1.1.3 第1课时 空间向量的坐标-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对空间任意的两个向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a·b>0，则〈a，b〉为锐角．(　　) (2)设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，则a∥b⇒eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)＝eq \f(z1,z2).(　　) (3)四边形ABCD是平行四边形，则向量eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(DC,\s\up16(→))的坐标相同．(　　) (4)设A(0,1，－1)，O为坐标原点，则eq \o(OA,\s\up16(→))＝(0,1，－1)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是(　　) A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6) C．a·b＝10 D．|a|＝6 解析：D　[a＋b＝(10，－5，－2)，A错误；a－b＝(－2,1，－6)，B错误；a·b＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，C错误；|a|＝eq \r(42＋－22＋42)＝6，故选D.] 3．已知a＝(1，－2,4)，b＝(－2,4，x)． (1)当a⊥b时，x＝　__________　.(2)当a∥b时，x＝　________　. 解析：(1)由a·b＝－2－8＋4x＝0，得x＝eq \f(5,2). (2)由a∥b得eq \f(1,－2)＝eq \f(－2,4)＝eq \f(4,x)，解得x＝－8. 答案：(1)eq \f(5,2)　(2)－8 空间向量的坐标运算 [例1]　已知在空间中，A(1，－2,4)，B(－2，3,0)，C(2，－2，－5)． (1)求eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))，eq \o(CB,\s\up16(→))－2eq \o(BA,\s\up16(→))，eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→)). (2)若点M满足eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→))，求点M的坐标； (3)若p＝eq \o(CA,\s\up16(→))，q＝eq \o(CB,\s\up16(→))，求(p＋q)·(p－q)． [思路点拨]　先由点的坐标求出各个向量的坐标，再按照空间向量运算的坐标运算法则进行计算求解． 解：(1)因为A(1，－2,4)，B(－2,3,0)，C(2，－2，－5)，所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3,5，－4)，eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－1,0,9)． 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－4,5,5)，又eq \o(CB,\s\up16(→))＝(－4,5,5)，eq \o(BA,\s\up16(→))＝(3，－5,4)，所以eq \o(CB,\s\up16(→))－2eq \o(BA,\s\up16(→))＝(－10,15，－3)，又eq \o(AB,\s\up16(→))＝(－3,5，－4)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(1,0，－9)，所以eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝－3＋0＋36＝33. (2)由(1)知，eq \o(AM,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \f(3,4) eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(－3,5，－4)＋eq \f(3,4)(1,0，－9)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(5,2)，－\f(35,4)))， 若设M(x，y，z)，则eq \o(AM,\s\up16(→))＝(x－1，y＋2，z－4)， 于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1＝－\f(3,4)，,y＋2＝\f(5,2)，,z－4＝－\f(35,4)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(19,4)，)) 故Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)，－\f(19,4))). (3)由(1)知，p＝eq \o(CA,\s\up16(→))＝(－1,0,9)，q＝eq \o(CB,\s\up16(→))＝(－4,5,5)． (方法1)(p＋q)·(p－q)＝|p|2－|q|2＝82－66＝16. (方法2)p＋q＝(－5,5,14)，p－q＝(3，－5,4)，所以(p＋q)(p－q)＝－15－25＋56＝16. 空间向量的坐标运算注意以下几点： (1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标． (2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键． (3)运用公式可以简化运算：(a ± b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 [变式训练] 1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求： (1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)． 解：(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4) ＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． (3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)∵2a＝(4，－2，－4)， ∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14. (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. 利用向量的坐标运算解决平行、垂直问题 [例2]　已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)．设a＝eq \o(AB,\s\up16(→))，b＝eq \o(AC,\s\up16(→)). (1)若|c|＝3，c∥eq \o(BC,\s\up16(→))，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. [思路点拨]　(1)根据c∥eq \o(BC,\s\up16(→))，设c＝λeq \o(BC,\s\up16(→))，则向量c的坐标可用λ表示，再利用|c|＝3求λ值； (2)把ka＋b与ka－2b用坐标表示出来，再根据数量积为0求解． 解：(1)∵eq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2，－1,2)且c∥eq \o(BC,\s\up16(→))， ∴设c＝λeq \o(BC,\s\up16(→))＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)． ∴|c|＝eq \r(－2λ2＋－λ2＋2λ2)＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)∵a＝eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1,1,0)，b＝eq \o(AC,\s\up16(→))＝(－1,0,2)， ∴ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． ∵(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0， 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0，解得k＝2或k＝－eq \f(5,2). 向量平行与垂直问题主要有两种题型：(1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用．解题时要注意：①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的． [变式训练] 2．已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝eq \r(5)，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 解：(1)由a∥b，得 (λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＋1＝6k，,1＝k2m－1，,2λ＝2k，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝k＝\f(1,5)，,m＝3.))∴实数λ＝eq \f(1,5)，m＝3. (2)∵|a|＝eq \r(5)，且a⊥c， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＋12＋12＋2λ2＝5，,λ＋1，1，2λ·2，－2λ，－λ＝0，)) 化简，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5λ2＋2λ＝3，,2－2λ2＝0，))解得λ＝－1.因此，a＝(0,1，－2)． 空间向量夹角与长度的计算 [例3] 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3)，B(2，－1,5)，C(3,2，－5)，则△ABC的面积为　________　，△ABC中AB边上的高为　________　. 解析：由已知得eq \o(AB,\s\up16(→))＝(1，－3,2)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(2,0，－8) ∴|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝eq \r(1＋9＋4)＝eq \r(14)，|eq \o(AC,\s\up16(→))|＝eq \r(4＋0＋64)＝2eq \r(17)， eq \o(AB,\s\up16(→))·eq \o(AC,\s\up16(→))＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AC,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|·|\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq \f(－14,\r(14)×2\r(17))＝eq \f(－\r(14),2\r(17))， sin〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝eq \r(1－\f(14,68))＝eq \r(\f(27,34)). ∴SΔABC＝eq \f(1,2)|eq \o(AB,\s\up16(→))|·|eq \o(AC,\s\up16(→))|·sin〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝eq \f(1,2)×eq \r(14)×2eq \r(17)×eq \r(\f(27,34))＝3eq \r(21). 设AB边上的高为CD，则CD＝|eq \o(CD,\s\up16(→))|＝eq \f(2SΔABC,|\o(AB,\s\up16(→))|)＝3eq \r(6). 答案：3eq \r(21)，3eq \r(6) 根据所给空间坐标，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题． [变式训练] 3．在空间直角坐标系O－xyz中，O(0,0,0)，E(2eq \r(2)，0,0)，F(0,2eq \r(2)，0)，B为EF的中点，C为空间一点且满足|eq \o(CO,\s\up16(→))|＝|eq \o(CB,\s\up16(→))|＝3，若，cos＜eq \o(EB,\s\up16(→))，eq \o(CF,\s\up16(→))＞＝eq \f(1,6)，则eq \o(OC,\s\up16(→))·eq \o(OF,\s\up16(→))＝(　　) A．9　　 B．7　　　C．5　　　D．3 解析：D　[设C(x，y，z)，B(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(x，y，z)，eq \o(BC,\s\up16(→))＝(x－eq \r(2)，y－eq \r(2)，z)，eq \o(EF,\s\up16(→))＝(－2eq \r(2)，2eq \r(2)，0)，由cos〈eq \o(EF,\s\up16(→))，eq \o(BC,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(EF,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(EF,\s\up16(→))|·|\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq \f(－2\r(2)，2\r(2)，0·x－\r(2)，y－\r(2)，z,4·3)＝eq \f(1,6)， 整理可得：x－y＝－eq \f(\r(2),2)，由|eq \o(CO,\s\up16(→))|＝|eq \o(CB,\s\up16(→))|＝3，得eq \r(x2＋y2)＝eq \r(x－\r(2)2＋y－\r(2)2)，化简得x＋y＝eq \r(2)，以上方程组联立得x＝eq \f(\r(2),4)，y＝eq \f(3\r(2),4)，则eq \o(OC,\s\up16(→))·eq \o(OF,\s\up16(→))＝(x，y，z)·(0,2eq \r(2)，0)＝2eq \r(2)y＝3. ] [当堂达标] 1．已知A(3,3,3)，B(6,6,6)，O为原点，则eq \o(OA,\s\up16(→))与eq \o(BO,\s\up16(→))的夹角是(　　) A．0　　 B．π　　　C.eq \f(3,2)π　　　D．2π 解析：B　[eq \o(OA,\s\up16(→))＝(3,3,3)，eq \o(BO,\s\up16(→))＝(－6，－6，－6) 则eq \o(OA,\s\up16(→))·eq \o(BO,\s\up16(→))＝3×(－6)＋3×(－6)＋3×(－6)＝－54，|eq \o(OA,\s\up16(→))|＝3eq \r(3)，|eq \o(BO,\s\up16(→))|＝6eq \r(3)， 所以cos〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BO,\s\up16(→))〉＝eq \f(\o(OA,\s\up16(→))·\o(BO,\s\up16(→)),|\o(OA,\s\up16(→))||\o(BO,\s\up16(→))|)＝eq \f(－54,3\r(3)×6\r(3))＝－1，所以〈eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(BO,\s\up16(→))〉＝π.] 2．(多选)已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝eq \f(1,3)　　　　　 B．x＝eq \f(1,2) C．y＝－eq \f(1,4) D．y＝－4 解析：BD　[因为a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，所以3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，所以x＝eq \f(1,2)，y＝－4.] 3．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为　____________　. 解析：a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝eq \r(14)，|b|＝eq \r(14)， ∴cos〈a，b〉＝eq \f(－4,\r(14)×\r(14))＝－eq \f(2,7).∴sin〈a，b〉＝eq \r(1－－\f(2,7)2)＝eq \f(3\r(5),7). 因此以a，b为邻边的平行四边形的面积为|a||b|sin〈a，b〉＝eq \r(14)×eq \r(14)×eq \f(3\r(5),7)＝6eq \r(5). 答案：6eq \r(5) 4．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k的值． 解：ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，a－3b＝(7，－4，－16)． (1)因为(ka＋b)∥(a－3b)，所以eq \f(k－2,7)＝eq \f(5k＋3,－4)＝eq \f(－k＋5,－16)，解得k＝－eq \f(1,3). (2)因为(ka＋b)⊥(a－3b)，所以(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0， 解得k＝eq \f(106,3). $$