1.2.1 空间中的点、直线与空间向量 -【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(1)如果A、B是直线l上两个不同的点，则v＝eq \o(AB,\s\up16(→))，即为直线l的一个　方向向量　. 　直线l的方向向量唯一吗？直线l的方向向量之间有怎样的关系？ [提示]　直线l的方向向量不唯一，若v为直线的方向向量，则λv(λ≠0)也为直线l的方向向量，直线l的任意两个方向向量都平行． (2)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1∥v2⇔　l1∥l2或l1与l2重合　. [知识点三]　空间中两条直线所成的角　 1．设v1、v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ＝　〈v1，v2〉　或θ＝　π－〈v1，v2〉　，所以sin θ＝　sin〈v1，v2〉　，cos θ＝　|cos〈v1，v2〉|　. 2．〈v1，v2〉＝eq \f(π,2)⇔　l1⊥l2　⇔v1·v2＝　0　. [知识点四]　异面直线与空间向量　 设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量． (1)若l1与l2异面，则v1与v2的关系为v1与v2不平行． (2)若v1与v2不平行，则l1与l2的位置关系为　相交或异面　. (3)若A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，v1，v2，eq \o(AB,\s\up16(→))　不共面　.若v1，v2，eq \o(AB,\s\up16(→))不共面，则l1与l2异面． (4)公垂线段：一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，　MN⊥l1，MN⊥l2　.则称MN为l1与l2的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的　距离　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l的方向向量是唯一的．(　　) (2)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(　　) (3)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(3,0,2)，v2＝(1,0，m)，若l1∥l2，则m等于　________　. 解析：eq \f(2,3)　[因为l1∥l2，所以存在实数λ，使v1＝λv2.即(3,0,2)＝λ(1,0，m)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝3，,λm＝2.))∴m＝eq \f(2,3).] 空间中点的位置确定 [例1] 　已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3,4,0)，B(2,5,5)，C(0,3,5)． (1)若eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))，求P点的坐标； (2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，求P点的坐标． [思路点拨]　(1)由条件先求出eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))的坐标，再利用向量的运算求P点的坐标． (2)先把条件AP∶PB＝1∶2转化为向量关系，再运算． [解]　(1)eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－1,1,5)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－3，－1,5)，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))－eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(2,2,0)＝(1,1,0)， ∴P点的坐标为(1,1,0)． (2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB＝1∶2，知eq \o(AP,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(PB,\s\up16(→)). 设点P的坐标为(x，y，z)， 则eq \o(AP,\s\up16(→))＝(x－3，y－4，z)，eq \o(PB,\s\up16(→))＝(2－x,5－y,5－z)， 故(x－3，y－4，z)＝eq \f(1,2)(2－x,5－y,5－z)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝\f(1,2)2－x，,y－4＝\f(1,2)5－y，,z＝\f(1,2)5－z，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,3)，,y＝\f(13,3)，,z＝\f(5,3).)) 因此P点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，\f(13,3)，\f(5,3))). 此类问题常转化为向量的共线、向量的相等解决，设出要求的点的坐标，利用已知条件得关于要求的点的坐标的方程或方程组求解即可． [变式训练] 1．已知点A(2,4,0)，B(1,3,3)，如图，以eq \o(AB,\s\up16(→))的方向为正方向，在直线AB上建立一条数轴，P，Q为轴上的两点，且分别满足条件： (1)AP∶PB＝1∶2；(2)AQ∶QB＝2∶1. 求点P和点Q的坐标． [解]　由已知，得eq \o(PB,\s\up16(→))＝2eq \o(AP,\s\up16(→))，即eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OP,\s\up16(→))＝2(eq \o(OP,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→)))，eq \o(OP,\s\up16(→))＝eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→)). 设点P坐标为(x，y，z)，则上式换用坐标表示，得 (x，y，z)＝eq \f(2,3)(2,4,0)＋eq \f(1,3)(1,3,3)， 即x＝eq \f(4,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,3)，y＝eq \f(8,3)＋eq \f(3,3)＝eq \f(11,3)，z＝0＋1＝1. 因此，P点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(11,3)，1)).因为AQ∶QB＝2∶1， 所以eq \o(AQ,\s\up16(→))＝－2eq \o(QB,\s\up16(→))，eq \o(OQ,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝－2(eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OQ,\s\up16(→)))，eq \o(OQ,\s\up16(→))＝－eq \o(OA,\s\up16(→))＋2eq \o(OB,\s\up16(→))， 设点Q的坐标为(x′，y′，z′)，则上式换用坐标表示， 得(x′，y′，z′)＝－(2,4,0)＋2(1,3,3)＝(0,2,6)，即x′＝0，y′＝2，z′＝6. 因此，Q点的坐标是(0,2,6)． 综上，P点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(11,3)，1))，Q点的坐标是(0,2,6)． 利用空间向量证明线线平行 [例2]　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，点P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS. 证明：(方法1)以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz. 则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，eq \o(PQ,\s\up16(→))＝(－3,2,1)，eq \o(RS,\s\up16(→))＝(－3,2,1)， ∴eq \o(PQ,\s\up16(→))＝eq \o(RS,\s\up16(→))，∴eq \o(PQ,\s\up16(→))∥eq \o(RS,\s\up16(→))， 即PQ∥RS. (方法2)eq \o(RS,\s\up16(→))＝eq \o(RC,\s\up16(→))＋eq \o(CS,\s\up16(→)) ＝eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up16(→))－eq \o(DA,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DD1,\s\up16(→))， eq \o(PQ,\s\up16(→))＝eq \o(PA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1Q,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(DD1,\s\up16(→))＋eq \f(1,2) eq \o(DC1,\s\up16(→))－eq \o(DA,\s\up16(→))， ∴eq \o(RS,\s\up16(→))＝eq \o(PQ,\s\up16(→))，∴eq \o(RS,\s\up16(→))∥eq \o(PQ,\s\up16(→))，即RS∥PQ. 利用空间向量证明线与线平行的方法 要证明两直线平行，可先求出两直线的方向向量，然后证明两直线的方向向量共线，从而证明两直线平行． [变式训练] 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，D1(0,0,1)， ∴eq \o(DA1,\s\up16(→))＝(1,0,1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，设eq \o(PQ,\s\up16(→))＝(a，b，c)， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(DA1,\s\up16(→))·\o(PQ,\s\up16(→))＝0，,\o(AC,\s\up16(→))·\o(PQ,\s\up16(→))＝0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋c＝0，,－a＋b＝0，)) 取eq \o(PQ,\s\up16(→))＝(1,1，－1)．易知eq \o(BD1,\s\up16(→))＝(－1，－1,1)，∴eq \o(PQ,\s\up16(→))＝－eq \o(BD1,\s\up16(→))， ∴eq \o(PQ,\s\up16(→))∥eq \o(BD1,\s\up16(→))，即PQ∥BD1. 利用向量法求异面直线的夹角(或余弦值) [例3] 　 (1)直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A.eq \f(1,10)　　 B.eq \f(2,5)　　　C.eq \f(\r(30),10)　　　D.eq \f(\r(2),2) (2)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为　________　. [思路点拨]　(1)建立空间直角坐标系，表示出eq \o(BM,\s\up16(→))，eq \o(AN,\s\up16(→))的坐标，利用向量法求解； (2)以A为原点，建立空间直角坐标系，设出正方形的边长，表示出向量eq \o(AF,\s\up16(→))，eq \o(EM,\s\up16(→))的坐标，建立函数关系式讨论最值． 解析　(1)C　(2)eq \f(2,5)　[(1)以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1，1,0)，B(0,2,2)，∴eq \o(AN,\s\up16(→))＝(－1,0，－2)，eq \o(BM,\s\up16(→))＝(1，－1，－2)， ∴cos〈eq \o(AN,\s\up16(→))，eq \o(BM,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(AN,\s\up16(→))·\o(BM,\s\up16(→)),|\o(AN,\s\up16(→))||\o(BM,\s\up16(→))|)＝eq \f(－1＋4,\r(5)×\r(6))＝eq \f(3,\r(30))＝eq \f(\r(30),10). (2)以AB，AD，AQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，设正方形边长为2，M(0，y,2)(0≤y≤2)，则A(0,0,0)，E(1,0,0)，F(2,1,0)，∴eq \o(EM,\s\up16(→))＝(－1，y,2)，|eq \o(EM,\s\up16(→))|＝eq \r(y2＋5)，eq \o(AF,\s\up16(→))＝(2,1,0)，|eq \o(AF,\s\up16(→))|＝eq \r(5)， ∴cos θ＝eq \f(|\o(EM,\s\up16(→))·\o(AF,\s\up16(→))|,|\o(EM,\s\up16(→))||\o(AF,\s\up16(→))|)＝eq \f(|y－2|,\r(5)·\r(y2＋5))＝eq \f(2－y,\r(5)·\r(y2＋5)). 令t＝2－y，要使cos θ最大，显然0<t≤2. ∴cos θ＝eq \f(1,\r(5))×eq \f(t,\r(9－4t＋t2))＝eq \f(1,\r(5))×eq \f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,t)－\f(2,3)))2＋\f(5,9)))≤eq \f(1,\r(5))×eq \f(1,\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(2,3)))2＋\f(5,9)))＝eq \f(1,5)×eq \f(2,\r(5))＝eq \f(2,5).当且仅当t＝2，即点M与点Q重合时，cos θ取得最大值eq \f(2,5).] 利用向量求异面直线所成角的步骤 (1)确定空间两条直线的方向向量； (2)求两个向量夹角的余弦值； (3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角． [变式训练] 3．如图所示，已知正四棱锥P­ABCD底面边长为a，高PO的长也为a，E，F分别是PD，PA的中点，求异面直线AE与BF所成角的余弦值． [解]　如图，以O为原点，过O点平行于AB、BC的直线为x轴、y轴，PO为z轴建立空间直角坐标系．由已知得 Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，－\f(a,2)，0))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(a,2)，0))， Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，\f(a,4)，\f(a,2)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，－\f(a,4)，\f(a,2)))， 所以eq \o(AE,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，\f(3a,4)，\f(a,2)))，eq \o(BF,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3a,4)，\f(a,4)，\f(a,2)))， 所以cos〈eq \o(AE,\s\up16(→))，eq \o(BF,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(AE,\s\up16(→))·\o(BF,\s\up16(→)),|\o(AE,\s\up16(→))|·|\o(BF,\s\up16(→))|) ＝eq \f(－\f(3a2,16)＋\f(3a2,16)＋\f(a2,4),\r(\f(a2,16)＋\f(9a2,16)＋\f(a2,4))·\r(\f(9a2,16)＋\f(a2,16)＋\f(a2,4)))＝eq \f(2,7). 所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为eq \f(2,7). [当堂达标] 1．(多选)若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　) A．(1,2,3)　　　　　 B．(1,3,2) C．(－1，－2，－3) D．(－1，－3，－2) 解析：AC　[eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2,4,6)＝2(1,2,3)＝－2(－1，－2，－3)，故直线l的一个方向向量为(1,2,3)或(－1，－2，－3)．] 2．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[由l1∥l2，得v1∥v2，得eq \f(1,λ)＝eq \f(2,4)＝eq \f(3,6)，故λ＝2.] 3．设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　) A．－2 B．2 C．10 D．6 解析：C　[因为a⊥b，故a·b＝0，即－2×3＋2×(－2)＋m＝0，解得m＝10.] 4．长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，求BM与DN所成角的余弦值． 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1))， D(0,0,0)，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))，eq \o(BM,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，1))，eq \o(DN,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，2))， 设向量eq \o(BM,\s\up16(→))与eq \o(DN,\s\up16(→))的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(\o(BM,\s\up16(→))·\o(DN,\s\up16(→)),|\o(BM,\s\up16(→))|·|\o(DN,\s\up16(→))|)＝eq \f(\f(7,4),\r(\f(5,4))·\r(\f(18,4)))＝eq \f(7\r(10),30). 故BM与DN所成角的余弦值为eq \f(7\r(10),30). $$