2.7.1 抛物线的标准方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．7　抛物线及其方程 2．7.1　抛物线的标准方程 课程标准 素养解读 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念 2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程 3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题 1.通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养 2.通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养 [情境引入] 生活中存在着各种形式的抛物线 [设问]　初中老师告诉同学们一元二次函数y＝ax2(a≠0)的图像是抛物线，但一元二次函数y＝ax2(a≠0)的图像为什么是抛物线而不是双曲线的一支呢？那满足什么条件的点的轨迹是抛物线？ [知识梳理] [知识点一]　抛物线的定义　 　设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 1.抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？ [提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． [知识点二]　抛物线的标准方程　 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 　y2＝2px　 　(p>0)　 　F　 　x＝－　 　y2＝－2px　 　(p>0)　 F 　x＝　 　x2＝2py　 　(p>0)　 　F(0，)　 　y＝－　 　x2＝－2py　 　(p>0)　 　F(0，－)　 　y＝　 2.(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？ (2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？ [提示]　(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数．(　　 ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.(　　 ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定．(　　 ) (4)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　 ) (5)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)．(　　 ) (6)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y.(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ 2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　 ) A．1　　　　　 B．2 C．4 D．8 解析：C　[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.] 3．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　 ) A．y＝　　　　 B．y＝－1 C．x＝－ D．x＝ 解析：C　[由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.] 　　　求抛物线的标准方程 [例1]　根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为y＝； (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5； [思路点拨]　(1)(2)→→ [解]　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y. (2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 (1)把握开口方向与方程间的对应关系． (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． (3)注意p与的几何意义． [变式训练] 1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解：(1)因为点(－3，－1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， ∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x. ∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 　　　抛物线的定义的应用 [例2]　(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程； (2)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标； (3)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程． [思路点拨]　(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程． (2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离． (3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解． [解]　(1)设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由＋3＝5得p＝4，因此抛物线方程为x2＝－8y，其准线方程为y＝2，由m2＝24得m＝±2. (2)如图，作PN⊥l于N(l为准线)，作AB⊥l于B， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PN|≥|AB|， 当且仅当P为AB与抛物线的交点时，取等号． ∴(|PA|＋|PF|)min＝|AB|＝4＋1＝5. 此时yP＝2，代入抛物线得xP＝1，∴P(1,2)． (3)设动圆圆心为M(x，y)，半径为r， 则由题意可得M到圆心C(0，－3)的距离与直线y＝3的距离相等． 由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线，其方程为x2＝－12y. 抛物线定义的两种应用 (1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． (2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题． [变式训练] 2．(1)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　 ) A.　 B.　　C．2　　D.－1 解析：D　[由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)． 设点P到直线l的距离为d， 由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1， 所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1. 易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离， 故d＋|PF|的最小值为＝， 所以d＋|PF|－1的最小值为－1.] (2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程　________　. 解：由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为y2＝2px(p>0)的形式，而＝，所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)． 答案：y＝2x 　　　抛物线的实际应用 [例3]　河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？ [思路点拨]　→→→→ [解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y. ∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航． 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，由22＝－yA，得yA＝－. 又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航． 求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题． [变式训练] 3.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值． 解：以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示． 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)． ∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为. 由点B在抛物线上，得2＝－2p·， ∴p＝.∴抛物线方程为x2＝－ay. 设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0， ∴y0＝－，∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－， 令h＞3，则－＞3，解得a＞6＋或a＜6－(舍去)． ∴a的最小整数值为13. [当堂达标] 1．若动点P到定点F(－4,0)的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点的轨迹是(　　 ) A．抛物线　 B．线段　　C．直线　　D．射线 解析：A[动点P的条件满足抛物线的定义．] 2．(多选)对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是(　　 ) A．焦点坐标为(0,1)　　 B．焦点坐标为 C．准线方程为y＝－ D．准线方程为y＝－1 解析：BC　[由y＝4x2，得x2＝y，所以该抛物线开口向上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.] 3．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是双曲线－＝1的右焦点，则p＝　__________　. 解析：抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(，0)，双曲线－＝1中，a2＝5，b2＝4，∴c＝＝3，∴双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则＝3，得p＝6. 答案：6 4．已知动圆M经过点A(3,0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：设动点M(x，y)，⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|， 即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等， ∴点M的轨迹是抛物线，且以A(3,0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线， ∴＝3，∴p＝6，故动圆圆心M的轨迹方程是y2＝12x. 学科网（北京）股份有限公司 $$