1.1.2 空间向量基本定理 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础达标练] 1．有以下命题：①.如果向量a与b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线；②.O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点一定共面；③.已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底，其中正确的命题是(　　) A．①②　 B．①③　　C．②③　　D．①②③ 解析：C　[①如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线，不正确．反例：如果a，b中有一个向量为零向量，a，b共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确．②O，A，B，C为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的．③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确．故选C.] 2．下列说法正确的是(　　) A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0. B．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件． C．空间中任意两非零向量a，b共面． D．对于任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b. 答案：AC 3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D　　　 B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：A　[因为＝＋＋＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3，故∥，又与有公共点A，所以A，B，D三点共线．] 4．(多选)给出下列命题，其中正确命题有(　　) A．空间任意三个不共线的向量都可以作为一个基底 B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面 D．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底 解析：BCD　[选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；选项C中，由，，不能构成空间的一个基底，可得，，共面，又由，，过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确；选项D中：由{a，b，c}是空间的一个基底，则基向量a，b与向量m＝a＋c一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确．故选：BCD.] 5．(多选)设a，b，c是空间一个基底(　　) A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．则a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面 C．对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc D．则a＋b，b＋c，c＋a一定能构成空间的一个基底 解析：BCD　[由a，b，c是空间一个基底，知： 在A中，若a⊥b，b⊥c，则a与c相交或平行，故A错误；在B中，a，b，c两两共面，但a，b，c不可能共面，故B正确；在C中，对空间任一向量p，总存在有序实数组(x，y，z)，使p＝xa＋yb＋zc，故C正确；在D中，a＋b，b＋c，c＋a一定能构成空间的一个基底，故D正确．故选：BCD.] 6．已知向量a，b是两个不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则“A，B，C三点共线”是“λ1·λ2－1＝0”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 7.如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝　__________　. 解析：由题意，连接AE，则＝－＝＋－ ＝＋(－)－×(＋)． ＝－－＋. 答案：－－＋ 8．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示，，. 解： 如图所示，延长PG交CD于E，则E为CD的中点． ＝＝×(＋)＝(＋＋＋＋) ＝(－k＋i＋j－k＋j)＝i＋j－k. ＝＋＝＋＋＝－i＋k＋i＋j－k＝－i＋j＋k. ＝＋＝i＋＝i＋j＋k. [能力提升练] 9．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使MG＝2GN，用向量，，表示向量则(　　) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝＋＋ 解析： C　[∵＝＋＝＋， ＝＋ ＝＋＋＝＋＋OC ∴＝＋＋OC，故选：C.] 10．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) 解析：D　[当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则与a，b共面的任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．] 11．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为　________　. 解析：∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)， ∴(k－1)＋－k＝0.又λ＋m－n＝0， 令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0. 答案：0 12.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，则m的值为　______　. 解析：连接BD，BG.∵＝－，＝，∴＝－， ∵＝＋，∴＝＋－＝－＋＋. ∵＝，∴＝，∴＝(－＋＋)＝－＋＋. 又∵＝－，∴＝－＋＋， ∵＝m，∴＝m·＝－＋＋， ∵＝－＋＝－＋， ∴＝(1－)＋(－1)＋. 又∵G，B，P，D四点共面，∴1－＝0，m＝.即m的值是. 答案： [素养培优练] 13．(多选题)若a，b，c不共面，则(　　) A．b＋c，b－c，a共面　 B．b＋c，b－c,2b共面 C．b＋c，a，a＋b＋c共面 D．a＋c，a－2c，c共面 解析：BCD　[∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，∴b＋c，b－c,2b共面，故B正确； ∵a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，故C正确； ∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c，c共面，故D正确． 对于A选项，若设b＋c＝λ(b－c)＋μa，则b＋c＝λb－λc＋μa得，故无解，因此b＋c，b－c，a不共面．] 14.如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为　________　；若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，则λ的值为　________　. 解析： (1)取空间中一组基底：＝a，＝b，＝c，因为BD⊥AN， 所以·＝0， 因为＝－＝b－a，＝＋＝c＋λb， 所以(b－a)·(c＋λb)＝0，所以＋λ－－＝0，所以λ＝－1； (2)在AD上取一点M1使得A1N＝AM1，连接M1N，M1M，M1B， 因为A1N∥AM1且A1N＝AM1，所以NB1∥M1B，NB1＝M1B， 又因为M1B⊄平面AB1N，NB1⊂平面AB1N，所以M1B∥平面AB1N， 又因为BM∥平面AB1N，且BM∩M1B＝B， 所以平面M1MB∥平面AB1N，所以MM1∥平面AB1N， 又因为平面AA1D1D∩平面AB1N＝AN，且MM1⊂平面AA1D1D， 所以M1M∥AN，所以△AA1N∽△MDM1， 所以＝＝＝2，所以λ＝. 答案：－1　 学科网（北京）股份有限公司 $$