1.2.5 空间中的距离 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

1．2.5　空间中的距离 课程标准 素养解读 1.掌握向量长度计算公式 2.会用向量方法求两点间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离和面到面的距离 通过学习空间距离的求解，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平面内的“距离” ，这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有什么性质吗？ [知识梳理] [知识点一]　空间中两点之间的距离　 空间中两点之间的距离指的是这　两个点连线的线段长　. 　在空间中怎样求两点之间的距离？ [提示]　利用向量法转化为求向量的模． [知识点二]　点到直线的距离　 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定　一个平面　，所以过A可以作直线l的一条　垂线段　，　垂线段的长　称为点A到直线l的距离． [知识点三]　点到平面的距离　 1．给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，　垂线段的长　称为点A到平面α的距离． 2．一般地，若A是平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离为d＝ [知识点四]　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离　 (1)当直线与平面平行时，直线上　任意一点到平面的距离　称为这条直线与这个平面之间的距离，如果直线l与平面α平行，n是平面α的一个法向量，A、B分别是l上和α内的点，则直线l与平面α之间的距离为d＝. (2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点　到另一个平面的距离　称为这两个平行平面之间的距离． 如果平面α与平面β平行，n是平面β的一个法向量，A和B分别是平面α和平面β内的点，则平面α和平面β之间的距离为d＝. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)可以用||＝＝，求空间两点A、B的距离．(　　) (2)设n是平面α的法向量，A是平面α内一点，AB是平面α的一条斜线，则点B到α的距离为d＝(　　) (3)若直线l与平面α平行，直线l上任意一点与平面α内任意一点的距离就是直线l与平面α的距离．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)× 2．若已知点A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　) A．4　　 B．2　　　C．4　　　D．3 解析：A　[|AB|＝＝4. ] 3．已知平面α的一个法向量n＝(1,0,1)，点A(－1,1,0)在α内，则平面外点P(－1,1,1)到平面α的距离为　________　. 解析：　[＝(0,0,1)，n＝(1,0,1)，d＝＝＝.] 　空间两点间的距离 [例1] 　如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)． (1)求MN的长； (2)a为何值时，MN的长最小？ [思路点拨]　建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用两点间距离公式求解． [解]　(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)． 因为CM＝BN＝a(0<a<)，且四边形ABCD，ABEF为正方形， 所以M，N， 所以＝， 所以||＝(0<a<)． (2)由(1)知MN＝，所以，当a＝时，MN＝. 即当a＝时，MN的长最小，最小值为. 计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用||＝＝求解． (2)用坐标法求向量的长度(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． [变式训练] 1．如图所示，在120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，试求线段CD的长． 解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴·＝0，·＝0， 又∵二面角α­AB­β的平面角为120°， ∴〈，〉＝60°， ∴|CD|2＝||2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3×62＋2×62×cos 60°＝144， ∴CD＝12. 　　　点到直线的距离 [例2]　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AA1＝5，求点A1到下列直线的距离： (1)直线AC；(2)直线BD. [解]　(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，显然AA1⊥AC， 所以AA1＝5即为所求点A1到直线AC的距离． (2)如图建立空间直角坐标系， 则有B(4,3,0)，A1(4,0,5). ＝(4,3,0)，＝(4,0,5)， ＝， 设点A1到直线BD的距离为d.所以 d＝＝＝ 1．本题(1)利用基本定义直接求解距离． 2．点到直线的距离的算法框图 空间一点A到直线l的距离的算法框图，如图． [变式训练] 2.已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4,3,0)，＝(0,3,1)，所以点B到直线A1C1的距离d＝＝＝. 　　　点到平面的距离 [例3]　在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2.M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． [思路点拨]　借助平面SAC⊥平面ABC的性质，建立空间直角坐标系，先求平面CMN的法向量，再求距离． 解：取AC的中点O，连接OS，OB. ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴SO⊥平面ABC. 又BO⊂平面ABC，∴SO⊥BO. 如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，则B(0,2，0)，C(－2,0,0)，S(0,0,2)，M(1，，0)，N(0，，)．∴＝(3，，0)，＝(－1,0，)，＝(－1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 则取z＝1， 则x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)． ∴点B到平面CMN的距离d＝＝. 　求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离． (2)在三棱锥中用等体积法求解． (3)向量法：d＝(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段) [变式训练] 3.在直三棱柱中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中点． (1)求证：B1C∥平面A1BD； (2)求直线B1C到平面A1BD的距离． 解析：(1)证明：连接AB1交A1B于点E，连接DE. ⇒B1C∥平面A1BD. (2)因为B1C∥平面A1BD，所以B1C到平面A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离． 如图建立坐标系，则D(0,0,0)，B1(0,2，3)，B(0,2，0)，A1(－1,0,3)， ＝(0,2，3)，＝(0,2，0)，＝(－1,0,3)． 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，所以所以n＝(3,0,1)． 所求距离为d＝＝. 　平行线面、平行平面间的距离 [例4] 如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1. (1)求证：BE∥平面DCF； (2)求点B到平面DCF的距离． [解]　(1)证明：由已知可得⇒平面ABE∥平面DFC， ∵BE⊂平面ABE，∴BE∥平面DCF. (2)如图，以D为原点，建立空间直角坐标系． ∵AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°， 则△ADB∽△BCD⇒＝， ∵CD＝1，BC＝2.∴BD＝， ∴AD＝2，AB＝5，∴F(0,0,1)， D(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0，，0)， C，＝(0，－，1)， ＝，＝. 设平面DCF的法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令x＝1，y＝2，z＝0.∴n＝. d＝＝2.∴B到平面DCF的距离为2. 求直线与平面间的距离，往往转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解最为简单为准则，求直线到平面的距离的题目不多，因直线到平面的距离可以用点到平面的距离求解，但在求点到平面的距离时有时用直线到平面的距离进行过渡． [变式训练] 4．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)， ＝(0,1，－1)，＝(－1,0，－1)，＝(－1，0,0)． 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)． ∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. [当堂达标] 1．若O为坐标原点，＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A.　 B．2　 　C.　　 D. 解析：D　[由题意得＝(＋)＝(2，，3) ＝－＝(－2，－，－3)，则||＝＝.故选D.] 2．若正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(　　) A. B．1 C. D. 解析：D　[如图，A1C1∥平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60°，AB＝1.∴BB1＝.即点A1到平面ABCD的距离为.] 3．已知直线l经过点A(2,3,1)，且向量n＝(1,0，－1)所在直线与l垂直，则点P(4,3,2)到l的距离为　________　. 解析：因为＝(－2,0，－1)，又n与l垂直，所以点P到l的距离为＝＝. 答案： 4．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是　_________　. 解析：如图建立坐标系．则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，＝(2,0,2)，＝(2,0,0)，＝(2,2,0)，设平面A1BD的法向量n＝(x，y，z)，则 ∴令z＝1，得n＝(－1,1,1)．∴D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$