2.2.2 第3课时 直线的一般式方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[思路点拨]　先选择合适的形式将直线方程写出来，再化为一般式. [解]　(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝eq \r(3)(x－5)，化为一般式方程为eq \r(3)x－y＋3－5eq \r(3)＝0. (2)由斜截式方程可知，所求直线方程为y＝4x－2， 化为一般式方程为4x－y－2＝0. (3)由两点式方程可知， 所求直线方程为eq \f(y－5,－1－5)＝eq \f(x－－1,2－－1)， 化为一般式方程为2x＋y－3＝0. (4)由截距式方程可得，所求直线方程为eq \f(x,－3)＋eq \f(y,－1)＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0. 　直线的一般式方程的特征 求直线方程时，要求将方程化为一般式方程，其形式一般作如下设定：x的系数为正；系数及常数项一般不出现分数；一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列． [变式训练] 1．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式. (1)斜率是－eq \f(1,2)，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(4,2)，且平行于x轴； (3)在x轴和y轴上的截距分别是eq \f(3,2)，－3； (4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)． 解：(1)由点斜式方程，得y－(－2)＝－eq \f(1,2)(x－8)，即x＋2y－4＝0. (2)由点斜式方程，得y－2＝0. (3)由截距式方程，得eq \f(x,\f(3,2))＋eq \f(y,－3)＝1，即2x－y－3＝0. (4)由两点式方程，得eq \f(y－－2,－4－－2)＝eq \f(x－3,5－3)，即x＋y－1＝0. 一般式方程的应用 [例2]　(1)若方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则实数a满足　______　. (2)把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． (1)[解]　由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋5a＋6＝0，,a2＋2a＝0，))得a＝－2， ∵方程(a2＋5a＋6)x＋(a2＋2a)y＋1＝0表示一条直线， ∴a≠－2. [答案]　a≠－2 (2)[解]　由方程一般式x－2y＋6＝0，① 移项，去系数得斜截式y＝eq \f(x,2)＋3.② 由②知直线l在y轴上的截距是3，又在方程①或②中， 令y＝0，可得x＝－6.即直线在x轴上的截距是－6. 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为零． 2．令x＝0可得在y轴上的截距，令y＝0可得在x轴上的截距，若确定直线的斜率存在，可将一般式化为斜截式． 3．因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x轴，y轴上的截距点)，过这两点作出直线即可． [变式训练] 2．(1)(多选题)如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0经过(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若直线(2a2－4a)x＋(a2－4)y＋5a2＝0的倾斜角是eq \f(π,4)，则实数a是　________　. 解析：(1)直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距为－eq \f(C,A)＝－eq \f(BC,AB)<0， 在y轴上的截距为－eq \f(C,B)>0，如图所示： 由图像可知，直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，故选：A、B、C. (2)因为直线(2a2－4a)x＋(a2－4)y＋5a2＝0的倾斜角是eq \f(π,4)，所以直线(2a2－4a)x＋(a2－4)y＋5a2＝0的斜率为tan eq \f(π,4)＝1，因此a2－4≠0，y＝eq \f(2a2－4ax,－a2－4)＋eq \f(5a2,－a2－4)，∴eq \f(2a2－4a,－a2－4)＝1 ∴3a2－4a－4＝0，∴a＝－eq \f(2,3)或a＝2(舍) 答案：(1)ABC　(2)－eq \f(2,3) 与含参数的一般式方程有关的问题 [例3]　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围． [思路点拨]　(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；(2)直线不过第二象限即斜率大于0且与y轴的截距不大于0. [解]　(1)证明：法一：将直线l的方程整理为y－eq \f(3,5)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,5)))， ∴直线l的斜率为a，且过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))， 而点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5)))在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． 法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式对任意的a总成立，必有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5x－1＝0，,5y－3＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(3,5).)) 即l过定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(3,5))). 以下同法一． (2)直线OA的斜率为k＝eq \f(\f(3,5)－0,\f(1,5)－0)＝3. 如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，∴a≥3. 　直线恒过定点的求解策略 (1)将方程化为点斜式，求得定点的坐标； (2)将方程变形，把x, y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x, y的值，即为直线过的定点． [变式训练] 3．(1)直线y＝ax－3a＋2(a∈R)必过定点　________　. (2)若直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)不经过第四象限，则k的取值范围为　_______　. 解析：(1)将直线方程变形为y－2＝a(x－3)，由直线方程的点斜式可知，直线的斜率为a，过定点(3,2)． (2)因为kx－y＋1＋2k＝0可化为k(x＋2)－y＋1＝0，故直线l过定点(－2,1)， 而(－2,1)为第二象限中的点，且直线l不经过第四象限，故斜率k≥0. 答案：(1)(3,2)　(2)[0，＋∞) [当堂达标] 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　 ) A．A≠0　　　　　 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：D　[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.] 2．直线l的方程是3x－2y＋6＝0，则直线l经过(　　) A．一、二、三象限　　　 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 解析：A　[画出直线图形如下： 由图可得直线过一、二、三象限．] 3．直线eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1的一般式方程为　__________　. 解析：由eq \f(x,3)＋eq \f(y,4)＝1得：4x＋3y－12＝0，∴直线的一般式方程为：4x＋3y－12＝0. 答案：4x＋3y－12＝0 4．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值： (1)直线l的斜率为－1； (2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0. 解：(1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2，由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5. (2)直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1. $$