1.1.3 第2课时 空间直角坐标系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为(　　) A．(0，，0)　　　　 B．(0，，) C．(1,0，) D．(1，，0) 答案：B 2．在空间直角坐标系O­xyz中，点A(2，－1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(　　) A．(2,1,3) B．(－2，－1,3) C．(2,1，－3) D．(2，－1，－3) 解析：B　[在空间直角坐标系O­xyz中，点A(2，－1,3)关于yOz平面对称的点的坐标是(－2，－1,3)．] 3．已知点B(2，－3,1)，向量＝(－3,5,2)，则点A坐标是(　　) A．(1,2,3) B．(－1,2,3) C．(－5,8,1) D．(5，－8，－1) 解析：D　[设点A(x，y，z)，则向量＝(2－x，－3－y，1－z)＝(－3,5,2)， 所以，⇒， 所以点A(5，－8，－1)．故选：D] 4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为(　　) A．7　　 B．－7　　　C．－1　　　D．1 解析：D　[∵点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，∴c＝－3，e＝4，则c＋e＝1.] 5．设y∈R，则点P(1，y,2)的集合为(　　) A．垂直于xOz平面的一条直线 B．平行于xOz平面的一条直线 C．垂直于y轴的一个平面 D．平行于y轴的一个平面 解析：A　[点P(1，y,2)的集合为横、竖坐标不变，而纵坐标变化的点的集合，由空间直角坐标的意义知，点P(1，y,2)的集合为垂直于xOz平面的一条直线，故选A.] 6．.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是　________　. 解析：由题知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)．由重心坐标公式得G的坐标为(，，)． 答案：(，，) 7．已知点A(－4,2,3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，则线段AA3的中点M的坐标为　________　. 解析：由题意知A1(4，－2，－3)，则A1关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4,2，－3)，则A2关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)．由中点坐标公式，得M(－4,0,0)． 答案：(－4,0,0) 8．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求与所成角的余弦值； (3)求CE的长． 解析：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz 则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F(，，0)，G. 所以＝，＝，＝，＝. (1)证明：因为·＝×＋×＋×0＝0，所以，即⊥，即EF⊥CF. (2)因为·＝×1＋×0＋×＝，||＝＝||＝＝， ∴cos〈，〉＝＝＝. (3)＝＝， ∴CE的长为. [能力提升练] 9.以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为(　　) A．(0，，)　　　 B．(，0，) C．(，，0) D．(，，) 解析：B　[由题图得A(0,0,0)，B1(1,0,1)， 所以对角线的交点即为AB1的中点，由中点坐标公式，可得对角线的交点坐标为(，0，)．] 10．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，|BP|＝|BD′|，则P点的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[连接BD，点P在xDy平面的射影落在BD上， ∵|BP|＝|BD′|，∴xP＝yP＝，zP＝，故P.] 11.三棱锥P－ABC中，∠ABC为直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M为PC的中点，N为AC的中点，以{，，}为基底，则的坐标为　________　. 解析：＝－ ＝(＋)－(＋)＝－， 故＝. 答案： 12.如图，在正四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示. (2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标． 解：(1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋， ∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋c. (2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)． ∵A(0,0,0)，O，P，∴c＝＝－＝， ∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝. [素养培优练] 13．(多选)已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体．则下列结论正确的是(　　)． A．(＋＋)2＝32 B.·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是120° D．正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··| 解析： ABC　[不妨设正方体的棱长为1，以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则各点坐标为A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1) 因为＋＋＝(0,0，－1)＋(－1,0,0)＋(0,1,0)＝(－1,1，－1)， 所以(＋＋)2＝|＋＋|2＝3；32＝32＝3||2＝3×12＝3.故A正确． 因为＝(－1,1，－1)，－＝＝(0,1,1)，所以·(A1B1－＝0＋1－1＝0.故B正确．因为＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，所以·＝0＋0－1＝－1，||＝，||＝，所以cos〈，〉＝＝，所以向量与向量的夹角是120°，故C正确．因为AB⊥AA1，所以·＝0，所以|··|＝|0·|＝0. 故D错误．故选：ABC.] 14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，点G与E分别是A1B1和CC1的中点，点D与F分别是AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值为　______________　. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E(0,2,1)，G(1,0,2)，F(x,0,0)，D(0，y,0)， 则＝(－1，y，－2)，＝(x，－2，－1)，由于GD⊥EF， 所以·＝－x－2y＋2＝0，所以x＝2y－2， 故|DF|＝ ＝＝ ＝， 所以当y＝时，线段DF长度取得最小值，且最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$