2.2.3 两条直线的位置关系 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(2)向量方法判断 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量． ①l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即　A1B2≠A2B1　. ②l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即　A1B2＝A2B1　； l1与l2重合的充要条件是，存在实数λ使得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1＝λA2，,B1＝λB2，,C1＝λC2.)) 直线Ax＋By＋C1＝0与直线Ax＋By＋C2＝0，平行的充要条件是什么？重合呢？ [提示]　平行的充要条件是C1≠C2，重合的充要条件为C1＝C2. [知识点二]　两条直线垂直　 对应 关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔　k1·k2＝－1　 l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是　l1⊥l2　 图示 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．(　　) (2)若两直线斜率都不存在，则两直线平行．(　　) (3)无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交．(　　) (4)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是(　　) A．(2,2)　　　　 B．(1,1) C．(1,2) D．(2,1) 解析：C　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))得交点坐标为(1,2)，故选C.] 3．直线l1与l2的斜率是一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根，则l1与l2的位置关系为　________　. 解析：由题意知一元二次方程2 019x2－2 020x－2 019＝0的两根x1·x2＝－1， ∴直线l1、l2的斜率之积k1k2＝－1，∴直线l1⊥l2. 答案：垂直 4．若直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，则a＝　________　. 解析：因为直线l：x＋ay＋2＝0平行于直线2x－y＋3＝0，所以1×(－1)－2a＝0，解得a＝－eq \f(1,2). 答案：－eq \f(1,2) 两直线的交点问题 [例1]　分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. [解]　(1)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0，,3x＋2y－7＝0，))的解为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.)) 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－6y＋4＝0，,4x－12y＋8＝0，))有无数个解，这表明直线l1和l2重合． (3)方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0，))无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 　两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． [变式训练] 1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 解：(1)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x＋y＋3＝0，,x－2y－1＝0))，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，)) 所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋2＝0，①,2x＋2y＋3＝0，②))①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 两条直线相交、平行、重合的判定 [例2]　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． [思路点拨]　可尝试根据两直线相交、平行、重合的等价条件，列出方程求参数的值． [解]　∵直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6，A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0，即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0，即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． (2)若l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－mm－2＝0，,2m2－18≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－2m－3＝0，,m2≠9，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，,m≠3且m≠－3，)) ∴m＝－1.故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)若l1与l2重合，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1＝0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－mm－2＝0，,2m2－18＝0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，,m＝3或m＝－3，))∴m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合． 根据两直线的位置关系确定参数取值时，因为斜率是否存在不清楚，若使用斜率判定，两直线位置关系需分类讨论，但使用直线方程一般式的系数来判定两直线的位置关系不必讨论．因此使用直线方程一般式系数来判定两直线位置关系更简便易行． [变式训练] 2．l1：9x－y＋a＋2＝0；l2：ax＋(a－2)y＋1＝0.求当a为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解：由题意：A1＝9，B1＝－1，C1＝a＋2，A2＝a，B2＝a－2，C2＝1， (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0， 即9(a－2)－a×(－1)≠0，∴a≠eq \f(9,5).故当a≠eq \f(9,5)时，直线l1与l2相交． (2)若l1∥l2，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9a－2－a×－1＝0，,－1－a2－4≠0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,5)，,a≠±\r(3).))∴当a＝eq \f(9,5)时，l1与l2平行． (3)若l1与l2重合，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1＝0，)) 由(2)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,5)，,a＝±\r(3)，))不成立，∴直线l1与l2不重合． 综上所述：当a≠eq \f(9,5)时，两直线相交，当a＝eq \f(9,5)时，两直线平行，不论a为何值两直线不会重合． 两条直线垂直的判定 [例3]　分别判断下列两直线是否垂直． (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20，3)． (2)直线l1经过A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2，4)，Q(2,4)． (3)直线l1的斜率为eq \f(1,3)，直线l2与直线2x＋3y＋1＝0平行． [思路点拨]　若斜率存在，求出斜率，利用垂直的条件判断；若一条直线的斜率不存在，再看另一条的斜率是否为0，若为0，则垂直； [解]　(1)直线l1的斜率为k1＝－10，直线l2的斜率为k2＝eq \f(3－2,20－10)＝eq \f(1,10)，k1·k2＝－10×eq \f(1,10)＝－1.所以直线l1与l2垂直． (2)直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直． (3)直线l1的斜率为k1＝eq \f(1,3)，直线l2的斜率为k2＝－eq \f(2,3)，k1·k2＝－eq \f(2,9)≠－1，所以直线l1与l2不垂直． [变式训练] 3．(1)已知直线l1的斜率为k1＝eq \f(3,4)，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a＝　________　. (2)直线l1：ax＋(1－a)y＝3与l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2垂直，求a的值 解析：(1)∵l1⊥l2，且k1＝eq \f(3,4)，∴kAB＝－eq \f(4,3)， 即eq \f(a2＋1－－2,0－3a)＝－eq \f(4,3)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3. (2)(方法一)当a＝1时，l1为x＝3，l2为y＝eq \f(2,5)，故l1⊥l2； 当a＝－eq \f(3,2)时，l1的方程为－eq \f(3,2)x＋eq \f(5,2)y＝3，l2的方程为－eq \f(5,2)x＝2， 显然l1，l2不垂直； 当a≠1且a≠－eq \f(3,2)时，由k1·k2＝－1，得eq \f(a,a－1)×eq \f(1－a,2a＋3)＝－1，解得a＝－3. 综上所述，a＝1或a＝－3. (方法二)利用A1A2＋B1B2＝0，即a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝1或a＝－3. 答案：(1)1或3　(2)略 直线平行与垂直的综合应用 [例4]　已知四边形ABCD的顶点A(m，n)、B(5，－1)、C(4,2)、D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形． [思路点拨]　利用直线方程的系数关系，或两直线间的斜率关系，判断两直线的位置关系． [解析]　 (1)如图，当∠A＝∠D＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形，∴AB∥DC且AD⊥AB. ∵kDC＝0，∴m＝2，n＝－1. (2)如图，当∠A＝∠B＝90°时， ∵四边形ABCD为直角梯形， ∴AD∥BC，且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kABkBC＝－1. ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(n－2,m－2)＝\f(2－－1,4－5)，,\f(n＋1,m－5)·\f(2－－1,4－5)＝－1，))，解得m＝eq \f(16,5)、n＝－eq \f(8,5). 综上所述，m＝2、n＝－1或m＝eq \f(16,5)、n＝－eq \f(8,5). 利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤 [变式训练] 4．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)． (1)求点D的坐标； (2)试判定▱ABCD是否为菱形？ 解：(1)设D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，))所以D(－1,6)． (2)因为kAC＝eq \f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq \f(6－0,－1－5)＝－1， 所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形． [当堂达标] 1．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是(　　) A．(5,2)　　　　　　 B．(2,3) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) D．(5,9) 解析：B　[(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0可化为k(2x－y－1)－x－3y＋11＝0，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－y－1＝0，,x＋3y－11＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))即直线恒过定点(2,3)．] 2．(多选)当0＜k＜eq \f(1,2)时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点可能是(　　) A．(2,3) B．(1,2) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))) 解析：CD　[由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(kx－y－k＋1＝0，,ky－x－2k＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)，))把各个选项代入验证即可．] 3．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为　________　. 解析：由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2. 答案：±2 4．求经过点A(2,1)且与直线2x＋ay－10＝0垂直的直线l的方程． 解析： (方法一)①当a＝0时，已知直线化为x＝5，此时直线斜率不存在，则所求直线l的斜率为0，因为直线l过点A(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝0(x－2)，即y＝1. ②当a≠0时，已知直线2x＋ay－10＝0的斜率为－eq \f(2,a)，因为直线l与已知直线垂直，设直线l的斜率为k，，所以k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)))＝－1，所以k＝eq \f(a,2). 因为直线l过点A(2,1)，所以所求直线l的方程为y－1＝eq \f(a,2)(x－2)，即ax－2y－2a＋2＝0. 所求直线l的方程为y＝1或ax－2y－2a＋2＝0. 又y＝1是ax－2y－2a＋2＝0的一个特例， 故所求直线l的方程为ax－2y－2a＋2＝0. (方法二)根据与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0. 因此根据题意可设所求方程为ax－2y＋m＝0， 又因为该直线过点A(2,1)，所以2a－2＋m＝0，即m＝2－2a. 所以所求方程为ax－2y－2a＋2＝0. $$