E、CF所成角的大小为　________　；平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角的余弦值为　________　. 解析：以D为原点建立如图所示空间直角坐标系： 则A1(2,0,1)，E(1,2,0)，C(0,2,0)，F(0,1,1)，所以＝(－1,2，－1)，＝(0，－1,1)． 设异面直线A1E、CF所成角的大小为θ，所以cosθ＝＝＝，因为θ∈，所以θ＝.又＝(－2,1,0)，设平面A1EF的一个法向量为：m＝(x，y，z)， 则，即，令x＝1，则m＝(1,2,3)， 平面A1B1C1D1一个法向量为：n＝(0,0,1)，设平面A1EF与平面A1B1C1D1所成锐二面角为α， 所以cos α＝＝＝.故答案为：①；② 答案：　 12.如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值． 解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． ∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，∴点S到y轴的距离为1， 到x轴的距离为，则有D(0,0,0)，S(－1，，0)，A(0,0,2)，C(2,0,0)，B(2,0,1)，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)， ∵＝(0,0，－2)，＝(－1，，－2)，则 ∴ 取x＝，得平面SAD的一个法向量为m＝(，1,0)． 又＝(2,0，－1)，设平面SAB的法向量为n＝(a，b，c)， 则即令a＝， 则n＝(，5,2)， ∴cos〈m，n〉＝＝＝， 故平面SAD与平面SAB所成角的余弦值是. [素养培优练] 13．(多选题)我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng)是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB＝8，AD＝2，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角E­AD­B与F­BC­A相等，则EF长度可能为(　　) A．1 B．5 C．9 D．14 解析：BC　[由于ΔADE与ΔBCF都是等边三角形，且边长为2，故高为3.当E­AD­B和F­BC­A趋向于0时，EF取向于8－3－3＝2，如图①所示． 图① 当E­AD­B和F­BC­A趋向于π时，EF取向于8＋3＋3＝14，如图②所示． 图② 所以EF的取值范围是(2,14)．故选：BC] 14.如图，在四面体D­ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6.若M为线段AB上的动点(不包含端点)，则二面角D­MC­B的余弦值取值范围是　________　. 解析：以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，D，C(0,4,0)，M(a，0,0)(－3＜a＜3)， 平面MBC的一个法向量为n1＝(0,0,1)， 设平面DMC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则＝，＝(－a,4,0)，则⇒， 令z＝9，x＝，y＝，所以平面DMC的一个法向量为n2＝， 所以|cos〈n1·n2〉|＝＝ 因为－3＜a＜3，所以a2＜9，所以＋144＞＋144＝256， 所以|cos〈n1，n2〉|＜，即二面角的余弦值的取值范围是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$