2.3.1 圆的标准方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)∵圆心在y＝－2x上，设圆心为(a，－2a)， 设圆心到直线x－y－1＝0的距离为r. ∴r＝eq \f(|a＋2a－1|,\r(2))，　① 又圆过点P(2，－1)，∴r2＝(2－a)2＋(－1＋2a)2，② 由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,r＝\r(2)))，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝9，,r＝13\r(2)，)) ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2或(x－9)2＋(y＋18)2＝338. 点与圆的位置关系 [例2]　(1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　) A．点P在圆内　　　　 B．点P在圆外 C．点P在圆上 D．不确定 (2)已知点M(5eq \r(a)，eq \r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是　__________　. 　　 [思路点拨]　(1)首先根据圆的方程确定圆心和半径，然后利用P到圆心的距离和圆的半径大小关系确定点与圆的位置关系；(2)首先确定圆心和半径，利用圆心到点M的距离小于半径列出不等式求解． 解析：(1)因为(m2)2＋52＝m4＋25>24，所以点P在圆外． (2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥0，,5\r(a)＋1－12＋\r(a)2<26，)) 解得0≤a<1. 答案：(1)B　(2)[0,1) 　点与圆的位置关系及其应用 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．判断点与圆的位置关系有两种方法：一是用圆心到该点的距离与半径比较，二是代入圆的标准方程，判断与r2的大小关系．通过点与圆的位置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围． [变式训练] 2．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　) A．a<－1或a>1 B．－1<a<1 C．0<a<1 D．a＝±1 解析：B　[由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，故－1<a<1.] 与圆有关的最值问题 [例3]　(1)若P(x，y)为圆C(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值． (2)已知x和y满足(x＋1)2＋y2＝eq \f(1,4)， ①求x2＋y2的最值．②求eq \f(y,x)的取值范围． [解]　(1)原点到圆心C(－1,0)的距离d＝1，圆的半径为eq \f(1,2)，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，最小距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). (2)①由题意知x2＋y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值．原点O(0,0)到圆心C(－1,0)的距离d＝1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，最小距离为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).因此x2＋y2的最大值和最小值分别为eq \f(9,4)和eq \f(1,4). ②设k＝eq \f(y,x)，变形为k＝eq \f(y－0,x－0)，此式表示圆上一点(x, y)与点(0, 0)连线的斜率， 由k＝eq \f(y,x)，可得y＝kx，此直线与圆有公共点，圆心到直线的距离d≤r，即eq \f(|－k|,\r(k2＋1))≤eq \f(1,2)，解得－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3).即eq \f(y,x)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))). 　最值问题的常见类型及解法 (1)形如u＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x, y)和(a, b)的动直线斜率的最值问题． (2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq \f(a,b) x＋eq \f(l,b)截距的最值问题． (3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x, y)到定点(a, b)的距离的平方的最值问题． (4)求圆外一点到圆的最大距离和最小距离， 可采用几何法，先求出该点到圆心的距离，再加上或减去圆的半径，即可得距离的最大值和最小值． [变式训练] 3．(1)若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值． (2)已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求eq \r(x＋12＋y＋12)的最大值与最小值. [解]　 (1)P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋－12))＝2eq \r(2)，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2eq \r(2)＋2，最小值为2eq \r(2)－2. (2)因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2， 因此eq \r(x＋12＋y＋12)表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离． 因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4， 所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示． 而|AC|＝eq \r(0＋12＋－4＋12)＝eq \r(10)，所以eq \r(x＋12＋y＋12)的最大值为|AC|＋r＝eq \r(10)＋2， 最小值为|AC|－r＝eq \r(10)－2. [当堂达标] 1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝100 B．(x－1)2＋(y－2)2＝100 C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝25 D．(x－1)2＋(y－2)2＝25 解析：D　[∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，eq \f(1,2)|AB|＝eq \f(1,2) eq \r(5＋32＋5＋12)＝5为半径，∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.] 2．下列说法正确的是(　　) A．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件 B．如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切 C．如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 D．从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程 答案：D 3．与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为　________________　. 解析：∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 答案：(x＋5)2＋(y＋3)2＝25 4．求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程. 解：法一：(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝r2,a－12＋b－12＝r2,2a＋3b＋1＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－3，,r＝5.)) ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 法二：(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋3y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3，)) 即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝eq \r(42＋－32)＝5. ∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. $$