2.2.2 第1课时 直线的点斜式与斜截式方程 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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[知识点二]　直线的点斜式方程和斜截式方程　 点斜式 斜截式 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距　b　 图示 方程形式 y－y0＝　k(x－x0)　 　y＝kx＋b　 适用条件 斜率存在 　1.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ [提示]　不能．有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直线，其方程都不能用点斜式表示． [知识点三]　直线的截距　 　当直线l既不是x轴也不是y轴时，若直线l与x轴的交点为(a,0)，则称l在x轴上的截距为a，与y轴的交点为(0，b)，则称l在y轴上的截距为b. 2.截距是距离吗？为什么？ [提示]　截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y轴所在直线方程为y＝0.(　　) (2)直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3)．(　　) (3)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离．(　　) (4)直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．过点P(－2,0)，斜率为3的直线的方程是(　　) A．y＝3x－2　　　 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 解析：D　[由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，选D.] 3．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝x－1 C．y＝－x＋1 D．y＝－x－1 解析：D　[由题意知，直线的斜率k＝－1，又在y轴上截距为－1，故直线方程为y＝－x－1，选D.] 直线的点斜式方程 [例1]　写出下列直线的点斜式方程． (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． [解]　(1)因为倾斜角为45°，所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°，所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 所以直线的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0，即y＝－1. (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程． 利用点斜式求直线方程的方法 (1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程； (2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程． [变式训练] 1．根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行． 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－5＝4(x－2)； (2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线方程为y－3＝x－2； (3)y＝－1. 直线的斜截式方程 [例2]　根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2. [思路点拨] eq \x(\a\al(确定直线,的斜率k))→eq \x(\a\al(确定直线在y,轴上的截距b))→eq \x(\a\al(得方程,y＝kx＋b)) [解]　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝2x＋5. (2)∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－eq \f(\r(3),3). 由斜截式可得方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x－2. 　斜截式方程的求法 已知直线的斜率与y轴上的截距，可直接写出直线的方程；已知直线的斜截式方程，可得直线的斜率与y轴上的截距．直线的斜截式方程形式简单，特点明显，是运用较多的直线方程的形式之一． [变式训练] 2．(1)写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－eq \f(4,3)的直线的斜截式方程； (3)已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 解：(1)易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－eq \f(4,3)，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－eq \f(4,3)(x－6)，化成斜截式为y＝－eq \f(4,3)x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知：直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)． 直线的点斜式与斜截式方程的灵活应用 [例3]　(1)已知直线l的方程为y＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，若设l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则logab的值为(　　) A.eq \f(1,2)　 B．2　　 C．log26　 　D．0 (2)已知直线l过点P(－2,0)，直线l与坐标轴围成的三角形的面积为10，则直线l的方程为　__________　. 解析：(1)∵直线l的方程为y＋1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，∴直线l的斜率为2，在y轴上的截距为4，即a＝2，b＝4，∴logab＝log24＝2，故选B. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则由已知得eq \f(1,2)×|－2|×|b|＝10，b＝±10. ①当b＝10时，直线过点(－2,0)，(0,10)，斜率k＝eq \f(10－0,0－－2)＝5. 故直线的斜截式方程为y＝5x＋10. ②当b＝－10时，直线过点(－2,0)，(0，－10)，斜率k＝eq \f(－10－0,0－－2)＝－5. 故直线的斜截式方程为y＝－5x－10. 综合①②可知，直线l的方程为y＝5x＋10或y＝－5x－10. 答案：(1)B　(2)y＝5x＋10或y＝－5x－10. 1．已知一点的坐标，求过该点的直线方程，可选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率．若已知直线的斜率，可选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． 2．已知直线的点斜式方程或斜截式方程，可由直线方程的形式对应求得直线的斜率或截距。 [变式训练] 3．求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线y＝－eq \f(3,8)x＋eq \f(1,8)斜率的2倍； (2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12. 解析：(1)因为y＝－eq \f(3,8)x＋eq \f(1,8).所以直线y＝－eq \f(3,8)x＋eq \f(1,8)的斜率为－eq \f(3,8)， 则所求直线的斜率k＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))＝－eq \f(3,4).又所求直线经过点(－1，－3)， 因此所求直线的方程为y＋3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即y＝－eq \f(3,4)x－eq \f(15,4). (2)设直线与x轴的交点为(a,0)． 因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋eq \r(a2＋42)＋|a|＝12， 解得a＝±3.所以所求直线的斜率k＝eq \f(4,3)或－eq \f(4,3)，则所求直线的方程为y－4＝eq \f(4,3)x或y－4＝－eq \f(4,3)x， 即y＝eq \f(4,3)x＋4或y＝－eq \f(4,3)x＋4. [当堂达标] 1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　) A．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 解析：C　[方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，所以直线过点(－1，－2)，斜率为－1.选C.] 2．已知直线l的方程为y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　 ) A．9　 B．－9　　 C.eq \f(27,4)　 　D．－eq \f(27,4) 解析：B　[由y＋eq \f(27,4)＝eq \f(9,4)(x－1)，得y＝eq \f(9,4)x－9， ∴l在y轴上的截距为－9.] 3．已知直线l过点P(2,1)，且斜率为－1，则l的点斜式方程为　________　. 解析：直线l的斜率k＝－1，又过点P(2,1)，所以l点斜式方程为y－1＝－(x－2)． 答案：y－1＝－(x－2) 4．直线l经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程． 解：直线y＝eq \r(3)x＋eq \r(3)的斜率k＝eq \r(3)， 则其倾斜角α＝60°，所以直线l的倾斜角为120°. 以直线l的斜率为k′＝tan 120°＝－eq \r(3). 所以直线l的点斜式方程为y－4＝－eq \r(3)(x－3)． $$