1.2.3 直线与平面的夹角 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A.　　 B.　　　C.　　　D. 解析：C　[线面角的范围是[0，]，.∵〈a，n〉＝，∴l与法向量所在直线所成角为，∴l与α所成的角为.] 2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[以D为原点建立空间直角坐标系，如图， 则＝(1,1,0)，＝(0,1，)，设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，∴·n＝0，·n＝0，可得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而＝(0，－1,1)，∴cos〈，n〉＝＝， ∴〈，n〉＝30°. ∴直线A1B与平面BDE成60°角．] 3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1＝3，AB＝AC＝BC＝2，则AA1与平面AB1C1所成角的大小为(　　) A．30°　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析： A　[取AB的中点D，连接CD，分别以DA，DC，DE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 可得A(1,0,0)，A1(1,0,3)，故＝(0,0,3)，而B1(－1,0,3)，C1(0，，3)，C(0，，0)设平面AB1C1的法向量为m＝(a，b，c)， 根据m·＝0，m·＝0，解得m＝(3，－，2)，cos〈m，〉＝＝.故AA1与平面AB1C1所成角的大小为30°，故选A.] 4．下列说法正确的(　　) A．直线的方向向量是唯一确定的 B．平面的单位法向量是唯一确定的 C．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行 D．若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β. 答案：CD 5．(多选)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　) A．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 B．AC1与底面ABC的成角的正弦值为 C．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 D．AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为 解析：BC　[如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB＝2； 则AA1＝2；∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1，2)，C(0,1,2)；B1(，0,0)，∴＝(0,2，－2)．底面ABC的其中一个法向量为：m＝(0,0,2)，∴AC1与底面ABC的成角的正弦值为 |cos〈m，〉|＝＝＝，；∴A错B对. ∵A1B1的中点K的坐标为；∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为：＝；∴AC1与侧面AA1B1B的成角的正弦值为： |cos〈，〉|＝＝＝；故C对D错；故选：BC.] 6．已知平面α的一个法向量n＝，A∈α，P∉α，且＝，则直线PA与平面α所成的角为　________　. 解析：设直线PA与平面α所成的角为θ，则，sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝， ∴直线PA与平面α所成的角为. 答案： 7．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角是　________　. 解析：30°　[连接BC1交B1C于O点，连接A1O. 设正方体棱长为a.易证BC1⊥平面A1B1CD， ∴A1O为A1B在平面A1B1CD上的射影． ∴∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角． 在Rt△A1BO中，A1B＝a，BO＝a， ∴sin∠BA1O＝＝，∴∠BA1O＝30°. 即A1B与平面A1B1CD所成角为30°.] 8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，在侧棱CC1上求一点P，使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3. 解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设CP＝m(m＞0)，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)， 所以＝(－1，－1,0)，＝(0,0,1)，＝(－1，1，m)，＝(－1,1,0)． 因为·＝0，·＝0， 所以为平面BDD1B1的一个法向量． 设AP与平面BDD1B1所成的角为θ， 则sin θ＝cos＝＝， 所以cos θ＝＝. 因为tan θ＝＝3， 所以m＝. 故当＝时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3. [能力提升练] 9．在所有棱长都相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E分别为棱CC1、AC的中点，则直线AB与平面B1DE所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：C　[设正三棱柱ABC－A1B1C1的所有边长均为2，取A1C1的中点F，连接EF，以点E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 如下图所示： 则点A(－1,0,0)，B(0，，0)，D(1,0,1)，E(0,0,0)，B1(0，，2)，＝(1,0,1)，＝(0，，2)，＝(1，，0)．设平面B1DE的法向量为n＝(x，y，z)， 由，得，取z＝－， 则x＝，y＝2，∴n＝(，2，－)， 设直线AB与平面B1DE所成角为θ， 则sin θ＝＝＝＝，则cosθ＝＝.] 10．(多选题)如图，设E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为(　　) A．三棱锥D1­B1EF的体积为定值 B．异面直线D1B1与EF所成的角为60° C．D1B1⊥平面B1EF D．直线D1B1与平面B1EF所成的角为30° 解析：AD　[对于A，VD1­B1EF＝VB1­D1EF＝×S△D1EF×B1C1＝××EF×DD1×BC＝××1×2×2＝，故三棱锥D­B1EF的体积为定值，故A正确；对于B，EF∥D1C1，D1B1和D1C1所成的角为45°，异面直线D1B1与EF所成的角为45°，故B错误；对于C，若D1B1⊥平面B1EF，则D1B1⊥直线EF，即异面直线D1B1与EF所成的角为90°，这与实际不符，故C错误；对于D，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设E(0，a,0)，则F(0,1＋a,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，＝(2，2－a,2)，＝(0,1,0)，＝(2,2,0)．设平面B1EF的法向量为则n＝(x，y，z)，则 ， 即，令z＝－1，则n＝(1,0，－1)cos〈n，〉＝＝＝，〈n，〉＝60° 所以直线D1B1与平面B1EF所成的角为30°，正确，故选：AD] 11.如图在三棱锥S­ABC中，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．则异面直线SM与BN所成的角的余弦值为　________　，直线SM与面SAC所成角大小为　________　. 解析：因为∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，所以以S为坐标原点，SA，SB，SC为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 设SA＝SB＝SC＝2，则M(1,1,0)，B(0,2,0)，N(0,0,1)，A(2,0,0)，C(0,0,2)．因为＝(1,1,0)，＝(0，－2,1)，cos〈，〉＝＝－，所以异面直线SM与BN所成的角的余弦值为，平面SAC的一个法向量为＝(0,2,0)，则由cos〈，〉＝＝，得〈·〉＝，即直线SM与平面SAC所成角大小为. 答案：　 12.如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点． (1)求直线A1C与DE所成角的余弦值； (2)求直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值． 解析：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz. (1)A1(0,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，E(a，，0)，∴＝(a，a，－a)，＝(a，－，0) ∴cos〈，〉＝＝， 故A1C与DE所成角的余弦值为. (2)连接DB1，∵∠ADE＝∠ADF， ∴AD在平面B1EDF内的射影在∠EDF的平分线上． 又B1EDF为菱形，∴DB1为∠EDF的平分线， 故直线AD与平面B1EDF所成的角为∠ADB1. 由A(0,0,0)，B1(a,0，a)，D(0，a,0)， 得＝(0，－a,0)，＝(a，－a，a)， ∴cos〈，〉＝＝， 又直线与平面所成角的范围是[0，]， 故直线AD与平面B1EDF所成角的余弦值为. [素养培优练] 13. (多选题)把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A­BD­C，则下列四个结论中正确的结论是(　　) A．AC⊥BD B．△ACD是等边三角形 C．AB与平面CBD成60°角 D．AB与CD所成角为45° 解析：AB　[ A项：取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD.∴BD⊥平面AEC.∴BD⊥AC，故A正确． B项：AD＝DC＝AB＝BC＝a，取BD的中点E，连接AE，CE，AE＝CE＝a. ∵ABCD是正方形，∴EA⊥BD，EC⊥BD，∴∠AEC为二面角A­BD­C的平面角，∴∠AEC＝90°，∴AC＝＝a，所以△ADC是正三角形，故B正确；C项：由AE⊥BD，∠AEC＝90°知，AE⊥平面BDC，∠ABE为AB与平面BCD所成的角为45°，故C错误．D项：以E为坐标原点，EC、ED、EA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A，B，C，D. ＝，＝.cos〈，〉＝，所以〈，〉＝60°，故D错误．故选：AB.] 14．正四棱柱中ABCD­A1B1C1D1，AB＝4，AA1＝2.若M是侧面BCC1B1内的动点，且AM⊥MC，则A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为　________　. 解析：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设点M(m,4，n)，则， A(4,0,0)，C(0,4,0)，B1(4,4,2)， ∴＝(m,0，n)，＝(m－4,4，n)，又AM⊥MC，得·＝m2－4m＋n2＝0，即(m－2)2＋n2＝4；又A1B1⊥平面BCC1B1，∴∠A1MB1为A1M与平面BCC1B1所成角， 令m＝2＋2cos θ，n＝2sin θ，θ∈[0，π]， ∴tan∠A1MB1＝＝ ＝ ＝∴当θ＝时，tan∠A1MB1最大，即A1M与平面BCC1B1所成角的正切值的最大值为2. 答案：2. 学科网（北京）股份有限公司 $$