2.3.2 圆的一般方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程．(　　) (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程．(　　) (3)若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(　　) (4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 解析：D　[－eq \f(D,2)＝2，－eq \f(E,2)＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．] 3．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为　________　. 解析：因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝eq \r(5－m)＝eq \f(3,2)，∴m＝eq \f(11,4). 答案：eq \f(11,4) 圆的一般方程的认识 [例1]　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆．若能表示圆，求出圆心和半径． [思路点拨]　可直接利用D2＋E2－4F>0是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数． 解：(方法1)由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2. 因此，当m＝2时，它表示一个点； 当m≠2时，原方程表示圆，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F)＝eq \r(5)|m－2|. (方法2)原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆， 此时，圆的圆心为(2m，－m), 半径为r＝eq \r(5)|m－2|. 二元二次方程表示圆的判断方法 任何一个圆的方程都可化为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程不一定表示圆．判断它是否表示圆可以有以下两种方法： (1)计算D2＋E2－4F，若其值为正，则表示圆；若其值为0，则表示一个点；若其值为负，则不表示任何图形． (2)将该方程配方为(x＋eq \f(D,2))2＋(y＋eq \f(E,2))2＝eq \f(D2＋E2－4F,4)，根据圆的标准方程来判断． [变式训练] 1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 解：(1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<eq \f(1,5)， 故m的取值范围为(－∞，eq \f(1,5))． (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0 写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝eq \r(1－5m). 求圆的一般方程 [例2]　已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径． [解]　法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， ∵A，B，C在圆上， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，)) ∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 法二：∵kAB＝eq \f(4－3,1＋2)＝eq \f(1,3)，kAC＝eq \f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴圆心是线段BC的中点， 坐标为(1，－1)，r＝eq \f(1,2)|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为： (1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)； (2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组； (3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． [变式训练] 2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求圆的一般方程． 解：圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－eq \f(D,2)－eq \f(E,2)－1＝0， 即D＋E＝－2.① 又∵半径长r＝eq \f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq \r(2)， ∴D2＋E2＝20.② 由①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.)) 又∵圆心在第二象限，∴－eq \f(D,2)＜0，即D＞0.则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.)) 故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 与圆有关的轨迹方程问题 [例3]　点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． [思路点拨] (1)eq \x(设点M坐标)→eq \x(用P，A坐标表示) eq \x(点M坐标)→eq \x(求轨迹方程) (2)eq \x(设点N坐标)→eq \x(探求点N的几何条件) →eq \x(建方程)→eq \x(化简得轨迹方程) [解]　(1)设线段AP的中点为M(x，y)， 由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 求轨迹方程的一般步骤： (1)建立适当坐标系，设出动点M 的坐标(x，y)； (2)列出点M 满足条件的集合； (3)用坐标表示上述条件，列出方程； (4)将上述方程化简； (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点． [变式训练] 3.已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程． [解]　以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)． ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y0.))① ∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq \o\al(2,0)＝9.② 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)． [当堂达标] 1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是(　　) A．一个点　　　　　 B．一个圆 C．一条直线 D．不存在 解析：A　[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．] 2．(多选题)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则下列可能为m值的有(　　) A.eq \f(1,4)　　 B.eq \f(1,3)　　　C.eq \f(1,2)　　　D．1 解析：AB　[x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为(x－eq \f(1,2))2＋(y＋eq \f(1,2))2＝eq \f(1,2)－m，则eq \f(1,2)－m>0，解得m<eq \f(1,2). 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m>0，即m>0，所以0<m<eq \f(1,2).对照选择项，知AB可能．] 3．已知一动点M到点A(－4,0)的距离是它到点B(2，0)的距离的2倍，则动点M的轨迹方程是　______________________________　. 解析：设动点M的坐标为(x，y)，则|MA|＝2|MB|， 即eq \r(x＋42＋y2)＝2eq \r(x－22＋y2)， 整理，得x2＋y2－8x＝0.故所求动点M的轨迹方程为x2＋y2－8x＝0. 答案：x2＋y2－8x＝0 4．已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程． 解：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2D＋2E＋F＋8＝0D2＋E2－4F>0，,5D＋3E＋F＋34＝0，,3D－E＋F＋10＝0，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝－2，,F＝12，)) 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. $$