2.2.1 直线的倾斜角与斜率 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

2．2　直线及其方程 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 课程标准 素养解读 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率 4.掌握直线的方向向量和法向量 1.通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养 2.通过斜率的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.k>0表示上坡，k<0表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ [知识梳理] [知识点一]　直线的倾斜角　 1．倾斜角的定义 一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按　逆时针　方向旋转到与直线重合时所转的最小　正角　记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． 2．当直线与x轴平行或重合时，规定该直线的倾斜角为　0°　. 3．倾斜角α的范围为　[0°，180°)　. 1.如图中标的倾斜角α对不对？ [提示]　都不对． [知识点二]　直线的倾斜角与斜率　 　一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为θ，则： (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，θ＝　0°　. (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，θ＝　90°　. (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan θ＝. (4)一般地，如果直线l的倾斜角为θ，当θ≠90°时，称　k＝tan θ　为直线l的斜率，当　θ＝90°　时，称直线l的斜率不存在． (5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当　x1≠x2　时，直线l的斜率为k＝. 2.运用(5)中公式计算直线AB的斜率时，需要考虑A、B的顺序吗？ [提示]　kAB＝＝kBA＝，所以直线AB的斜率与A、B两点的顺序无关． [知识点三]　直线的方向向量　 1．一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l　平行或重合　，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l. 2．如果a为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定　共线　. 3．如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝　(x2－x1，y2－y1)　是直线l的一个方向向量． 3.设l是平面直角坐标系中的一条直线，且倾斜角为45°，你能写出该直线的方向向量吗？ [提示]　(1,1)． 4．一般地，如果已知a＝(u，v)是直线l的一个方向向量，则： (1)当u＝0时，显然直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)当u≠0时，直线l的斜率存在，且(1，k)与a＝(u，v)都是直线l的方向向量，由直线的任意两个方向向量共线可知1×v＝k×u，从而k＝　　，tan θ＝　　. [知识点四]　直线的法向量　 　一般地，如果表示非零向量υ的有向线段所在的直线与直线l垂直，则称向量υ为l的一个法向量，记作υ⊥l. 4.如果a＝(－1,2)是直线l的一个方向向量，你能写出l的一个法向量吗？ [提示]　(2,1)． [预习自测] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)倾斜角是描述直线的倾斜程度的唯一方法．(　　) (2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应．(　　) (3)一个倾斜角α不能确定一条直线．(　　) (4)斜率公式与两点的顺序无关．(　　) (5)直线的方向向量与法向量不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．如图所示，直线l的倾斜角为(　　) A．45°　　 B．135°　　　C．0°　　　D．不存在 解析：B　[有倾斜角的定义知直线l的倾斜角为135°.] 3．一条直线的斜率等于1，则此直线的倾斜角等于　________　. 解析：∵k＝tan α＝1.∴α＝45°. 答案：45° 4．直线l经过点A(2,1)和B(－5，－2)，则直线l的一个方向向量为　________　. 解析：＝(－5－2，－2－1)＝(－7，－3)． 答案：(－7，－3) 　　　直线的倾斜角 [例1]　已知直线l过原点，l绕原点按顺时针方向转动角α(0°<α<180°)后，恰好与y轴重合，求直线l转动前的倾斜角是多少？ [思路点拨]　画草图→标记α→找倾斜角与α的关系→求倾斜角 [解]　由题意画出如草图．由图可知： 当α为钝角时，倾斜角为α－90°， 当α为锐角时，倾斜角为α＋90°， 当α为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线l转动前的倾斜角为 　求直线的倾斜角的方法及两点注意 (1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角． (2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°. ②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. [变式训练] 1．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　) A．α　　　　　　　　 B．180°－α C．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α 解析：D　[如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α. 故选D.] 　　　斜率的计算 [例2]　(1)已知直线l过点A(－1，)，B(2，m)两点，若直线l的倾斜角是，则m＝(　　) A．－2　　 B．0　　　C．2　　　D．4 (2)一条直线过点A(1.0)和B(－2,3)，则该直线的倾斜角为(　　) A．30° B．45° C．135° D．150° [思路点拨]　(1)根据条件，由斜率公式得到关于m的方程，再求出m的值． (2)由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角． [解析]　(1)设直线l的斜率为k，则k＝＝tan＝－，故m＝－2. (2)一条直线过点A(1,0)和B(－2,3)，则该直线的斜率为＝－1， 故该直线的倾斜角为135°，故选：C. [答案]　(1)A　(2)C 　直线斜率的计算方法 (1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在． (2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝(其中x1≠x2)进行计算． [变式训练] 2．已知直线l过点M(m＋1，m－1)，N(2m,1)． (1)当m为何值时，直线l的斜率是1? (2)当m为何值时，直线l的倾斜角为90°？ 解：(1)kMN＝＝1，解得m＝. (2)l的倾斜角为90°，即l平行于y轴，所以m＋1＝2m，得m＝1. 　　　直线倾斜角与斜率的综合 [例3]　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． [解]　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1. (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在． 3.的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题． [变式训练] 3．(1)设点A(3，－5)，B(－2，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3 ]∪[1，＋∞) B. [－3,1] C．[－1,3] D．以上都不对 解析：如图所示，直线PB，PA的斜率分别为kPB＝1，kPA＝－3， 结合图形可知k≥1或k≤－3.故选A. (2)已知点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上，则2a－b＝　____　. 解析：三点A(1,1)，B(0，－1)，C(a，b)在同一直线上， ∴kAB＝kBC，∴＝，化为：2a－b＝1.故答案为：1. 答案：(1)A　(2)1 　　　求直线的方向向量或法向量 [例4]　已知直线l通过点A(1,2)，B(4,5)，求直线l的一个方向向量和法向量，并确定直线l的斜率与倾斜角． [解]　＝(4－1,5－2)＝(3,3)是直线l的一个方向向量．由法向量与方向向量垂直，∴法向量可以为(－1,1)．因此直线的斜率k＝1，直线的倾斜角θ满足tan θ＝1，从而可知θ＝45°. 求方向向量和法向量的方法 1．若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线上的两个不同的点，则直线l的方向向量为＝(x2－x1，y2－y1)，直线的法向量与方向向量垂直． 2．直线的方向向量和法向量不唯一． [变式训练] 4．已知直线l经过点M(3,3)和N(2,3＋)，求直线l的一个方向向量和法向量，并求直线l的斜率和倾斜角． 解：＝(2－3,3＋－3)＝(－1，)，∴直线l的一个方向向量为(－1，)，由于法向量与方向向量垂直． ∴法向量v＝(，1)，斜率k＝＝－，由tan θ＝－知θ＝120°. [当堂达标] 1．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α≤180° B．若k是直线l的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 解析：BD　[对A，若α是直线的倾斜角，则0°≤α<180°，故A错误；对B，根据k＝tan α，即正切函数的值域为实数，故B正确；对C，因为倾斜角为90°时没有斜率，故C错误；对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；故选：BD.] 2．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　) A．45°　　　　　 B．135° C．45°或135° D．60° 解析：A　[kAB＝＝＝1，故直线的倾斜角为45°.] 3．直线l的一个方向向量d＝(3，)，则直线l的倾斜角是　________________　，直线的斜率是　________________　. 解析：由d＝＝3，设c＝，则d∥c，由向量d＝(3，)是直线l的一个方向向量，则c＝也为直线l的一个方向向量．由c＝也为直线l的一个方向向量，则直线l的斜率为，所以倾斜角为 答案：　 4．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围． 解：如图所示． ∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)， ∴45°≤α≤120°. 学科网（北京）股份有限公司 $$